资源描述
实数的概念及分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数实数 正无理数无理数 无限不循环小数负无理数无理数归纳起来有三类：（1）开方开不尽的数，如等； （2）或含有的数，如+8等；（3）无限不循环小数，如0.1010010001等。实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零；从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称；如果a与b互为相反数，则有a+b=0，反之亦成立。2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离；零的绝对值是它本身；若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立；倒数等于本身的数是1和-1；零没有倒数。平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）；一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；正数a的平方根记做“”。2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”；零的算术平方根是零。3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。科学记数法和近似数 1、有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、用科学记数法表示一个绝对值极大数时写做“”的形式，其中，n等于整数位数减1；用科学记数法表示一个绝对值极小数时写做“”的形式，其中，n表示第一个非零数字前零的个数。实数大小的比较 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；实数与数轴上的点是一一对应的。2、实数大小比较的几种常用方法：（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数， 。（3） 负数 0 正数 ；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大。实数的运算 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法对加法的分配律： 实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。整式的有关概念 单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 单项式和多项式统称整式。多项式 多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。去括号法则：（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号；（2）括号前是“”，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。整式的乘法： 整式的除法：因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。因式分解的常用方法： （1）提公因式法： （2）运用公式法：； ； 。（3）分组分解法：（4）十字相乘法：因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式。（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。分式 分式的概念：分母中含有字母的式子叫做分式（分式和整式通称为有理式）。分式有意义的条件：分母不等于0； 分式无意义的条件：分母等于0； 分式值为零的条件：分子等于0且分母不等于0。分式的性质： （1）分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。分式的运算法则： 二次根式 二次根式：形如的式子叫做二次根式，二次根式有意义的条件：被开方数a大于等于0。最简二次根式：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。分母有理化： 分子分母乘以同一个根式；利用平方差公式。同类二次根式：被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。二次根式的性质： （1） （2） （3）二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。一元一次方程的概念 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。等式的性质： （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程；一元二次方程 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。一元二次方程的解法 1、直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程。2、配方法： 先把二次项系数化1； 两边同加一次项系数一半的平方，使得左边构成完全平方式，右边是非负数；两边开平方得方程的解。3、公式法：一元二次方程的求根公式： 4、因式分解法：利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程中，叫做根的判别式，通常用“”来表示，即； 0方程有两个不等的实根； 0方程有两个相等的实根； 0方程没有实根。一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。分式方程 分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”，它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母； （2）解所得的整式方程； （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原方程无解；若不等于零，就是原方程的根；分式方程的特殊解：法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。二元一次方程组 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解；二元一次方程有无数个解。二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；二元一次方程组有唯一解或无数个解（两个方程能互相转化时）。二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解法：（1）代入法 （2）加减法。不等式的概念 不等式:用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。不等式基本性质 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。一元一次不等式 一元一次不等式：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式；解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母 （2）去括号 （3）移项 （4）合并同类项 （5）将x项的系数化为1。一元一次不等式组 一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。平均数： 一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。统计学中的几个基本概念 总体：所有考察对象的全体叫做总体。 个体：总体中每一个考察对象叫做个体。样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。众数、中位数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。方差 ： 通常用“”表示方差，即 ；方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即方差或标准差的值反映一组数据的稳定性和波动情况，方差或标准差的值越小说明稳定性好，波动小。频率分布 研究样本的频率分布的一般步骤是：计算极差（最大值与最小值的差） ；决定组距与组数； 决定分点；列频率分布表； 画频率分布直方图。频率分布的有关概念： 极差：最大值与最小值的差； 频数：落在各个小组内的数据的个数；频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。确定事件和随机事件 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。必然事件和不可能事件统称确定事件。 随机事件：可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。概率的意义与表示方法 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。一般地，用英文大写字母A，B，C， 表示事件，事件A的概率可记为P（A）= P。确定事件和随机事件的概率之间的关系 （1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1； （2）当A是不可能发生的事件时，P（A）= 0；（3）当A是随机发生的事件时，0 P（A） 1。古典概型 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=列表法求概率 1、列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。树状图法求概率 1、树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。2、运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。利用频率估计概率利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。平面直角坐标系 1、平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征：点P(x,y)在第一象限； 点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)在第三象限； 点P(x,y)在第四象限；2、坐标轴上的点的特征：点P(x,y)在x轴上，x为任意实数； 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数。点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）。3、点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数。4、平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、点关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数。6、P(x,y)到x轴的距离等于； 点P(x,y)到y轴的距离等于； 点P(x,y)到原点的距离等于。 函数及其相关概念 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。函数的三种表示法：（1）解析法 （2）列表法 （3）图像法由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表 （2）描点 （3）连线正比例函数和一次函数 一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数；特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数；所有一次函数的图像都是一条直线。一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，y随x的增大而增大； （2）当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小；当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。注意：过反比例函数图像上任一点作x轴和y轴的垂线，两个垂足，原点，该点围成矩形的面积等于 k；过反比例函数图像上任一点作x轴或y轴的垂线，垂足，原点，该点围成三角形的面积等于 k2；二次函数一般地，形如是常数，的函数叫做二次函数；其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数一次项系数和常数项。二次函数必须满足的条件： （化简后）自变量的最高次数是2； 自变量的系数不等于0； 分母不含自变量。二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的三要素是开口方向、对称轴、顶点。二次函数的顶点就是对称轴与抛物线的交点.二次函数的一般形式：是常数， 当时，开口向上；当时，开口向下； 顶点是，对称轴是直线； 当a0时，函数有最小值即 当时，y min=；当a0时，函数有最大值即 当时，y max=。二次函数的顶点形式：y=a(xh)2+k (a,h,k是常数，a0) 当时，开口向上；当时，开口向下； 顶点是( h，k ),对称轴是直线x=h； 当a0时，函数有最小值即 当x=h时，y min=k当a0时，函数有最大值即 当x=h时，y max=k用待定系数法求二次函数的解析式： 一般式：，已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。 顶点式：，已知图像的顶点（或对称轴，最值）通常选择顶点式。 交点式，已知图像与轴的交点坐标（，0），（，0）通常选用交点式。二次函数中，的作用：1、决定开口方向：开口向上， 开口向下；2、和共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 对称轴在轴左侧时、同号；对称轴在轴右侧时、异号； 时，对称轴为轴；3、的大小决定抛物线与轴交点的位置：,与轴交于正半轴； ,与轴交于负半轴； ，抛物线经过原点。注：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大。二次函数的平移： 函数要平移，先化顶点式，“上加下减，左加右减”。二次函数与坐标轴的交点： 与x轴的交点：令y=0，算出x,写成点的坐标形式；与y轴的交点：令x=0，算出y,写成点的坐标形式。二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数 对应的一元二次方程是 （a0）函数与x轴有两个交点 b24ac0 方程有两个不相等的解；函数与x轴有一个交点 b24ac0 方程有两个相等的解；函数与x轴没有交点 b24ac0 方程无实数解；拓展：函数与x轴有交点 b24ac0 方程有实数解。注：二次函数 与x轴交点的横坐标就是方程（a0）的解。注：抛物线上任一组对称点（关于对称轴对称的两个点），到对称轴的距离相等。点、线、面、体点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 点动成线，线动成面，面动成体。直线的性质：（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。线段的性质：（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。角 角的相关概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。角的表示：用数字表示单独的角，如1，2，3等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。角的性质： （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较； （3）角可以参与运算。角的平分线及其性质：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角平分线的性质：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。相交线 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。邻补角互补，对顶角相等。直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中1与5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；3与5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；3与6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足；直线AB，CD互相垂直，记作“ABCD”（或“CDAB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。平行线 ：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；平行用符号“”表示，如“ABCD”，读作“AB平行于CD”。 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。注意： （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。命题、定理、证明 判断一件事情的语句，叫做命题。命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 真命题（正确的命题）命题 假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。投影与视图 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图，物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。三角形 三角形的概念：由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形中的主要线段：（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形；它是两条直角边相等的直角三角形。三角形的三边关系定理及推论：（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形。当已知两边时，可确定第三边的范围。 证明线段不等关系。三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。三角形的面积=底高全等三角形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。全等三角形的表示和性质：全等用符号“”表示，读作“全等于”。如ABCDEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。三角形全等的判定： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。等腰三角形 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。四边形的相关概念 四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。凸四边形：把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。对角线：在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。四边形的不稳定性四边形的内角和定理：四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。多边形的对角线条数的计算公式：设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。平行四边形 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离；平行线间的距离处处相等。 平行四边形的面积：S平行四边形=底边长高。矩形 矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等且互相平分； （4）矩形是轴对称图形。矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形。 矩形的面积：S矩形=长宽菱形 菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形是轴对称图形。菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。菱形的面积：S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半。正方形 正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。正方形的判定：先证它是矩形，再证有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证有一个角是直角。正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b则S正方形=。梯形 梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底；梯形中不平行的两边叫做梯形的腰；梯形的两底的距离叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形；一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行； （2）等腰梯形的对角线相等；（3）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。等腰梯形的判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即。 直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。锐角三角函数的概念 如图，在ABC中，C=90 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA，即锐角三角函数的概念:锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。各锐角三角函数之间的关系：（1）互余关系：sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A)，tanA=cot(90A)，cotA=tan(90A)（2）平方关系：（3）倒数关系：tanA cotA =1（4）弦切关系：tanA=锐角三角函数的增减性：当角度在090之间变化时，（1）正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。一些特殊角的三角函数值：三角函数 0 30 45 60 90sin01cos10tan01不存在cot不存在10圆的相关概念 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示：以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍。（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角定理及其推论 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。点和圆的位置关系 设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： dr点P在O外。过三点的圆 1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心；外心到三角形三个顶点的距离相等。3、圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补。4、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心；内心到三角形三条边的距离相等。反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与O相交dr；切线的判定和性质 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定： 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r； 两圆外切d=R+r； 两圆相交R-rdr）； 两圆内含dr）。4、两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。正多边形和圆 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。正多边形的对称性 正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。弧长和扇形面积 1、弧长公式： n的圆心角所对的弧长l的计算公式为2、扇形面积公式：，其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积：，其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。补充： 1、相交弦定理O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AEBE=CEDE2、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：BAC=ADC3、切割线定理PA为O切线，PBC为O割线，则平移 1、定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2、性质： （1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。轴对称 1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2、性质： （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。旋转 1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。中心对称 1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质： （1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。比例线段 1、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。2、比例的性质： a：b=c：dad=bc； a：b=b：c； 更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项）3、黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），使得AC2=ABBC，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= AB 0.618 AB。平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。相似三角形 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；相似用符号“”来表示，读作“相似于”；相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。三角形相似的判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
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