中考复习资料(好)(六)三角形及四边形.doc

三、三角形（一）、课标要求具体内容知识技能要求过程性要求三角形的有关概念画任意三角形的角平分线、中线、高三角形的稳定性三角形的中位线全等三角形的概念三角形全等的条件等腰三角形的概念等腰三角形的性质及判定直角三角形的概念直角三角形的性质及判定（二）、知识要点1.三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。三角形按角分类：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形。画任意三角形的角平分线、中线、高。三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫三角形中位线；三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。2.我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）。3.三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和等于360。4.三角形的三边关系：三角形的任何两边的和大于第三边。三角形具有稳定性。四边形具有不稳定性。5.等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线为对称轴；等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各个角都相等，每个角都是60。等腰三角形的识别：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（4）三角形的一条角平分线垂直于这个角的对边，则这个三角形是等腰三角形。（三）、考点解读例1.如图，若，求的度数。分析：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，这里是求证一个角等于三个角的和，这就启示我们要将此图化为三角形进行研究。解：例2.一个等腰三角形的周长是18cm（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边长。（2）已知其中一边长4cm，求其它两边长。分析：（1）可直接根据定义计算；（2）因为4cm有可能作腰，也有可能作底，故要分两种情况。解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm（2）第一种情况：4cm的长的边为底，设腰长为xcm则第二种情况：4cm的长为腰，设底边长为xcm则，即发生两边的和小于第三边的情况4cm为腰不能组成三角形，从而得这个三角形其他两边长都是7cm。说明：三角形的三边，有的各不相等，有的两条边相等，有的三条边相等，解题应注意，求三角形的边长问题，一定要考虑三角形三边关系定理，不满足定理的应舍去。例3.已知，如图，BE平分，求证：BC/DE证明：BE平分（已知）（角平分线定义）又（已知）（等量代换）BC/DE（内错角相等，两直线平行）例4.家庭装饰采用的地砖一般是正方形、矩形或菱形材料，人行道铺的水泥砖往往是方形、三角形或是六边形，为什么要采用这样的材料，采用其它多边形材料行吗？若行，需要有什么限制？分析：铺地板时，有以下几点要求：（1）平整，即材料厚度一致；（2）无缝隙，要满足下面两点才能保证：相邻两块砖拼接的对应边要完全重合，即对应边相等；在每块砖的顶点处要能拼成周角360。（3）考虑稳定性，符合力学要求。解：三角形材料只要全等，由内角为180，用六个全等三角形能在一个顶点处拼得360角，对应边相等，能保证相邻两个三角形拼接的边能完全重合，故三角形材料在全等条件下能铺满地板。对于全等的特殊四边形材料，由内角和为360，可以铺满地板，其实，一般的四边形材料也能。五边形因其内角和为540，不是360的整数倍，当这个五边形为正五边形时，每个内角为108，它的整数倍不是360，故不能在顶点处构造360角，所以不能用五边形材料铺地板。六边形材料，因其内角和超过360，不能用一般六边形拼成360角，但正六边形的每个内角都为120，它的3倍为360。故在一个顶点处，用三个这样的六边形能拼成360，故可行。当边数多于6时，无论内角是否相等，都无法拼成360角，所以不能用它们来铺地板（四）、智能训练一、精心选一选1一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ()A三角形内部B三角形的一边上C三角形外部D三角形的某个顶点上2下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ()A4、5、6B6、8、15C5、7、12D3、9、133在锐角三角形中，最大角的取值范围是 ()A090B6090C60180D60904下列判断正确的是 ()A有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等C有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D有两角和一边对应相等的两个三角形全等5等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是()Ax6B6x12C0x12Dx126已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式BC3A则此三角形 ()A一定有一个内角为45B一定有一个内角为60C一定是直角三角形D一定是钝角三角形7三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ()A三条中线交点B三条角平分线交点C三条高线交点D三条高线所在直线交点8已知等腰三角形的一个角为75，则其顶角为 ()A30B75C105D30或759如图5124，直线、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ()A一处B二处C三处D四处10三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是 ()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D根本无法确定二、细心填一填1如果ABC中，两边a7cm，b3cm，则c的取值范围是_；第三边为奇数的所有可能值为_；周长为偶数的所有可能值为_2四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成_个三角形3过ABC的顶点C作边AB的垂线将ACB分为20和40的两个角，那么A，B中较大的角的度数是_4在RtABC中，锐角A的平分线与锐角B的平分线相交于点D，则ADB_5如图5125，AD，ACDF，那么需要补充一个直接条件_(写出一个即可)，才能使ABCDEF6三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_三角形7ABC中，AB5，BC3，则中线BD的取值范围是_9已知：如图5127，ABC中，BO，CO分别是ABC和ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DEBC若AB6cm，AC8cm，则ADE的周长为_三、用心做一做1，已知：如图5129，ABC的B、C的平分线相交于点D，过D作MNBC交AB、AC分别于点M、N，求证：BMCNMN2已知：如图5130，在ABC中，ACB90，CD为高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由3已知：如图5131，在ABC中有D、E两点，求证：BDDEECABAC5已知：如图5132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形ACM和BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q求证：PQAB智能训练答案一、1A 2A 3D 4D 5B 6A 7B 8D 9A 10D二、1，5cm、7cm、9cm，16cm或18cm； 22； 370 4 5ABDE（或BE或CF）； 6直角； 7； 8； 914cm 101800三、1略2解： 略3延长BD交AC于M点，延长CE交BD的延长线于点N5略6解：连结CE、BF，四、四边形（一）、课标要求具体内容知识技能要求过程性要求多边形的内角和与外角和正多边形的概念平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念平行四边形的性质及判定矩形、菱形、正方形的性质及判定等腰梯形的有关性质和判定平面的密铺、密铺的简单设计（二）、知识要点1.n边形的概念由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫做n边形（我们所研究的多边形都是凸多边形，即所有的内角都小于180的多边形）。如果多边形的各边都相等各内角也都相等，这样的多边形叫做正多边形。n边形内角和等于。n边形的外角和恒等于360，它与多边形边数无关。2.用正多边形拼地板用多边形拼地板的条件：用给定的多边形拼地板，即能拼成一个既不留下一丝空白，又不互相重叠的平面图形，其条件是：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。（等于360）2.平行四边形的识别方法：（1）从边的关系去识别一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）从角的关系去识别两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（注：邻角都互补的四边形也可证其是平行四边形。）（3）从对角线的关系去识别：对角线相互平分的四边形是平行四边形。平行四边形的性质定理：（1）从边的关系分析平行四边形对边平行且相等。（2）从角的关系分析平行四边形对角相等、邻角互补。（3）从对角线分析平行四边形对角线互相平分。（4）从对称性分析平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心。（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点旋转180来构造平行四边形。）矩形的识别方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。（3）对角线相等的平行四边形是矩形。（4）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。矩形的性质定理：（1）矩形的四个角都是直角。（2）矩形的对角线相等且相互平分。矩形的对称性：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。菱形的识别方法：四条边都相等的四边形是菱形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。菱形的性质定理：菱形四条边都相等。菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。菱形的对称性：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半。正方形的性质：（1）正方形四个角都是直角，四条边都相等。（2）正方形两对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角。正方形的对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。正方形的边长与对角线长的比为。正方形的识别方法：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）对角线相互垂直的矩形是正方形。（3）有一个角是直角的菱形是正方形。（4）对角线相等的菱形是正方形。（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。注：证明四边形是正方形往往先证明它是矩形或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角线关系出发直接证其是正方形。（三）、考点解读例1.如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，且AOB的周长比BOC的周长长8cm，求AB和AD的长。分析：由平行四边形的特征可知：ABBC是平行四边形的周长的，即。又由AOB的周长比BOC的周长长8cm可得，解方程组即可求出AB和BC的长。解：四边形ABCD是平行四边形ABCD，ADBC，AOCO又又AB和AD的长分别为19cm和11cm例2.如图，已知梯形ABCD中，ABCD，A40，B100。求证：BCABCD分析：如何把A、B转移到一个三角形中是本题的关键。过D作BC的平行线，从而将分散的条件集中，观察到图形本身的特殊性，即ADE为等腰三角形。证明：过D作DEBC交AB于E点ABCD，DECB四边形BCDE是平行四边形DEBC，DCBE又DEBCAEDB100又A40小结：将梯形问题转化为三角形和平行四边形来进行解决是解决有关梯形问题常见的一种方法。本题还可以作AD、BC的延长线构造三角形来进行解答。例3.如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH。试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：（1）当ABCD为任意四边形时，EFGH为_；当ABCD为矩形时，EFGH为_；当ABCD为菱形时，EFGH为_；当ABCD为正方形时，EFGH为_；当EFGH是矩形时，ABCD为_；当EFGH是菱形时，ABCD为_；当EFGH是正方形时，ABCD为_。（2）请选择（1）中任意一个你所写的结论进行证明。（1）答案：平行四边形；菱形；矩形；正方形；对角线垂直的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等且垂直的四边形。（2）分析：结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD。证明：当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形EHACFG，EFBDGH四边形EFGH为平行四边形证：若ABCD为矩形，则EFGH为菱形EHACFG，EFBDGH四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形EHACFG，EFBDGH四边形ABCD为矩形ACBDEHACFGEFBDGH四边形EFGH为菱形若ABCD为菱形，则EFGH为矩形，留给同学们自己证。例4.如图所示，四边形ABCD中，BADC90，AEBC于E，AE10cm，ABAD，求四边形ABCD的面积。剖析：由于ABCD是不规则四边形，根据已知条件不易直接求出面积，若通过旋转，构造正方形，就可化难为易。答案：将ABE绕点B旋转90后得ADF则AFAE10cm，12因为，所以又因为AEBC，所以AEC90因为C90，所以四边形AECF为矩形又因为AEAF，所以矩形AECF为正方形所以所以例5.如图，梯形ABCD中，AD18cm，BC21cm，点P从点A开始沿AD边向D以1m/s的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向B以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒，求：（1）t为何时，四边形ABQP为矩形？（2）t为何时，四边形PQCD为等腰梯形？分析：（1）假设ABQP为矩形成立即：看P、Q应满足什么条件？即APBQ解：（1）APBQ7秒时ABQP为矩形分析：（2）若四边形PQCD为等腰梯形即：则PQCD，将PQCD的关系转化到AD、BC边上则须添什么辅助线？略解：（2）过P做PEBC于E，过D作DFBC于F可证出四边形ABEP、PEFD、ABFD均为矩形BC21，AD18，CF3（若QE3，则PQDC，则四边形PQCD为等腰梯形）8秒时四边形PQCD为等腰梯形（四）、智能训练练习三（四边形）（一）、精心选一选1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对角相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.对边平行且相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四边都相等B.对角线互相垂直平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角3.E为正方形ABCD的BC延长线上的点，且CEAC，AE交CD于F，则ACE（）A.132.5B.125C.135D.1504.正方形是轴对称图形，它的对称轴有（）A.1条B.2条C.4条D.无数条5.下列图形中不是中心对称图形的是（）A.线段B.矩形C.等腰梯形D.正方形6.在周长为40cm的梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，AD5cm，则ABE的周长为（）A.40cmB.30cmC.20cmD.15cm二.细心填一填7.如图1，平行四边形ABCD中，AB4cm，AD7cm，ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF_cm。8.平行四边形ABCD中，ADC125，CAD34，则ABC_，CAB_。9.平行四边形ABCD的周长为28cm，对角线AC、BD交于点O，且OAB的周长比OBC的周长大4cm，则AB_，BC_。10.如图2，由火柴棒拼成的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：（1）第4个图形中火柴棒的根数是_；（2）第n个图形中火柴棒的根数是_。11.如图3，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，CAE15，则BOE_。12.菱形ABCD的周长为20cm，A：B1：2，则对角线BD的长为_。13.菱形ABCD的一条对角线BD上一点E到AB的距离为2，则点E到BC的距离为_。14.菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC12cm，BD8cm，则菱形的面积为_。15.以正方形ABCD的边AB为边作等边ABE，ADE_。16.如图4，梯形ABCD的面积为，E为CD的中点，连结AE、BE，则ABE的面积为_。三.用心做一做17.如图5，平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上两点，且DEBF。求证：AECF18.如图6，平行四边形ABCD中AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ、BN交于点P，CN、DQ交于点M。求证：MPNQ19.如图7（1），已知直线mn，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点，（1）请写出图（1）中面积相等的各对三角形：_。（2）若A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，无论P点移动到任何位置，总有_与ABC的面积相等，理由是_。解决问题：如图7（2），五边形ABCDE是张大爷十年前承包的土地示意图，经多年开垦，现已变成如图7（3）所示形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即7（2）中的折线CDE）还保留着。张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。（1）请你写出设计方案，并在图7（3）中画出相应的图形；（2）请说明方案设计理由。【智能训练答案】一. 精心选一选。1.B2.C3.C4.C5.C6.B二. 细心填一填。7.3，8.12521，9.9cm5cm，10.13，11.75，12.5cm，13.2，14.，15.15或7516.三.用心做一做。17.证明：连结AC交BD于O点四边形ABCD是平行四边形OAOC，OBOD又DEBFODDEOBBF即OEOFOAE与OCF关于O成中心对称即OAE绕点O旋转180能与OCF重合AECF18.证明：四边形ABCD是平行四边形ABCD又BN平分ABC，CN平分BCD在BCN中，BNC90同理，APBAQD90BNCNPQPQM90四边形PQMN是矩形MPNQ（矩形的对角线相等）19.解：（1）图（1）中面积相等的三角形有：ACB和APB；ACP和BCP。（2）PAB和ABC的面积相等，理由是同底等高的两个三角形面积相等。解决问题：设计方案：连结EC，过D作GHEC交EN于G，交CG于H连结EH，则EH为所修直路理由如下：ECGHD、H到EC的距离相等在EH左边的土地面积与承包时的面积一样多五、相似图形（一）、课标要求具体内容知识技能要求过程性要求比、成比例线段、黄金分割相似图形、相似图形的性质三角形相似的性质及判定、直角三角形相似的判定位似及应用相似的应用（二）、知识要点1.比例线段在同一长度下，量得的两条线段长度的比值叫这两条线段的比。对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等。即（或a：bc：d），那么这四条线段叫做成比例的线段，简称比例线段。如果作为比例线段的两个内项是两条相同的线段，即a：bb：c，那么b叫做线段a、c的比例中项。在比例式a：bc：d中，d叫做a、b、c的第四比例项。比例的性质：（1）比例的基本性质：（2）等比性质：如果则黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即）叫做把这条线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点。其中3.图形的相似相似三角形的性质：相似三角形对应角相等、对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。识别方法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似。识别直角三角形相似的方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相似。相似多边形的概念及性质：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形的周长比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方。（三）、考点解读例1若x：y：z2：7：5，且，求的值。分析：x：y：z2：7：5设x2k，y7k，z5kk2x4，y14，z10例2.如图，直立在点B的木棍AB2.6米，从人EF的头顶上看，点A与树尖C重合，地平线上的点F、B、D共线，已知BD10米，FB3米，EF1.7米，求树CD的高（精确到0.1米）分析：将此题抽象出几何图形解决此问题关键是构造基本图形A型图解法一：设MFx再利用得：CD5.6解法二：AMCNAM2.61.70.9EM3，EN13CN3.9CD3.91.75.6例3.如图，ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F。求证：AE：ED2AF：FB分析：要证AE：ED2AF：FB观察所证四条线段位置AE、ED共线，AF、FB共线这种线段比值关系存在于A型或X型图中所以，此题需构造A型图、X型图。即添加平行线构图。思路1：过D作DMFCD是BC中点M是BF中点又AE：EDAF：MFAE：ED2AF：BF思路2：过D作DMABD是BC中点，M是FC中点又AF：DMAE：EDAE：ED2AF：BF思路3：过A作AMBC交CF延长线于M思路4：过B作BMFC交延长线AD于MBDDCEDDMEM2ED还可尝试其他方法证明：例4.如图，ABC中，ACB90，D是AB中点，过D作AB的垂线交CB于E，交AC的延长线于F，求证：CD2DEDF。分析：所证线段恰好在两个三角形中，可证相似证明：D是RtACB斜边BC中点，CDBD，1B又证BF，CDECFD，CD2DEDF例5.已知：如图，矩形ABCD中，AB2，BC3，P是BC边上与B、C两点不重合的任意一点，设PAx，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。解：过D作DEAP于E，则DEyADEPAD90BAPPAD90BAPADE且ABCDEA90ABPDEA，AB2，BCAD3PAx，DEy（）（四）、智能训练练习四（图形的相似）（一）、细心填一填1.已知：如图1，ABCAED，AD5cm，EC3cm，AC13cm，则它们的相似比为_，AB_，它们的面积比为_。2.两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长比为_。3.两个相似三角形面积分别为35cm2和15cm2，则它们一组对应边上高线的比为_。4.已知：如图2，DEBC，BE、CD相交于F，则DEF和CBF的面积比为_。5.如果两个相似三角形的对应边的比为4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_。6.如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个多边形的周长分别为_。（二）、精心选一选7.ABC和A1B1C1相似，且相似比为k（k1），那么k的值为（）A.A1C1：ACB.BB1C.D.ABC周长：A1B1C1周长8.下面四组图形中必定相似的是（）A.各有一个角是30的两个等腰三角形B.有两组边成比例的两个直角三角形C.有一个角相等的两个直角三角形D.各有一个角是91的两个等腰三角形9.由下面条件，能判断ABCABC的是（）A.A50，B40，A50，C80B.AA130，AB4，AC10，AB10，AC24C.AB48，BC80，CA60，AB24，CA30，BC40D.AA90，AB5，BC，AC7，BC10.如图3，AEDB，则下面等式中，正确的是（）A.AD：AECE：DBB.AE：BCAD：DBC.AD：AEAC：ABD.AD：ABDE：BC11.如图4，ACDB，DEBC，则图中共有（）对相似三角形。A.2B.3C.4D.512.ABC中，D是BC上的点，要想使CADCBA，则下面条件中必成立的是（）A.AB2BDBCB.CD2ADDBC.AD2BDDCD.AC2CDCB（三）、用心做一做13.已知：如图5，ABC中，DEBC，DE4cm，BC6cm，ABC的面积为12cm2，求梯形DECB的面积。14.已知：如图6，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，OFAC于O点，交AB于E，交CB延长线于F点。求证OBOCOEOF。 15.已知：如图7，ABC中，ACB90，M为BC中点，CNAM。求证：MBNMAB。16.已知：如图8，ABC中，AH是BC边上的高，四边形DEFG为矩形，AH与GF交于K，若BC30cm，AH15cm，EF：DE1：3，求矩形DEFG的周长。17.已知：如图9，ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面积是BDE的面积的4倍，AC6，求DE的长。【智能训练答案】（图形的相似）一、细心填一填1.5：13，26，25：169，2.5：2，3.，4.16：49，5.8cm，10cm，6.100cm，40cm二、精心选一选7.D8.D9.C10.C11.B12.D三、用心做一做13.解：DEBCADEB又AAADEABCSABC27S梯形DECB1514.证明：矩形ABCD中ABC90，EBF90FFEB90又OFACAOF90BACAEO90FEBAEOFBAO又矩形ABCD中AOBOOCEBOBAOFFOB是公共角BOEFOBOBOCOEOF15.证明：RtACB中，ACB90CNAM于NCM2MNAM又M为BC中点MB2MNAM又NMBAMBNMBBMAMBNMAB16.解：EF：DE1：3，可设EFx，DE3xGDEF为矩形，则GFDE3x，EFGDx又AHBC，KHFExGFBC，AGFABC又AHBCx6GF18，EF6CGDEF4817.解：ADBC，ADB90CEAB，BEC90又BBBECBDAB是ABC与EBD的公共角BEDBCA六. 图形与证明（一）、课标要求具体内容知识技能要求过程性要求证明的必要性定义、命题、定理、互逆命题反例的作用及反例的应用反证法的含义证明的格式及依据全等三角形的性质定理和判定定理平行线的性质定理和判定定理三角形的内角和定理及推论直角三角形全等的判定定理角平分线性质定理及逆定理垂直平分线性质定理及逆定理三角形中位线定理等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理（二）、知识要点1. 本章所证明的定理和推论有： 定理 （1）平行四边形的对边相等。 （2）平行四边形的对角相等。 （3）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 （4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （6）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 （7）矩形的四个角都是直角。 （8）矩形的对角线相等。 （9）菱形的四条边都相等。 （10）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。 （11）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 推论 （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 本章证明的其他可以在推理过程中使用的内容： （1）平行四边形的对角线互相平分。 （2）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）有三个角是直角的四边形是矩形。 （6）对角线相等的平形四边形是矩形。 （7）四条边都相等的四边形是菱形。 （8）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 （9）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 （10）有一个角是直角的菱形是正方形。 （11）对角线相等的菱形是正方形。 （12）对角线互相垂直的矩形是正方形5.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。全等三角形对应边相等、对应角相等。全等三角形的识别：S.A.S.：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。A.S.A.：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。A.A.S.：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。H.L.：有三边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写成“斜边、直角边”或“HL”）能明确指出概念含义或特征的句子叫做定义。注意：定义必须严密，一般避免使用含糊不清的术语。判断正确或错误的句子叫做命题。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。命题由题设和结论两部分组成，常可写成“如果那么”的形式。正确性是人们长期以来在实践中总结出来的，并作为识别其他命题真假的根据的命题叫做公理。常见公理：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。正确性是用推理证实的，这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。3.证明方法：分解图形法复杂的图形都是由较简单的基本图形组成，因此可将复杂图形分解成几个基本图形，这样使问题显而易见。构造图形法：当直接证题有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形，以达到解题的目的。解题的基本方法：综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法。分析法是从结论出发，用倒推来寻找证题思路的方法。两头“凑”的方法，也就是综合运用以上两种方法才能找到的证题思路。（也叫分析综合法）。转化思想：转化思想就是将复杂问题转化、分解为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想。七、尺规作图（一）、课标要求具体内容知识技能要求过程性要求基本作图利用基本作图作三角形过平面上的点作圆尺规作图题的步骤（已知、求作、作法）（二）、知识要点尺规作图与工具作图不同，只允许使用直尺（无刻度）和圆规，一些尺规作图的作法，都是由基本作图组成的。基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；平分已知角；经过一点作已知直线的垂线；（三）、考点解读例1.指出下列句子哪些是定义。（1）同位角相等，两直线平行（2）若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直（3）大于直角而小于平角的角叫做钝角（4）两点之间线段最短（5）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等解：（2）（3）是定义；（1）（4）（5）不是定义。例2.判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？（1）连结AB（2）对顶角相等（3）如果两个三角形有两条边和一个角对应相等，那么这两个三角形全等（4）若，则ab解：（略）例3.将下列命题改成“如果那么”的形式，并分别指出命题的题设和结论。（1）直角都相等（2）末位数是5的整数能被5整除（3）三角形的内角和是（4）同角的余角相等（5）不相等的角不是对顶角（6）内错角相等，两直线平行解：（略）例4.已知斜边、一直角边，作直角三角形。已知线段a、b且（如图所示）求作：ABC，使CRt，ABa，ACb作法：（如图所示）作ACB90。在射线CM上截取CAb。以A为圆心，a为半径画弧交CN于B。连结AB。ABC为所求的直角三角形。说明：遇到作三角形问题时，应考虑先把能确定图形位置或相互关系的条件作出来，特别应注意一些隐含条件，如本例中的“C90”。例5.如图，在四边形ABCD中，E是AC上一点，求证：证明：在和中在和中例6.如图，在边长为1的正方形ABCD中，DE、DF分别与两边交于E、F两点，且，求的周长。解：延长BC到M，使，连DM正方形ABCD，在和中在和中周长为例7.如图，在等腰直角三角形中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且，垂足为E（1）求证：（2）设，四边形PBDE的面积是y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围证明：（1）中，O是斜边AC的中点，在和中（2）例8.在中，ACBC，直线MN经过点C，且于D，于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。解：（1），（2）（3）略例9.已知，如图，在中，AD为BC的中线，E为AC上一点，BE和AD交于F，若AEEF，求证：证法1：延长AD到M，使，连BM在和中证法2：延长FD到N，使DNFD，连CN在和中小结：加倍中线是解决中线问题的常见方法。例10.如图，中，在AB上取点D，在AC的延长线上取点F，使BDCF，连结DF交BC于点E，求证：DEFE证法1：过D作DM/AC，交BC于M在和中证法2：过F作FN/AB交BC延长线于N证证法3：过D作于H，交BC延长线于K证例11.已知，如图，中，ABAC，求证：证明：在BC上截取，连结DE同理（四）、智能训练练习五（图形、证明与作图）一、精心选一选1.RtABC中，C90，A30，RtABC关于AB对称的三角形为RtABC，则ACC为（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图1所示，ABC中，A40，B72，CDAB于D，CE平分ACB交AB于E，DFCE于F，则CDF等于（）A.40B.68C.72D.743.如图2所示，ABC中，ABAC，CDBF，CEBD，则等于（）A.B.C.D.4.下列定理中，没有逆定理的是（）A.等腰三角形的两底角相等B.全等三角形的对应边相等C.全等三角形的对应角相等D.若，则5.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A.顶角B.顶角的一半C.底角的一半D.顶角的三分之一二、专心画一画（保留作图痕迹，不写作法）6.如图3所示，已知线段C及锐角。求作：RtABC，使C90，A，ABc7.已知：如图4所示，点M、G和相交直线AB、CD（1）作点G关于直线AB的对称点N（2）求作点P，使P到直线AB、CD的距离相等，且PMPN三、用心做一做8.如图5所示，ABC是等边三角形，D是BA的中点，DEAC，垂足为E，EFAB，AE1，求EFC的周长。9.ABC中，BAC90，D为ABC内一点，且ABACBD，ABD30求证：ADDC10.ABC中，B40，C20，ADAC交BC于D。求证：CD2AB11.如图6所示，ABCD，ADCB，O是AC的中点，EF、HG过O点，EF分别交AB、CD于E、F，GH分别交CB、AD于G、H求证：EGFH12.已知：如图7所示，ABAC，BAC90，BDDE，CEDE，D、E为垂足，F是BC的中点，连结DF、EF。求证：DFEF13.已知如图8所示，正三角形ABC中，D、E分别在AB、AC上，且BDAE，CD、BE交于O，DFBE于F求证：OD2OF14.已知如图所示，已知点G是ABC的内角平分线BG与外角平分线CG的交点，GDBC，分别交AB、AC于点D、E求证：BDCEDE15.已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，且交的平分线于N（1）吗？为什么？（2）若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”是否成立？若成立，给予证明，若不成立，说明理由。【智能训练答案】练习五（图形与证明）一、选择：1.B2.D3.D4.C5.B二、作图题：6.略7.略三、计算题：8.9四、证明题：9.过D作DEAC于E，过A作AFBD于F10.作CD边上中线AE11.证几组三角形全等12.连结AF，证明ABDCAE，则BDAE，ABDCAE；再证明BFAF，FBAFACFBDFAEDFEF13.证BECCDA，得ACDCBE再证明DOFACB6014.BDDG，DGDEEG，ECEG15.（1）取DA的中点F，则，BN平分，（2）成立。在DA上截取，则BN平分，练习六（综合练习）一、精心选一选1.通过平移得到的图形中的每一个点与原图形中的对应点的连线（）A、平行B、相等C、共线D、平行且相等或共线且相等2.一个多边形被截去一个角后，变成5边形，那么原来的多边形的边数是（）A、4边形或5边形或6边形B、5边形或6边形C、4边形或6边形D、5边形或6边形或7边形3.甘泉公园的一段人行道是用型号相同的地砖覆盖而成的，如图：是覆盖图案的一部分，如果每个五多边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于（）A、90B、120C、150D、1804如图，等腰梯形ABCD的上底BC长为1，弧OB、弧OD、弧BD的半径相等，弧OB、弧BD所在圆的圆心分别为A、O则图中阴影部分的面积是A、B、C、D、5与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点6三角形内到三角形各边的距离相等的点必在三角形的（）A.中线上B.角平分线上C.高上D.边的垂直平分线上7下面命题中，假命题是（）A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相平分D.梯形的对角线互相平分8正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线平分一组对角二、细心填一填9.如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则=_。10.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则_。11.已知：在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，的平分线交AD于E，CD延长线于F，则DF=_。12.如图所示，ABC中有菱形AMPN，如果那么_。13.如图所示在菱形ABCD中，的中垂线交对角线AC于F，E连结DF，则_。14.如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，它的判定方法是_。三、用心做一做15.如图所示，四边形ABCD中，BD90，AE平分A，CF平分C。求证：AECF16.已知：如图所示，ABC中，ABAC，AD平分BAC，EFAD于G，交A