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向量及向量的基本运算 【知识点精讲】1）向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作|。零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。单位向量：模为1个单位长度的向量。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。2）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）； （2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。的作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4)实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5)两个向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。6)平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。【例题选讲】例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9)已知A（3，7），B（5，2），将按向量=（1，2）平移后得到的向量的坐标为（3，3）(10）的充要条件是且；解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图 （9）不正确，=（1，2），平移公式是，将A（3，7），B（5，2）分别代入可求得，故=（6,4）（4,9）=（2,5）。（10）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到； 点评正确理解向量的有关概念例2: 已知G是ABC的重心，求证：证明：以向量为邻边作平行四边形GBEC，则，又由G为ABC的重心知，从而，。说明：此题也可以用向量的坐标运算进行证明。练习：如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD3CN,设解： . 点评根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示例3（同课本）：设不共线，点P在AB上，求证：。解题过程请参考课本。变一：设不共线，求证：A、B、P三点共线。说明：当时，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。练习：设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值分析:使解：, 使得点评共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决例4（同课本）：若是两个不共线的非零向量（。（1） 若起点相同，为何值时，三向量的终点在一直线上？（2） 若且夹角为，那么为何值时，的值最小？注意：解题过程参考课本。【课堂小结】1）向量的有关概念: 向量零向量单位向量平行向量（共线向量）相等向量2）向量加法减法:3)实数与向量的积4)两个向量共线定理5)平面向量的基本定理, 基底
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