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高中数学线性规划常考题型及求解策略 建水二中：贾雪光 和以往的高考相比，新课标下的高考更加注重对知识的探究过程的考查，更加体现了知识在现实生活中的应用，而线性规划是数学知识中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题. 新课程标准下高中阶段教科书中的简单线性规划问题主要是涉及两个变量的、 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下如何使用它们来完成最多的任务；二是在给定一项任务时如何合理规划以便能以最少的人力、物力、资金等资源来完成任务的两种类型。两种类型的问题解答过程都突出体现了优化的思想、数形结合的思想、划归与转化的思想 同时线性规划部分的知识在高中数学中又属于直线与不等式部分的知识应用内容，与实际生活联系紧密， 因此在近年的高考中受到越来越多的重视。它出题的形式越来越灵活，并且线性规划与其他知识进行交叉融合，不仅可以体现高中数学常用的数学思想，如数形结合思想，转化与化归思想，而且还能考查学生的综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，于是此知识点越来越受到出题者的青睐。现将近几年这部分知识的常考题型和解题方法做一点总结，以期能为高考备考略尽微薄之力。 常见的考法分两大类，共七种类型。第一类为直接型，具体为：图1书、11一、直接型（已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题）1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为。解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18xyO22x=2y =2x + y =2BA2若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A求解策略：以上两个例子主要考查与线性规划有关的目标函数的最值问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值。数形结合是数学思想的重要手段之一。求解方法是：“平移找解法”。二、求解面积型2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCMy =23、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B求解策略：这种类型问题主要是求作出可行域再用割补法将可行域变换成三角形或者矩形等能够直接求解面积的几何图形即可求解常见的有如上面的这种还有和绝对值不等式综合以后来求解面积的两种形式。三、整点问题型4（1）、满足|x|y|2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个xyO解：|x|y|2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），想象用一张长宽都为整数的网覆盖到可行域上去，则容易数得可行域中的整点个数为13个，选D4（2）、已知满足不等式组，求使取最大值的整数解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ；当时，得或， 或；当时， ，故的最大整数解为或求解策略：可采用网格化处理法如例4（1），也可采用整点调整法如例4（2）即：先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解四、数形结合转化型（已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题）图25（1）、已知则的最小值是 .解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而转化为可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。5（2）已知变量x，y满足约束条件则 的取值范围是（ ）.（A），6 （B）（，6，）（C）（，36，） （D）3，6解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A求解策略：当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以上两种，求解过程中要充分考虑目标函数的几何意义，再联系数形结合的思想的应用。五、约束条件变动型（约束条件设计成含有参数的形式，考查目标函数取值范围问题）。 6、在约束条件下，当时，目标函数C的最大值的变化范围是（）A. B. C. D. 解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;O2x y = 0y2x y + 3 = 07、已知|2xym|3表示的平面区域包含点（0,0）和（1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等价于由右图可知 ,故0m3，选C求解策略：这两道题的设计都很有新意，求解时可以先作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系来求解。最终是采用平移过原点的目标函数的方法来求解，其实质还是考查线性规划的通性通法。第二类是逆向考查：六、线性规划的逆向问题（已知平面区域，逆向考查约束条件；已知最优解求解约束条件或者是目标函数中的参数。）例8 （1）已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A) (B) (C) (D) 解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。例8 （2）给出平面区域如图所示.若当且仅当x，y时，目标函数zaxy取最小值，则实数a的取值范围是 .解析 当直线yaxz（a0）过点（， ），且不与直线AC，BC重合时,z取得最大值，从而z取得最小值.kAC ，kBC .所以，实数a的取值范围是（ ， ）.求解策略：第一题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。第二题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。七、你想考查与基本不等式综合例9、已知目标函数满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值是为（ ）A、2 B、4 C、6 D、8解析：作出可行域，得在直线2x-y=2与直线8x-y=4的交点A(1,4)处，目标函数z最大值为8即此时，即又由知道的最小值为4所以选择B例10、已知x，y满足约束条件若目标函数的最大值为10，则的最小值是为（ ）A、6 B、7 C、8 D、9解析：作出可行域，得在直线2x-y=3与直线x-y=-1的交点A(4,5)处，目标函数z最大值为10即此时，又由于=(20+20+)所以有所以本题选择C求解策略：这种类型题目不仅要注意线性规划的问题，同时还要考虑基本不等式应用时的条件，即“一正，二定，三相等”如上面两道题目就是本类型题目的代表很是值得研习。
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