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平面向量第1课时 向量的概念与几何运算基础过关1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 3实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下： | | 当0时，的方向与的方向 ； 当0时，的方向与的方向 ； 当0时， () () () 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数使得 4 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 设、是一组基底，则与共线的充要条件是 典型例题题型一：平面向量的概念例1.出下列命题：若，则； 若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； 若，则； 的充要条件是且； 若，则。 其中，正确命题的序号是_答案：。题型二：向量的基本运算例2已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求解：()变式训练1.如图所示，D是ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）ADBCABCD 解:A例3. 已知向量，其中、不共线，求实数、，使解:29(22)(33)222，且3392，且1变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：证明 2，24例4. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，试用、表示和解：连NC，则；BOADCNM变式训练3：如图所示，OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，试用、表示，解:，题型三：共线向量定理、平面向量基本定理及应用例5. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，tR，t为何值时，t，()三向量的终点在一条直线上？解：设 (R)化简整理得：，故时，三向量的向量的终点在一直线上变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.若共线，则可为任意实数；若不共线，则有，解之得，.小结归纳综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意与O的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证，且AB与CD不共线要证A、B、C三点共线，则证即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点第2课时 平面向量的坐标运算基础过关1平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得xy我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 并且| 2向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若(x1、y1)，(x2、y2)，R，则： 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则 4两个向量(x1、y1)和(x2、y2)共线的充要条件是 典型例题题型一：平面向量的坐标运算例1.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标解(1，)，(1, )，即C(1, )变式训练1.若，则= . 解: 提示：例2. 已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值解:|coscos()变式训练2.已知2(3，1)，2(1，2)，求解 (1，1)，(1，0)，(0，1)题型二：共线向量的坐标运算例3. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x解:(12x，4)，(2x，3)，3(12x)4(2x)x变式训练3.设(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 )，求证：k证明: k k0 kAMBCDP例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P(1) 若(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)， 得x010 y06 即点C(10，6)(2) 点D的轨迹为(x1)2(y1)236 (y1)M为AB的中点P分的比为设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x14，3y2)点P的轨迹方程为变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(3，4)，若点C在AOB的平分线上，且|2，求的坐标解 已知A (0，1)，B (3，4) 设C (0，5)，D (3，9)则四边形OBDC为菱形 AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD 小结归纳1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算第3课时 平面向量的数量积基础过关1两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的 当0时，与 ；当180时，与 ；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作，即 规定零向量与任一向量的数量积为0若(x1, y1)，(x2, y2)，则 3向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于 4向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角 当与同向时， ；当与反向时， cos | 5向量数量积的运算律： ； () () () 典型例题题型一：平面向量数量积的运算例1. 已知|4，|5，且与的夹角为60，求：(23)(32)解:(23)(32)4变式训练1.已知|3，|4，|5，求|23|的值解:题型二：平面向量的数量积解决夹角问题例2. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求；(2) 求|的最大值解：(1)若，则即 而，所以(2)当时，的最大值为题型三：平面向量的数量积解决垂直问题例3：已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)证明： 与互相垂直（2）,而，题型四：平面向量的数量积解决三角形的形状的问题例4. 已知O是ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，判断ABC是哪类三角形解:设BC的中点为D，则()()020BCADABC是等腰三角形变式训练3：若，则ABC的形状是 . 解: 直角三角形.提示： 例4. 已知向量(cos, sin)和(sin, cos) (, 2)且|，求cos()的值.解:(cossin, cossin)由已知(cossin)2(cossin)2化简：cos又cos2(, 2) cos0cos变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.解：由得小结归纳1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意与ab的区别0，或 3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合第4课时 线段的定比分点和平移基础过关1 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使，叫做 2设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是时，定比分点坐标公式为： ，中点坐标公式： 。3 平移公式：将点P（x、y）按向量（h、k）平移得到点P（x，y），则 典型例题题型一：定比分点坐标公式的应用例1. 已知点A(1, 4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.解 P1(x2) P2(3, 0) (2) , 2变式训练1.设|AB|5，点p在直线AB上，且|PA|1，则p分所成的比为 解: 题型二：平移公式的应用例2. 将函数y2sin（2x）3的图象C进行平移后得到图象C，使C上面的一点P（、2）移至点P（、1），求图像C对应的函数解析式解: C：y2sin(2x)2变式训练2：若直线2xyc0按向量(1, 1)平移后与圆x2y25相切，则c的值为 （ ）A8或2 B6或4C4或6 D2或8解: A例3. 设(sinx1, cosx1)，f (x)，且函数yf (x)的图象是由ysinx的图象按向量平移而得，求.解:() (kz)变式训练3：将ysin2x的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在k, k (kZ)上递减，则 解:(，0)例4. 已知ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、4)，点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且AMN的面积等于ABC的面积的一半，求N点的坐标解:由 得 N(4，) 变式训练4.已知ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC的面积分成45两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标解:小结归纳1在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比2平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P(x、y)，及向量(h，k)三者之间的关系它的本质是平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆第5课时 解斜三角形 知 识 梳理 1 内角和定理：在中，；2 面积公式: = 3正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： ； ； cosC=.5关于三角形面积问题=ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；absinCbcsinAacsinB；2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）；,；,( r为ABC内切圆的半径)考点1: 运用正、余弦定理求角或边题型1.求三角形中的某些元素例1 (2008年广州市海珠区高三上期综练二)已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，.（）求角A的大小；（）若求的长.解析:() =1分=2分 4分6分7分 .8分()在中， ，9分 由正弦定理知：10分=. 12分【名师指引】已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，要注意解可能有多种情况【新题导练】1.在ABC中，a1，b，B60，求c.解析：由余弦定理得 ()212c22ccos60，c2c60，解得c13，c22(舍去).c3.2若在ABC中，求ABC外接圆的半径R. 解析: 题型2判断三角形形状例3在ABC中，bcosAcosB，试判断三角形的形状.【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理解析：方法1：利用余弦定理将角化为边.bcosAcosB 故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.bcosAcosB 又b2RsinB，2RsinA 2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，AB AB0，即AB故三角形是等腰三角形.【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.【新题导练】3.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC， sin（AB）0，AB4. 在ABC中，若，则ABC的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形D.等边三角形解析：由已知及正弦定理得 sin2A=sin2B 2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形.选C考点2: 三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.例1（08重庆） 设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：（）的值；解析：（）由余弦定理得 故【新题导练】5三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，, 若,求角B的大小； 解析:， ， 6在RtABC中，C=90,且A，B，C所对的边a,b,c满足a+b=cx，求实数x的取值范围. 解析，又，即考点3 与三角形的面积相关的题题型1:已知条件求面积例1: (广州执信中学09届高三上学期期中考试)在中， （）求的值；（）设，求的面积解析：（）由，得， 由，得 又所以（）由正弦定理得 所以的面积.题型2:已知面积求线段长或角例2 (广东省惠州市2009届第二调研考试）在中， 、求的值；、设的面积，求的长【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法.解析：、由，得，由，得所以、由得，由知，故，又，故，所以【新题导练】7.在三角形中，求三角形的面积。【解析】 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 8. 在中，则等于 A、 B、 C、或 D、或【解析】C平面向量章节测试题一、选择题1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）3. ABC中,=a, =b,则等于 ( )A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简(ab)(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )A.ab B.0 C. a+b D. ab5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )A.15 B. C. 16 D.146.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p,则k的值为 ( )A. B. C. D.7. 已知ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系是 ( )A. P在ABC的内部 B. P在ABC的外部 C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点8.已知ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且ABM的面积是ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )A.5 B. C. D.9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b|的值 ( )A. B.9 C. D.10.若|a|=1,|b|=,(a-b)a,则a与b的夹角为 ( )A.300 B.450 C.600 D.75011.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx12.在ABC中，=c, =a, =b,则下列推导中错误的是 ( )A.若abf(cd)的解集平面向量章节测试题参考答案一、BCDBA；DDADB；BD二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a2b ; 16.三、17.|=2|a,ba , =ab18.5e1+5e2= , 又有公共点B,A、B、D共线设存在实数使ke1+e2=(e1+ke2) k=且k=1 k=19.由可知即ABAC 设D（x,y）, 5(x-2)+5(y-4)=0 5(x+1)5(y+2)=0 D()20.设P（x,y）21. 当b与a+b(R)垂直时，b(a+b)=0,= - | a+b |= 当= -时，| a+b |取得最小值.当b与a+b(R)垂直时，a+b的模取得最小值. 22. (1）ab=2sin2x+11 cd=2cos2x+11 （2）f(1-x)=f(1+x) f(x)图象关于x=1对称 当二次项系数m0时, f(x)在（1，）内单调递增，由f(ab)f(cd) ab cd, 即2sin2x+12cos2x+1 又x0, x当二次项系数mf(cd) ab cd, 即2sin2x+10时不等式的解集为;当m0时不等式的解集为、五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C解析 ,由及向量的性质可知,C正确.2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( ) A. 6 B. 2 C. D. 答案 D解析 ，所以，选D.3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A B.4 C D 答案 C 解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现4.（2009浙江卷文）已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 答案 D解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有5.（2009北京卷文）已知向量，如果那么 ( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向 答案 D解析a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域答案 D解析 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.7.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向 答案 D解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.8.(2009山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D. 答案 B解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。9.（2009全国卷文）已知向量a = (2,1)， ab = 10，a + b = ，则b = A. B. C.5 D.25 答案 C解析 本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C.10.（2009全国卷理）设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( )A. B. C. D. 答案 D解析 是单位向量 .11.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则 ( )A1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，1 答案 A解析 因为代入选项可得故选A.12.（2009全国卷理）已知向量，则 ( ) A. B. C. D. 答案 C解析 ,故选C.13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为， 则 ( ) A. B. C. 4 D.2 答案 B解析 由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 答案 C解析15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 答案 B解析 由计算可得故选B16.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )A BC D 答案 A解析 得. 或.17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于（ ）A. B.2 C.4 D.12 答案 B解析 由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos6041218.（2009全国卷文）设非零向量、满足，则( )A150 B.120 C.60 D.30 答案 B解 由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。19.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于( )A. B. C. D. 答案 A.解析 由知, 为的重心,根据向量的加法, 则=20.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为( )A. B. C. D. 答案 A解析 向量（31，2），（1,2），因为两个向量垂直，故有（31，2）（1,2）0，即3140，解得：，故选.A.21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a/b”的正确是 （ ）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A解析 由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。22.（2009福建卷文）设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， =,则 的值一定等于 ( )A以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 答案 A解析 假设与的夹角为， =cos=cos(90)=sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积.23.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）ABCD 答案 C解析 因为由条件得24.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D2 答案 D解法1 因为，所以由于与平行，得，解得。解法2 因为与平行，则存在常数，使，即，根据向量共线的条件知，向量与共线，故25.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于( ) 答案 B解析直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，26.（2009湖北卷文）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于( )A. B. C. D. 答案 D解析 由平面向量平行规律可知，仅当时，：=为奇函数，故选D.26.（2009广东卷理）若平面向量，满足，平行于轴，则 . 答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)解析 或，则或.27.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= .答案 3A B C P 解析 考查数量积的运算。 28.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_. 答案 2解析 设 ，即29.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _.答案 4/3解析 设、则 , ,代入条件得30.（2009江西卷文）已知向量， ，若 则= 答案 解析 因为所以.31.（2009江西卷理）已知向量，若，则= 答案 解析 32.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图2 答案 解析 作,设， ,由解得故33.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_. 答案 （0，2）解析 平行四边形ABCD中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即D点坐标为(0,2)34.(2009年广东卷文)（已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值解 （）,即又, ,即,又,(2) , ,即 又 , 35.（2009江苏卷）设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求证：. 36.（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又， .（2）， 则，37.（2009湖南卷文）已知向量（1）若，求的值； （2）若求的值。 解 （1） 因为，所以 于是，故（2）由知， 所以从而，即，于是.又由知， 所以，或.因此，或 38.(2009湖南卷理) 在，已知，求角A，B，C的大小.解 设由得，所以 又因此 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，从而或，既或故或。39.（2009上海卷文） 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解（2）由题意可知 由余弦定理可知， 20052008年高考题一、选择题1.（2008全国I）在中，若点满足，则（ ）ABCD 答案 A2.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4） 答案 B3.（2008湖北）设,则 （ ）A. B. C. D. 答案 C4.（2008湖南）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 答案 A5.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）A B C D 答案 B6.（2008浙江）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D. 答案 C7.（2007北京）已知是所在平面内一点,为边中点,且，那么（） 答案 8.（2007海南、宁夏）已知平面向量，则向量（） 答案 9.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则=（ ）A B C D 答案 10.（2007湖南）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）ABCD 答案 A11.（2007天津）设两个向量和，其中为实数若，则的取值范围是（）-6，1 （-6，1-1，6 答案 12.（2007山东）已知向量，若与垂直，则（ ）AB CD4 答案 13.（2006四川）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A. B. C. D.答案 A14.（2005重庆）设向量a=（1，2），b=（2，1），则（ab）（a+b）=.（ ） A（1，1）B（4，4） C4D（2，2） 答案 B二、填空题15.（2008陕西）关于平面向量有下列三个命题：若，则若，则非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号） 答案 16.（2008上海）若向量，满足且与的夹角为，则 答案 17.（2008全国II）设向量，若向量与向量共线，则 答案 218.（2008北京）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 答案 019.（2008天津）已知平面向量，若，则_ 答案 20.（2008江苏），的夹角为， 则 答案 721.（2007安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示） 答案 22.（2007北京）已知向量若向量，则实数的值是 答案 -323.（2007广东）若向量、满足的夹角为120，则 . 答案 24.(2005上海)直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是_.答案 x+2y-4=025.(2005江苏)在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_。 答案 2 三、解答题26.（2007广东）已知顶点的直角坐标分别为.(1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围. 解 (1) , 当c=5时， 进而(2)若A为钝角，则ABAC= -3(c-3)+( -4)2显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为，+)
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