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第一讲 两条直线的位置关系知识点一 ：相交线、平行线的概念（1） 相交线平行定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线（2） 平行线定义:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（3） 两套直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种（4） 两条直线是指不重合的两条直线注意：1、两条直线在同一平面内 2、我们有时说两条射线或线段平行，实际上是指它们所在的直线平行知识点二：关于对顶角的定义和性质定义 对顶角：像这样直线AB与直线CD相交于O，1与2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 注意：对顶角的判断条件：另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个。性质 同角或等角的对顶角相等。一般题型下列说法中，正确的是（）A有公共顶点，并且相等的角是对顶角B如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角C如果两个角相等，那么这两个角是对顶角D互补的两个角不可能是对顶角练习 1、如图2-1，共有_对对顶角图2-1知识点三： 互为余角、互为补角的概念及其性质定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角. 互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角 钝角没有余角注意： 互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.性质 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等一般例题 和互余，_(或) 和互补，_(或)练习1、若=50，则它的余角是 ，它的补角是 。若=110，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。2若1与2互余，3和2互补，且3=120，那么1= 。如果1+2=90 ，2+3=90 ，则1与3的关系为_，其理由是_。如果1+2=180 ，2+3=180 ，则1与3的关系为_，其理由是_经典题型 1、已知互余两个角的差是30，则这两个角的度数分别_。 练习：1.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角_。2、已知一个角的余角比它的补角的1/4还少12，求这个角。 3、一个角的补角的余角等于这个角的2/5，求这个角的度数。 2、如图，O是直线AB一点，BOD=COE=90，和1互为余角的有 。和1相等的角有 。3、如图所示，直线AB、CD相交于点O，已知AOC=70 ，OE把BOD分成两个角，且BOE：EOD=2：3，求EOD的度数。A D O E BC拓展题型：1. 已知与互补，且，则的余角不能用下列式子表示的是（ ） A1/2（+） B1/2（-） C 90度 D 90度2.已知是锐角，是钝角，且和互补，那么下列结论正确的是（）A、的余角和的补角互余 B、的补角和的余角互余 C、的余角和的补角互补 D、的补角和的余角互补2. 如图，ACB=90，CDAB，则图中与A互余的两个角共有（ ） 对两同角的余角相等3. 如图，A，O，B三点在同一条直线上，OD，OE分别平分BOC，AOC，则图中与AOE互余的角有（ ）对4.如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角的关系是（ ）A相等 B互补 C 相等或互补 D 相等且互补5. 有一条直的等宽纸带，按如图折叠时，纸带重叠部分中的=度知识点四：垂直的概念及表示（理解）定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，互相垂直的两条直线的交点叫垂足，要判定两条直线是否互相垂直，只需要看他们相交所成的四个角中是否有一个直角两条线段垂直是指这两条线段所在的直线垂直，如果两条直线垂直，那么其中的一条直线叫做另一条直线的垂线知识点五：垂线的画法（掌握）1、 利用三角板的两条直角边与其所在边的垂直关系画（一靠、二过、三画）2、 利用量角器画图3、 利用折叠法4、 利用方格纸知识点六：垂下的性质1、 存在性与唯一性：平面内，过一个点有且仅有一条直线与已知直线垂直、2、 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短3、 如图过A点作L的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线L的距离。也就是点A到直线L的垂线段的长度 A B L第二讲 探索直线平行的条件知识点一：从同位角判定两直线平行1、 同位角的概念：两个角分别在两条直线的同侧，并且在第三条直线的同旁，这两个角叫做同位角。例题 请你找出图中有哪几对角构成同位角？ABCEF134562练习 请你找出图中有哪几对角构成同位角？2、判断两直线平行的条件同位角相等，两直线平行。例题图21.如图所示若1=45，问应是4为多少度时，能使直线DE、BC平行吗？ 练习：如图2，已知直线l1l2，140，那么2 度.知识点二 1、内错角、同旁内角的概念（1）内错角：两条直线AB和CD被第三条直线EF所截，构成了八个角，如果两个角都在两直线之间并且在第三条直线的两侧位置交错的一对角， 叫做内错角。（2） 同旁内角：两条直线AB和CD被第三条直线EF所截，构成了八个角，如果两个角都在两直线之间，并且在第三条直线的同旁的一对角 ，叫做内错角。2、 两直线平行的条件 内错角相等，两条直线平行 同旁内角互补，两条直线平行.一般题型已知：如图1，l1l2，150，则2的度数是（）A.135 B.130 C.50 D.40经典题型已知，如图，1=ABC=ADC，3=5，2=4，ABC+BCD=180将下列推理过程补充完整： （1）1=ABC（已知）， AD_ （2）3=5（已知）， AB_, （_） （3）ABC+BCD=180（已知）， _,（_）练习 如图 填空： （1）1=A（已知） _（ ）（2）1=D（已知） _（ ）（3）_=F（已知） ACDF（ ）2如图：1=，2=，3=，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系。练习1、如图：已知A=D，B=FCB，能否确定ED与CF的位置关系，请说明理由。1、.填空。如图，ACAB，BDAB（已知） CAB90，_90（ ）CAB_（ ）CAEDBF（已知）BAE_（ ）2、已知：如图，且. 求证：ECDF. 132AECDBF图103 如图10，123 = 234， AFE = 60，BDE =120，写出图中平行的直线，并说明理由 F2ABCDQE1PMN图114 如图11，直线AB、CD被EF所截，1 =2，CNF =BME。求证：ABCD，MPNQ 5、 如图，已知B=25，BCD=45，CDE=30，E=10，试说明：ABEF练习 1、已知：如图：AHFFMD180，GH平分AHM，MN平分DMH。求证：GHMN。2如图，EFGF于FAEF=150，DGF=60，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由2、如图，已知：AOEBEF180，AOECDE180，求证：CDBE。拓展题型：1.在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与 三角尺，仅用没有刻度的直尺，画线段AB的垂平行线2.在平面上有三条直线a,b,c，它们之间可能有哪几种位置关系？画图说明3.如图，长方形ABCD是一块釉面砖，居室装修时需要在此砖上截取一块呈梯形状的釉面砖APCD（1）请在边AB上找一点P，使APC=120；（2）试着叙述选取点P的方法及其选取点P的理由 4. 如图所示，一个角的顶点及其附近位于雷区，如何确定该角的度数呢？ 第三讲 平行线的特征知识点一 平行线的特征两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.两条平行线中的一条直线与第三条直线垂直，那么另一条直线也与第三条直线垂直.知识点二 平行线的特征与判定的区别和联系平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件；它们的区别是：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反： 平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。 平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形”到“数”的说理一般题型CABD11、如图所示，ABCD，ACBD。分别找出与1相等或互补的角。2、由A到B 的方向是（ ）A.南偏东30 B.南偏东60 C.北偏西30 D.北偏西60 练习ABCD 1、如图，ABCD，B=D，比较A和C的大小，你是怎样推论的？2、如图252所示，ABCD，1=50，则2=_. 经典题型1、 如图，ABCD，求证：EAC2、 如图，已知：ABCD，求证：B+D+BED=360（至少用三种方法） 3、 如图，已知，是的平分线，求的度数4、已知，如图，MNAB，垂足为G，MNCD，垂足为H，直线EF分别交AB、CD于G、Q，GQC120，求EGB和HGQ的度数。（7分）练习1、如图，已知ABCD，BAE40，ECD62，EF平分AEC求AEF的度数 2、.如图所示，ABCD，则A+E+F+C等于( )A.180 B.360 C.540 D.7203、 已知，如图，1= 40，2 = 65，ABDC，求ADC和A的度数4如下图，已知ABCD，ADBC，B50，EDA60，则CDO_ 5如下图，已知CD平分ACB，DEBC，AED50，求EDC的度数 6如下图，已知ABDF、DEBC，B65，求BOE、D的度数ABECGHF12D拓展例题1、已知：如图1=2，DEFH，求证：CDFG 2、如下图，已知CBAB，点E在AB上，且CE平分BCD，DE平分ADC，EDCDCE90求证：DAAB 3、如图，为的角平分线，为的角平分线，且，求证：.4、 如图：/，点、在上，你能判断与平行吗？请说明你的理由。 练习1、如图，在中，是上一点，交于点，与有什么位置关系？说明你判断的理由 ADBCFE2、已知：如图239，直线MN的同侧有三个点A、B、C，且ABMN，BCMN求证：A、B、C三点在同一直线上FABCDEG 3、如图，直线ABCD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分BEF，FG平分DFE，请问G等于多少度？写出完整的说理过程 4、如图，已知，求证： 5、请把下列解题过程补充完整并在括号中注明理由：如图，EFAD，1=2，BAC=70，求AGD解：EFAD， 2 = ，（ ）又1=2， 1=3，AB ，（ ）BAC =180，（ ）BAC = 70， AGD = .拓展题型：1. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）A、第一次右拐15，第二次左拐165B、第一次左拐15，第二次右拐15 C、第一次左拐15，第二次左拐165 D、第一次右拐15，第二次右拐152.已知ABCD，分别探讨下列四个图形中APC和PAB、PCD的关系（只要求直接写出），并请你从所得四个关系中任意选出一个说明理由（1）APC+PAB+PCD=360APC+PAB+PCD=360 （2）APC=PAB+PCDAPC=PAB+PCD （3）APC=PCD-PABAPC=PCD-PAB （4）APC=PAB-PCDAPC=PAB-PCD3.如图所示，小张从家（图中A处）出发，向南偏东40的方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75的方向走到小明家（图中C处），试问ABC为多少度？4. 阅读下列解题过程：如图，已知ABCD，B=35，D=32，求BED的度数解：过E作EFAB，则ABCDEF（平行的传递性）ABEFB=1=35又因为CDEFD=2=32所以BED=BED=1+235+32=67（等量代换）然后解答下列问题：如图，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决：问题（1）：D=30，ACD=65，为了保证ABDE，A=35问题（2）：G+F+H=360时，GPHQ 第四讲 用尺规作线段和角一般题型 例1： 用尺规作一条线段等于已知线段.已知:线段AB A B求作:线段AB,使得AB=AB.步骤：1、作射线AC；2、以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线AC于点B。AB就是所作的线段。例2 用尺规作一条线段等于已知线段的倍数: 已知:线段AB: 求作:线段AB,使得AB=2AB.步骤：1、作射线AC；2、以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线AC于点E 3、以点E为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线EC于点BAB就是所作的线段。例3 用尺规作一条线段等于已知线段的和:(1) 已知:线段a,b a b 求作:线段AD,使得AD=a+b .步骤：1、作射线A E ；2、以点A 为圆心，以a的长为半径画弧，交射线AE于点B3、以点B圆心，以b的长为半径画弧，交射线BE于点D AD就是所作的线段。练习 已知:线段AB .CD .EF .A B C D E F求作:线段AF,使得AF=AB+CD+EF.例4、用尺规作一条线段等于已知线段的差:(5) 已知:线段AB .CD A B C D 求作:线段AD,使得AD=ABCD .步骤：1、作射线AE；2、以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线AE于点 C 3、以点A为圆心，以CD的长为半径画弧，交射线 AC于点B BC就是所作的线段。经典题型 线段a、b，如下图，求作：线段L使得： L=2aba b步骤：1、作射线 AM；2、以点A 为圆心，以 a的长为半径画弧，交射线A M于点 D 3、以点D为圆心，以a的长为半径画弧，交射线 DM于点B 4、以点A为圆心，以b的长为半径画弧，交射线AB于点C,CB就是所做线段。练习已知线段a，b，c，利用尺规作一条线段，使它等于a+b-2c，并写出作法。 知识点二用尺规作角一般题型 例1、 用尺规作一个角等于已知角.已知：1，求作：MON，使MON=1 分析：根据作一个角等于已知角的作法，作出MON=1即可（1）作射线OBM；（2）以A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；（3）以O为圆心，以AD的长为半径画弧，交OM于点G；（4）以点G为圆心，以DE的长为半径画弧，交前弧于点F；（5）过O作射线OF 则MON就是所求作的角练习已知： 求作：AOB，使AOB=例2、用尺规作一个角等于已知角的倍数: (3) 已知：1 求作：MON，使MON=21 练习已知，利用尺规作AOB，使AOB=3 例3、 用尺规作一个角等于已知角的和:已知：1、2、3求作：AOB，使AOB=1+2,先作AOC= 1，再在AOC的外部作BOC=2，AOB即是所求 MON，使MON=21+2先作BOC=1，再以OC为一边，在BOC的外侧作COD=1，再以OD为一边，在BOD的外侧作AOD=2，AOB即是所求例4、 用尺规作一个角等于已知角的差:已知：、求作：AOB，使AOB=经典题型 已知：、求作：1、使POQ= 2、 使POQ=2
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