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第一章集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 。(集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。) 3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 。(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 。 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N ；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R 。集合的表示方法：列举法,描述法.集合的分类：(1)有限集, (2)无限集, (3)空集,例：x|x2=5. 集合间的基本关系 a.“包含”关系 子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。 b.“相等”关系“元素相同” c.不含任何元素的集合叫做空集，记为。 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.集合的运算 :交集,并集.交集与并集的性质：AA=A, A=, AB=BA, AA=A,A=A,AB=BA. 5全集与补集 性质： =AA=A=U 。二、函数的有关概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，xA。定义域定义：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。2、构成函数的三要素：定义域、对应法则和值域 3、函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x)，(xA)的图象。 (2)画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。 (3)作用：直观的看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度，发现解题中的错误。 4、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示 5、什么叫做映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应“f:AB”为从集合A到集合B的一个映射。6、常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值。补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。补充二：复合函数 如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则y=fg(x)=F(x)，(xA)称为f、g的复合函数。 例如:y=2sinXy=2cos(X2+1) 7、函数单调性 （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间。如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。（2）图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（3）函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法：任取x1，x2D，且x11 0a1 图象特征 函数性质 向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 二、对数函数 （一）对数 1对数的概念：一般地，如果ax=n，那么数x叫做以a为底n的对数，记作：x=logan.2、 对数式与指数式的互化 （二）对数的运算性质 注意：换底公式 （三）对数函数 图象特征 函数性质 函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，） 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，0） 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地y=xa，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量a为常数 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3、函数零点的求法： 求函数的零点：（代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数 ），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 ），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点三、题目练习和讲解1.已知全集，则（ ）A B C D2.三个数，则的大小关系是（ ）A B C D3.若集合，,且，则的值是_;4.幂函数的图象过点 ，则 .5.已知集合，全集为实数集（1） 求；（2） 如果，且，求实数的取值范围6已知函数，（为正实数），且函数与 的图象在轴上的截距相等（1） 求的值；（2） 对于函数及其定义域，若存在，使成立，则称为的不动点若在其定义域内存在不动点，求实数的取值范围；四 课堂练习1.已知函数若，则实数的取值范围是（ ）A B C D2.已知函数在上为奇函数，且当时，则当时，的解析式是 （A） （B）（C） （D）3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 .4.函数的定义域是 ；5.已知函数（1）判断并证明函数的单调性；（2）若函数为奇函数，求实数的值；（3）在（2）的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围6.某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？7.已知是定义在上的增函数，且.（）求的值；（）若，解不等式.课后练习1.已知，若，则 。.2.已知：集合，集合，求 .3.已知函数 .（）求函数的定义域;（）根据函数单调性的定义，证明函数是增函数.4.已知函数.（）判断函数的奇偶性;（）把的图像经过怎样的变换，能得到函数的图像; ()在直角坐标系下作出函数的图像.
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