浅谈高斯的数学成就.doc

浅谈高斯的数学成就单位姓名摘要正如莱布尼茨所说：“不学习数学史就不能正确的了解数学这门学科的发展。”学习数学史能够正确的认识到数学是什么；数学的发展过程；数学的研究领域以及数学与其他学科的交叉；数学在人类文明过程中的作用。数学是一门基础学科，但它研究的范畴横跨了整个自然学科，毫不夸张的说，没有数学就没当今的文明。因此，数学史是每一学习者的必修课程。关键词 高斯 二次互反律 十七边形作图 消元法 数学史引言在小学的时候我们经常听到这样一个故事：有一个孩童在年纪很小的时候，他们的老师给他们出了一个数学题,1+2+3+4+100.结果这个孩童在五分钟后就给出了正确答案：5050.这个孩童就是后来被誉为“数学王子”的高斯，他在计算这个问题的时候其实间接地给出了后来等差数列求和的公式:(1).推广到一般形式为：(2)或（其中为等差数列，d为公差）。下面就是伟大的数学家高斯的生平以及他的成就介绍。正文一、数学家高斯与其成果介绍高斯(1777年4月30日1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家。高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉。 1792年，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了“二项式定理”的一般形式、数论上的“二次互反律”、“质数分布定理”及“算术几何平均”。 1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是“正十七边形尺规作图之理论与方法”。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了“最小二乘法原理”。高理的数论研究总结在算术研究中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了关于曲面的一般研究，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。高斯和韦伯一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，写了地磁的一般理论，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。他的著作还有地磁概念和论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律等。 在他死后，人们才知道他早就预见一些十九世纪的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。高斯的老师很早就认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋，同时也对这个天才儿童留下了深刻印象。于是他们从高斯14岁其便资助其学习与生活。18岁时，高斯转入哥廷根大学学习。在他19岁时，第一个成功的用尺规构造出了规则的17角形。 1807年高斯成为哥廷根大学的教授和当地天文台的台长。虽然高斯作为一个数学家而闻名于世，但这并不意味着他热爱教书。尽管如此，他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的黎曼。 1974年高斯创造了最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法）,在天文学中这一成就立即得到公认。最小二乘法可以解决最小误差问题，具体问题如下:除此之外高斯还创造了高斯分布（又名正态分布），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为、标准方差为的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值决定了其位置，其标准差决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是的正态分布。其公式如下:(其图形如下： =0在高斯众多的数学成果中还有值得称道的一点，那就是二次互反律，二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。高斯在1796年做出第一个严格的证明，随后他又发现了另外七个不同的证明。高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。有人说：“二次互反律无疑是数论中最重要的工具，并且在数论的发展史中处于中心地位。” 继高斯之后雅克比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛比纽斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有150个不同的证明。二次互反律可以推广到高次互反律。 二次互反律被称为“数论之母”， 在数论中处于极高的地位。表述如下：设p和q是两个相异的奇素数，如果（p-12）（q-12）是偶数，则当且仅当有解时，有解；如果上述乘积是奇数，且仅当则当无解时，有解。可记为还可以把其表示为. 后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。其表述如下：设p和q为不同的奇素数，。其中一个特殊的情形是：2永远是型质数的平方剩余，永远是型质数的非平方剩余。 高斯还特别研究了（其中是素数，a不是p的倍数）这种同余式方程。如果它有解，就成a是p的二次剩余，否则称a是p的非剩余。 在高等代数中我们都会学到高斯的消元法，高斯消元法（又名高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于计算一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用叠代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。例如以下方程组的求解：（）其中（b不等于0）。求解此方程组必须先把矩阵化为阶梯形或严格阶梯形，此过程运算量巨大，不适合当m与n很大时的求解，只能提供理论依据，当m与n很小时可以通过高斯消元法进行求解。例如以下：要想把矩阵华为阶梯形非易事,所以高斯消元法只能提供理论支持，不能进行复杂的运算。除此之外，高斯在很多方面还有很多成就，具体如下：定理一 (根的存在定理) 凡有理整方程必至少有一个根。推论：一元次方程必有个根，且只有个根。定理二 正整数可被表示为两整数平方和的充要条件为的一切形如(4k+3)的质因子的幂次均为偶数。 定理三 （素数分布定理）即对于任何大于3的正整数m，都至少有一小于m的正整数n存在，使mn皆为素数。定理四 （取整函数）设， 用表示不超过 的最大整数，并用表示的非负纯小数,则 称为高函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：=+。()其公式如下：成果五 （几何平均数） N个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。设一组数据为X1，X2，.，Xn，且大于0，则几何平均数为：a2a1a3A成果六 （高斯-博内公式）平面上任意三角形三角和恒等于，对于一般曲面上有三条测地线构成的三角形(如下图)。其内角和满足以下公式：这里表示高斯曲率k在三角形A上的积分，为测地三角形三内角值。将这一公式到一般曲面上任意闭曲线上围成的但联通区域情形为：这里psds表示测地曲面沿闭曲线c的线积分，i（i=1，2，3）为组成c的各弧段的内角值。也可以表示成这里表示欧拉示性数，它等于1减去曲面上洞的个数，是通常多面体欧拉数即欧拉公式(其中、分别表示为多面体顶点数、棱数、面数)的推广。成果七 （正十七边形尺规作图） 中学时期，我们都会接触到一个非常出名的几何问题尺规作图。1976年高斯用尺规做出了正十七边形，同时发现了可作图多边形的条件，堪称数学史上的奇迹。可作图性亦同时显示cos217可以只用基本算术和平方根 (即cos217是代数数) 来表示。高斯的书包含了这条等式：16cos217=-1+17+34-217+217+317-34-217-234+217具体步骤如下（1）给一圆O，作两垂直的半径OP1、OB， 在OB上作J点使OJ1/4OB， 连接JP1，作E点使OJE1/4OJP1 作P1O延长线上F点使得EJF45度。 （2）以P1F为直径作一半圆交OB于K点，再以E为圆心，EK为半径作一圆交直线OP1于N4点。（3）过N4作OP1垂直线交于圆O于P4， 则以圆O为基准圆，P1为正十七边形之第一顶点， P4为第四顶点，以P1P4长依次分割圆周即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。此效果图如下：二、学习数学史的意义数学是一门历史性比较强或者累积性很强的科学，重大的数学理论总是在继承和发展原有的理论基础上建立起来的，它们不仅会推翻原有的理论，而且总会包容原先的理论。例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧式几何的推广；溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中的函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例，可以说在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人的建筑的情况。如果我们对比天文学的“地心说”，物理学的“以太说”，就可以发现数学的发展不同于其他科学的这种特点。因此有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。未读数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”这种说法虽然有点绝对，但却形象的说明了数学这栋大厦的累积性。人们经常把现代数学比作成茂密的大树，它的分支也越来也多。按美国数学评论杂志的分类，当今数学包含了60多个二级学科，400多个三级学科，更细的难以统计。面对如此庞大的知识体系系统，职业数学家越来越被局限于以一、二个专门系统。庞加莱曾经被誉为最后一个数学通才，虽然比他稍晚的希尔伯特也跨越过众多领域，但这样的数学家毕竟越来越少了，而正是希尔伯特在巴黎演讲中指出：“数学科学是一个不可分割的整体，他的生命力正是在于各个部分之间的联系”，并提醒人们警惕数学“被分割成许多孤立的分支”的危险。有的学者认为，“跟这种危险作斗争的最稳妥的办法也许就是要对于数学的过去成就、传统和目标得到一些知识。”这也是呼吁人们了解一些数学的历史。因此无论是数学专业还是非数学专业的人都应该学习数学史，来增强他们对数学的了解。三、数学的发展时期数学在发展的过程中经历了许多坎坷与挫折，经历了许多时期。大概可以分为以下四个时期：第一时期 数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。 第二时期 初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。这个时期从公元5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数、三角。 第三时期 变量数学时期，它产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分，是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。第四时期 现代数学，大致从19世纪上半叶开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础-代数、几何、分析中的深刻变化为特征。参考文献1 数学问题,希尔伯特，大连理工大学出版社(2009) .2 古今数学思想，克莱因，上海科学技术出版社(1979) .3 数学史概论，李文林，高等教育出版社(第三版) .4 数学史概论，李文林，高等教育出版社(第三版) .5 一个数学家的经历，乌拉姆，上海科学技术出版社.