2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)

第 1 页 共 21 页 2017 年上海市虹口区高考数学一模试卷 一 填空题 1 6 题每小题 4 分 7 12 题每小题 4 分 本大题满分 54 分 1 已知集合 A 1 2 4 6 8 B x x 2k k A 则 A B 2 已知 则复数 z 的虚部为 3 设函数 f x sinx cosx 且 f 1 则 sin2 4 已知二元一次方程组 的增广矩阵是 则此方程组的 解是 5 数列 a n 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 S n 是它前 n 项和 则 6 已知角 A 是 ABC 的内角 则 是 的 条件 填 充分 非必要 必要非充分 充要条件 既非充分又非必要 之一 7 若双曲线 x2 1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 则该双曲线的焦距 等于 8 若正项等比数列 a n 满足 a3 a5 4 则 a4 的最大值为 9 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60 的平面所截 截面是一个 椭圆 则该椭圆的焦距等于 10 设函数 f x 则当 x 1 时 则 f f x 表达式的 展开式中含 x2 项的系数是 第 2 页 共 21 页 11 点 M 20 40 抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 若对于抛物线上的任 意点 P PM PF 的最小值为 41 则 p 的值等于 12 当实数 x y 满足 x2 y2 1 时 x 2y a 3 x 2y 的取值与 x y 均无关 则 实数 a 的取范围是 二 选择题 每小题 5 分 满分 20 分 13 在空间 表示平面 m n 表示二条直线 则下列命题中错误的是 A 若 m m n 不平行 则 n 与 不平行 B 若 m m n 不垂直 则 n 与 不垂直 C 若 m m n 不平行 则 n 与 不垂直 D 若 m m n 不垂直 则 n 与 不平行 14 已知函数 在区间 0 a 其中 a 0 上单调递增 则实 数 a 的取值范围是 A B C D 15 如图 在圆 C 中 点 A B 在圆上 则 的值 A 只与圆 C 的半径有关 B 既与圆 C 的半径有关 又与弦 AB 的长度有关 C 只与弦 AB 的长度有关 D 是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值 16 定义 f x x 其中 x 表示不小于 x 的最小整数 为 取上整函数 例 如 2 1 3 4 4 以下关于 取上整函数 性质的描述 正确的是 f 2x 2f x 第 3 页 共 21 页 若 f x1 f x 2 则 x1 x2 1 任意 x1 x 2 R f x 1 x2 f x 1 f x 2 A B C D 三 解答题 本大题满分 76 分 17 在正三棱锥 P ABC 中 已知底面等边三角形的边长为 6 侧棱长为 4 1 求证 PA BC 2 求此三棱锥的全面积和体积 18 如图 我海监船在 D 岛海域例行维权巡航 某时刻航行至 A 处 此时测得 其北偏东 30 方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只 且 D 岛位于海监船正 东 18 海里处 1 求此时该外国船只与 D 岛的距离 2 观测中发现 此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行 为了将 该船拦截在离 D 岛 12 海里的 E 处 E 在 B 的正南方向 不让其进入 D 岛 12 海 里内的海域 试确定海监船的航向 并求其速度的最小值 角度精确到 0 1 速度精确到 0 1 海里 小时 19 已知二次函数 f x ax2 4x c 的值域为 0 第 4 页 共 21 页 1 判断此函数的奇偶性 并说明理由 2 判断此函数在 的单调性 并用单调性的定义证明你的结论 3 求出 f x 在 1 上的最小值 g a 并求 g a 的值域 20 椭圆 C 过点 M 2 0 且右焦点为 F 1 0 过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 设点 P 4 3 记 PA PB 的斜率分别为 k1 和 k2 1 求椭圆 C 的方程 2 如果直线 l 的斜率等于 1 求出 k1 k2 的值 3 探讨 k1 k2 是否为定值 如果是 求出该定值 如果不是 求出 k1 k2 的取 值范围 21 已知函数 f x 2 x 2 x 1 无穷数列 a n 的首项 a1 a 1 如果 an f n n N 写出数列 a n 的通项公式 2 如果 an f a n 1 n N 且 n 2 要使得数列 an 是等差数列 求首项 a 的取值范围 3 如果 an f a n 1 n N 且 n 2 求出数列 an 的前 n 项和 Sn 第 5 页 共 21 页 2017 年上海市虹口区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一 填空题 1 6 题每小题 4 分 7 12 题每小题 4 分 本大题满分 54 分 1 已知集合 A 1 2 4 6 8 B x x 2k k A 则 A B 2 4 8 考点 交集及其运算 分析 先分别求出集合 A 和 B 由此能出 A B 解答 解 集合 A 1 2 4 6 8 B x x 2k k A 2 4 8 12 19 A B 2 4 8 故答案为 2 4 8 2 已知 则复数 z 的虚部为 1 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 由 得 利用复数复数代数形式的乘法运算 化简 求出 z 则答案可求 解答 解 由 得 2 2i i i2 3 i 则 z 3 i 复数 z 的虚部为 1 故答案为 1 3 设函数 f x sinx cosx 且 f 1 则 sin2 0 第 6 页 共 21 页 考点 二倍角的正弦 分析 由已知可得 sin cos 1 两边平方 利用二倍角的正弦函数公式 同 角三角函数基本关系式即可得解 解答 解 f x sinx cosx 且 f 1 sin cos 1 两边平方 可得 sin 2 cos2 2sin cos 1 1 sin2 1 可得 sin2 0 故答案为 0 4 已知二元一次方程组 的增广矩阵是 则此方程组的 解是 考点 系数矩阵的逆矩阵解方程组 分析 先利用增广矩阵 写出相应的二元一次方程组 然后再求解即得 解答 解 由题意 方程组 解之得 故答案为 5 数列 a n 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 S n 是它前 n 项和 则 考点 数列的极限 分析 求出数列的和以及通项公式 然后求解数列的极限即可 解答 解 数列 a n 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 Sn n2 a n 1 n 1 2 2n 1 第 7 页 共 21 页 则 故答案为 6 已知角 A 是 ABC 的内角 则 是 的 充分不必要 条件 填 充分非必要 必要非充分 充要条件 既非充分又非必要 之一 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可 解答 解 A 为 ABC 的内角 则 A 0 180 若命题 p cosA 成立 则 A 60 sinA 而命题 q sinA 成立 又由 A 0 180 则 A 60 或 120 因此由 p 可以推得 q 成立 由 q 推不出 p 可见 p 是 q 的充分不必要条件 故答案为 充分不必要 7 若双曲线 x2 1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 则该双曲线的焦距 等于 6 考点 双曲线的简单性质 分析 根据焦点到其渐近线的距离求出 b 的值即可得到结论 解答 解 双曲线的渐近线为 y bx 不妨设为 y bx 即 bx y 0 焦点坐标为 F c 0 则焦点到其渐近线的距离 d b 2 则 c 3 则双曲线的焦距等于 2c 6 故答案为 6 第 8 页 共 21 页 8 若正项等比数列 a n 满足 a3 a5 4 则 a4 的最大值为 2 考点 等比数列的性质 分析 利用数列 a n 是各项均为正数的等比数列 可得 a3a5 a42 再利用基本 不等式 即可求得 a4 的最大值 解答 解 数列 a n 是各项均为正数的等比数列 a 3a5 a42 等比数列 a n 各项均为正数 a 3 a5 2 当且仅当 a3 a5 2 时 取等号 a 3 a5 2 时 a 4 的最大值为 2 故答案是 2 9 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60 的平面所截 截面是一个 椭圆 则该椭圆的焦距等于 考点 椭圆的简单性质 分析 利用已知条件 求出题意的长半轴 短半轴 然后求出半焦距 即 可 解答 解 因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30 的平面所截 其截口是 一个椭圆 则这个椭圆的短半轴为 R 长半轴为 8 a 2 b2 c2 c 2 椭圆的焦距为 故答案为 4 第 9 页 共 21 页 10 设函数 f x 则当 x 1 时 则 f f x 表达式的 展开式中含 x2 项的系数是 60 考点 分段函数的应用 分析 根据分段函数的解析式先求出 f f x 表达式 再根据利用二项展开 式的通项公式写出第 r 1 项 整理成最简形式 令 x 的指数为 2 求得 r 再代入 系数求出结果 解答 解 由函数 f x 当 x 1 时 f x 2x 1 此时 f x min f 1 2 1 1 f f x 2x 1 6 2x 1 6 T r 1 C6r2rxr 当 r 2 时 系数为 C62 22 60 故答案为 60 11 点 M 20 40 抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 若对于抛物线上的任 意点 P PM PF 的最小值为 41 则 p 的值等于 42 或 22 考点 抛物线的简单性质 分析 过 P 做抛物线的准线的垂线 垂足为 D 则 PF PD 当 M 20 40 位于抛物线内 当 M P D 共线时 PM PF 的距离最小 20 41 解得 p 42 当 M 20 40 位于抛物线外 由勾股定理可知 41 p 22 或 58 当 p 58 时 y 2 116x 则点 M 20 40 在抛物线内 舍去 即可求得 p 的值 解答 解 由抛物线的定义可知 抛物线上的点到焦点距离 到准线的距离 过 P 做抛物线的准线的垂线 垂足为 D 则 PF PD 当 M 20 40 位于抛物线内 第 10 页 共 21 页 PM PF PM PD 当 M P D 共线时 PM PF 的距离最小 由最小值为 41 即 20 41 解得 p 42 当 M 20 40 位于抛物线外 当 P M F 共线时 PM PF 取最小值 即 41 解得 p 22 或 58 由当 p 58 时 y 2 116x 则点 M 20 40 在抛物线内 舍去 故答案为 42 或 22 12 当实数 x y 满足 x2 y2 1 时 x 2y a 3 x 2y 的取值与 x y 均无关 则 实数 a 的取范围是 第 11 页 共 21 页 考点 圆方程的综合应用 分析 根据实数 x y 满足 x2 y2 1 设 x cos y sin 求出 x 2y 的取值范 围 再讨论 a 的取值范围 求出 x 2y a 3 x 2y 的值与 x y 均无关时 a 的取 范围 解答 解 实数 x y 满足 x2 y2 1 可设 x cos y sin 则 x 2y cos 2sin sin 其中 arctan2 x 2y 当 a 时 x 2y a 3 x 2y x 2y a 3 x 2y a 3 其值与 x y 均无关 实数 a 的取范围是 故答案为 二 选择题 每小题 5 分 满分 20 分 13 在空间 表示平面 m n 表示二条直线 则下列命题中错误的是 A 若 m m n 不平行 则 n 与 不平行 B 若 m m n 不垂直 则 n 与 不垂直 C 若 m m n 不平行 则 n 与 不垂直 D 若 m m n 不垂直 则 n 与 不平行 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 分析 对于 A 若 m m n 不平行 则 n 与 可能平行 相交或 n 即可得出结论 解答 解 对于 A 若 m m n 不平行 则 n 与 可能平行 相交或 n 故不正确 故选 A 14 已知函数 在区间 0 a 其中 a 0 上单调递增 则实 第 12 页 共 21 页 数 a 的取值范围是 A B C D 考点 正弦函数的单调性 分析 由条件利用正弦函数的单调性 可得 2a 求得 a 的范围 解答 解 函数 在区间 0 a 其中 a 0 上单调递增 则 2a 求得 a 故有 0 a 故选 B 15 如图 在圆 C 中 点 A B 在圆上 则 的值 A 只与圆 C 的半径有关 B 既与圆 C 的半径有关 又与弦 AB 的长度有关 C 只与弦 AB 的长度有关 D 是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值 考点 平面向量数量积的运算 分析 展开数量积 结合向量在向量方向上投影的概念可得 则答案可求 解答 解 如图 过圆心 C 作 CD AB 垂足为 D 则 cos CAB 第 13 页 共 21 页 的值只与弦 AB 的长度有关 故选 C 16 定义 f x x 其中 x 表示不小于 x 的最小整数 为 取上整函数 例 如 2 1 3 4 4 以下关于 取上整函数 性质的描述 正确的是 f 2x 2f x 若 f x1 f x 2 则 x1 x2 1 任意 x1 x 2 R f x 1 x2 f x 1 f x 2 A B C D 考点 函数与方程的综合运用 分析 充分理解 取上整函数 的定义 如果选项不满足题意 只需要举例说 明即可 解答 解 对于 当 x 1 4 时 f 2x f 2 8 3 2 f 1 4 4 所以 f 2x 2f x 错 对于 若 f x 1 f x 2 当 x1 为整数时 f x 1 x 1 此时 x2 x 1 1 即 x1 x2 1 当 x1 不是整数时 f x 1 x1 1 x 1 表示不大于 x1 的最大整 数 x 2 表示比 x1 的整数部分大 1 的整数或者是和 x1 保持相同整数的数 此时 x1 x2 1 故 正确 对于 当 x1 x 2 Z f x 1 x2 f x 1 f x 2 当 x1 x 2 Z f x 1 x2 f x1 f x2 故正确 对于 举例 f 1 2 f 1 2 0 5 4 f 2 4 3 故 错误 故选 C 三 解答题 本大题满分 76 分 17 在正三棱锥 P ABC 中 已知底面等边三角形的边长为 6 侧棱长为 4 1 求证 PA BC 第 14 页 共 21 页 2 求此三棱锥的全面积和体积 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 直 线与平面垂直的性质 分析 1 取 BC 的中点 M 连 AM BM 由 ABC 是等边三角形 可得 AM BC 再由 PB PC 得 PM BC 利用线面垂直的判定可得 BC 平面 PAM 进一步得到 PA BC 2 记 O 是等边三角形的中心 则 PO 平面 ABC 由已知求出高 可求三棱 锥的体积 求出各面的面积可得三棱锥的全面积 解答 1 证明 取 BC 的中点 M 连 AM BM ABC 是等边三角形 AM BC 又 PB PC PM BC AM PM M BC 平面 PAM 则 PA BC 2 解 记 O 是等边三角形的中心 则 PO 平面 ABC ABC 是边长为 6 的等边三角形 第 15 页 共 21 页 18 如图 我海监船在 D 岛海域例行维权巡航 某时刻航行至 A 处 此时测得 其北偏东 30 方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只 且 D 岛位于海监船正 东 18 海里处 1 求此时该外国船只与 D 岛的距离 2 观测中发现 此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行 为了将 该船拦截在离 D 岛 12 海里的 E 处 E 在 B 的正南方向 不让其进入 D 岛 12 海 里内的海域 试确定海监船的航向 并求其速度的最小值 角度精确到 0 1 速度精确到 0 1 海里 小时 考点 直线与圆的位置关系 分析 1 依题意 在 ABD 中 DAB 60 由余弦定理求得 DB 2 法一 过点 B 作 BH AD 于点 H 在 Rt ABH 中 求解直角三角形可得 HE AE 的值 进一步得到 sin EAH 则 EAH 可求 求出外国船只到达 E 处的 时间 t 由 求得速度的最小值 法二 建立以点 A 为坐标原点 AD 为 x 轴 过点 A 往正北作垂直的 y 轴 可得 A D B 的坐标 设经过 t 小时外国船到达点 结合 第 16 页 共 21 页 ED 12 得 列等式求得 t 则 再由 求得速度的最小值 解答 解 1 依题意 在 ABD 中 DAB 60 由余弦定理得 DB2 AD2 AB2 2AD AB cos60 182 202 2 18 15 cos60 364 即此时该外国船只与 D 岛的距离为 海里 2 法一 过点 B 作 BH AD 于点 H 在 Rt ABH 中 AH 10 HD AD AH 8 以 D 为圆心 12 为半径的圆交 BH 于点 E 连结 AE DE 在 Rt DEH 中 HE 又 AE sin EAH 则 41 81 外国船只到达点 E 的时间 小时 海监船的速度 海里 小时 又 90 41 81 48 2 故海监船的航向为北偏东 48 2 速度的最小值为 6 4 海里 小时 法二 建立以点 A 为坐标原点 AD 为 x 轴 过点 A 往正北作垂直的 y 轴 则 A 0 0 D 18 0 设经过 t 小时外国船到达点 又 ED 12 得 此时 小时 则 监测船的航向东偏北 41 81 第 17 页 共 21 页 海监船的速度 海里 小时 19 已知二次函数 f x ax2 4x c 的值域为 0 1 判断此函数的奇偶性 并说明理由 2 判断此函数在 的单调性 并用单调性的定义证明你的结论 3 求出 f x 在 1 上的最小值 g a 并求 g a 的值域 考点 二次函数的性质 分析 1 由二次函数 f x ax 2 4x c 的值域 推出 ac 4 判断 f 1 f 1 f 1 f 1 得到此函数是非奇非偶函数 2 求出函数的单调递增区间 设 x1 x 2 是满足 的任意两个数 列出不等式 推出 f x 2 f x 1 即可判断函数是单调递增 3 f x ax 2 4x c 当 即 0 a 2 时 当 即 a 2 时 求出最小值即可 解答 解 1 由二次函数 f x ax 2 4x c 的值域为 0 得 a 0 且 解得 ac 4 f 1 a c 4 f 1 a c 4 a 0 且 c 0 从而 f 1 f 1 f 1 第 18 页 共 21 页 f 1 此函数是非奇非偶函数 2 函数的单调递增区间是 设 x1 x 2 是满足 的任意两 个数 从而有 又 a 0 从而 即 从而 f x 2 f x 1 函数在 上 是单调递增 3 f x ax 2 4x c 又 a 0 x 1 当 即 0 a 2 时 最小值 g a f x 0 0 当 即 a 2 时 最小值 综上 最小值 当 0 a 2 时 最小值 g a 0 当 a 2 时 最小值 综上 y g a 的值域为 0 20 椭圆 C 过点 M 2 0 且右焦点为 F 1 0 过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 设点 P 4 3 记 PA PB 的斜率分别为 k1 和 k2 1 求椭圆 C 的方程 2 如果直线 l 的斜率等于 1 求出 k1 k2 的值 3 探讨 k1 k2 是否为定值 如果是 求出该定值 如果不是 求出 k1 k2 的取 第 19 页 共 21 页 值范围 考点 直线与椭圆的位置关系 分析 1 利用已知条件求出 b 即可求解椭圆方程 2 直线 l y x 1 设 AB 坐标 联立 利用韦达定理以及斜率公式 求解即可 3 当直线 AB 的斜率不存在时 不妨设 A B 求出斜率 即可 当直线 AB 的斜率存在时 设其为 k 求直线 AB y k x 1 联立直线与椭圆的方程组 利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可 解答 解 1 a 2 又 c 1 椭圆方程为 2 直线 l y x 1 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 由 消 y 得 7x2 8x 8 0 有 3 当直线 AB 的斜率不存在时 不妨设 A 1 B 1 则 故 k1 k2 2 第 20 页 共 21 页 当直线 AB 的斜率存在时 设其为 k 则直线 AB y k x 1 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 由 消 y 得 4k 2 3 x 2 8k2x 4k 2 12 0 有 21 已知函数 f x 2 x 2 x 1 无穷数列 a n 的首项 a1 a 1 如果 an f n n N 写出数列 a n 的通项公式 2 如果 an f a n 1 n N 且 n 2 要使得数列 an 是等差数列 求首项 a 的取值范围 3 如果 an f a n 1 n N 且 n 2 求出数列 an 的前 n 项和 Sn 考点 数列与函数的综合 分析 1 化简函数 f x 为分段函数 然后求出 an f n n 3 2 如果 a n 是等差数列 求出公差 d 首项 然后求解 a 的范围 3 当 a 1 时 求出前 n 项和 当 2 a 1 时 当 a 2 时 分别求出 n 项 和即可 解答 解 1 函数 f x 2 x 2 x 1 又 n 1 且 n N a n f n n 3 2 如果 a n 是等差数列 则 an an 1 d a n an 1 d 第 21 页 共 21 页 由 f x 知一定有 an an 1 3 公差 d 3 当 a1 1 时 符合题意 当 2 a 1 1 时 a 2 3a1 5 由 a2 a1 3 得 3a1 5 a1 3 得 a1 1 a 2 2 当 a1 2 时 a 2 a1 3 由 a2 a1 3 得 a1 3 a1 3 得 a1 3 此时 a2 0 综上所述 可得 a 的取值范围是 a 1 或 a 3 3 当 a 1 时 a n f an 1 a n 1 3 数列 a n 是以 a 为首项 公差为 3 的 等差数列 当 2 a 1 时 a 2 3a1 5 3a 5 1 n 3 时 a n an 1 3 n 1 时 S1 a n 2 时 又 S1 a 也满足上式 n N 当 a 2 时 a2 a1 3 a 3 1 n 3 时 a n an 1 3 n 1 时 S 1 a n 2 时 又 S1 a 也满足上式 n N 综上所述 S n