2011年高考真题详解-湖北卷(文科数学).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试【湖北卷】（文科数学）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至第2页，第卷第3页至第4页全卷满分150分，考试时间120分钟 第卷（选择题 共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分）【2011湖北文，1】1已知，则 ( ) A B C D 【答案】A 【解析】 易求，故【2011湖北文，2】2若向量，则与的夹角等于( ) A B C D 【答案】C 【解析】因为，故，又，设所求夹角为，则，故故选择【2011湖北文，3】3若定义在上的偶函数和奇函数满足，则 ( ) A B C D 【答案】D 【解析】 由奇偶函数的性质形成方程组求解即可由已知可得，结合函数的奇偶性，可得故有，可求得【2011湖北文，4】4将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则( ) A B C D【答案】C【解析】 本题考查了直线与抛物线的相交、两点间的距离公式以及运算能力【2011湖北文，5】5有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为( ) A18 B36 C54 D72 【答案】B【解析】 本题考查了对频率分布直方图的识图能力以及利用频率分布直方图估计总体的方法【2011湖北文，6】6已知函数，若，则的取值范围为( ) A B C D 【答案】A【解析】 本题考查了三角恒等变换以及三角不等式的能力【2011湖北文，7】7设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是( ) A比大约多一半 B比大约多两倍半 C比大约多一倍 D比大约多一杯半【答案】D【解析】 本题考查了空间几何体的组合体以及体积的计算问题【2011湖北文，8】8直线与不等式组表示的平面区域的公共点有( ) A0个 B1个 C2个 D无数个【答案】B【解析】 本题考查了线性规划以及画图和数形结合处理问题的能力【2011湖北文，9】9九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为( ) A1升 B升 C升 D升【答案】B【解析】 本题考查了等差数列的通项公式以及利用数列知识解决实际问题的能力【2011湖北文，10】10若实数，满足，且，则称与互补，记那么是与互补的( ) A必要不充分条件 B充分不必要的条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 本题是一个新定义型问题，考查了同学们对信息的分析处理能力以及对充要条件的判定 第卷（非选择题 共100分）二、填空题：（每小题5分，共25分）【2011湖北文，11】11某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家【答案】 20【解析】 本题考查了分层抽样易知抽样比为，故应抽取中型超市20家【2011湖北文，12】12的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）【答案】 17【解析】 本题考查了二项式的通项公式【2011湖北文，13】13在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 【答案】 【解析】 本题考查了排列组合和概率的相关知识，同时考查了考生们的理解和转化与化归的数学思想方法【2011湖北文，14】14过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为 【答案】或 【解析】 本题考查了直线与圆的位置关系以及利用数形结合处理几何问题的能力【2011湖北文，15】15里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍【答案】；【解析】 本题是一个实际应用问题，考查了同学们利用所给的数学公式解决实际问题的能力以及对对数的运算能力 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）【2011湖北文，16】16（本小题满分12分）设的内角、所对的边分别为、，已知() 求的周长； () 求的值【解析】本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力（）的周长为 （），故A为锐角，【2011湖北文，17】17（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、() 求数列的通项公式；() 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列【解析】本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力（）设成等差数列的三个正数分别为依题意，得所以中的依次为依题意，有（舍去）故的第3项为5，公比为2。由所以是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为 （）数列的前项和，即所以因此为首项，公比为2的等比数列【2011湖北文，18】18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且,() 求证：；() 求二面角的大小 【解析】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力解法1：（）由已知可得于是有所以又由 （）在中，由（）可得于是有EF2+CF2=CE2，所以又由（）知CF C1E，且，所以CF 平面C1EF，又平面C1EF，故CF C1F。于是即为二面角ECFC1的平面角。由（）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角ECFC1的大小为。解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 （） （），设平面CEF的一个法向量为由即设侧面BC1的一个法向量为设二面角ECFC1的大小为，于是由为锐角可得，所以即所求二面角ECFC1的大小为【2011湖北文，19】19（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆 /千米）的函数当桥上的车流魔都达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数() 当时，求函数的表达式；() 当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【解析】本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力（）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立。所以，当在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时【2011湖北文，20】20（本小题满分13分）设函数，其中，、为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线() 求、的值，并写出切线的方程；() 若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围【解析】本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想（）由于曲线在点（2，0）处有相同的切线，故有由此得所以，切线的方程为 （）由（）得，所以依题意，方程有三个互不相同的实数，故是方程的两相异的实根所以又对任意的成立，特别地，取时，成立，得由韦达定理，可得对任意的，则所以函数的最大值为0于是当时，对任意的恒成立，综上，的取值范围是【2011湖北文，21】21（本小题满分14分）平面内与两定点、（）连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线() 求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；() 当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点试问：在上，是否存在点，使得的面积若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想（I）设动点为M，其坐标为， 当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线C的方程为当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。（II）由（I）知，当时，C1的方程为当时，C2的两个焦点分别为对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是由得由得当或时，存在点，使； 当或时，不存在满足条件的点，当时，由，可得令，则由，从而，于是由，可得综上可得：当时，在C1上，存在点，使得当时，在C1上，存在点，使得当时，在上，不存在满足条件的点