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备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如2012年福建T5，湖南T8等2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如2012年江苏T17等.归纳知识整合1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号探究1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：当ab时，取等号，即ab仅当ab时，取等号，即ab.2几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab2(a，bR)；2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是2(简记：和定积最大)探究2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解例如，yx在x2时的最小值，利用单调性，易知x2时ymin.自测牛刀小试1已知m0，n0，且mn81，则mn的最小值为()A18B36C81 D243解析：选A因为m0，n0，所以mn2218.2若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1B1C3D4解析：选Cf(x)xx22，x2x20f(x)2 24当且仅当x2，即x3时，“”成立，又f(x)在xa处取最小值，所以a3.3已知x0，y0，z0，xy2z0则的()A最小值为8 B最大值为8C最小值为 D最大值为解析：选D.当且仅，即x2z时取等号4函数yx的值域为_解析：当x0时，x2 2；当x0，x2 2，所以x2.综上，所求函数的值域为(，22，)答案：(，22，)5在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析：由题意知：P，Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m0，n0，n，所以|PQ|24|OP|24(m2n2)416(当且仅当m2，即m时，取等号)故线段PQ长的最小值为4.答案：4利用基本不等式证明不等式例1已知a0，b0，ab1，求证：9.自主解答法一：a0，b0，ab1，112.同理，12.52549，当且仅当，即ab时取“”9，当且仅当ab时等号成立法二：111，a，b为正数，ab1，ab2，当且仅当ab时取“”于是4，8，当且仅当ab时取“”189，当且仅当ab时等号成立保持例题条件不变，证明： 2.证明：a0，b0，且ab1， 2.当且仅当a1，b1，即ab时“”成立利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等1已知a0，b0，c0，求证：abc.证明：a0，b0，c0，2 2c，2 2b，2 2a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.利用基本不等式求最值例2(1)(2012浙江高考)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6(2)已知a0，b0，a21，则a 的最大值为_自主解答(1)由x3y5xy，得5(x0，y0)，则3x4y(3x4y)(1312)5.当且仅当，即x2y时，“”成立，此时由解得(2)a0，a ，当且仅当即时取等号a的最大值为.答案(1)C(2)应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)一正二定三相等“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2(1)函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(m，n0)上，求的最小值；(2)若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围解：(1)ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，A(1,1)又点A在直线mxny10(m0，n0)上，mn1(m0，n0)(mn)2224，当且仅当mn时，等号成立，的最小值为4.(2)abab3，又a，b(0，)，ab23.设t0，t22t30.t3或t1(舍去)ab的取值范围是9，)利用基本不等式解决实际问题例3为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？自主解答(1)由题意有14，得k3，故x4.故y1.5x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.基本不等式2 6，当且仅当t，即t2.5时等号成立故y27t27.527.5621.5.当且仅当t时，等号成立，即t2.5时，y有最大值21.5.所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求.(4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.3某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解：(1)设每件定价为x元，依题意，有x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解，x2 10(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元1个技巧公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等2个变形基本不等式的变形(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)3个关注利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 创新交汇基本不等式在其他数学知识中的应用1考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题2解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件典例(2012湖南高考)已知两条直线l1：ym和l2：y(m0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为()A16B8C8 D4解析数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，)内，而且xCxA与xBxD同号，所以，根据已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以2，由于m4，当且仅当，即2m14，即m时等号成立，故的最小值为28.答案B1本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力2解决本题的关键有以下几点(1)正确求出A、B、C、D四点的坐标；(2)正确理解a，b的几何意义，并能正确用A、C、B、D的坐标表示；(3)能用拼凑法将m(m0)化成利用基本不等式求最值的形式1已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A0B1C2D4解析：选D由题知abxy，cdxy，x0，y0，则4，当且仅当xy时取等号2若直线axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B.C. D.2解析：选C圆的直径是4，说明直线过圆心(1,2)，故ab1，当且仅当，即a2(1)，b2时取等号3若x0，y0，且a恒成立，则a的最小值是_解析：由a，得a，令f(x，y)，则f(x，y) ，当且仅当xy时等号成立故a .答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012福建高考)下列不等式一定成立的是()Alg(x2)lg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：选C取x，则lglg x，故排除A；取x，则sin x1，故排除B；取x0，则1，故排除D.2(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()AavBvC.v Dv解析：选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为ab，所以全程的平均速度为va，即av0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是()A.B1C4D8解析：选C由a0，b0，ln(ab)0得故4.当且仅当ab时上式取“”4(2013淮北模拟)函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10，yx122 222，当且仅当x1，即x1时，取等号5设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：选C由0得k，而24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.6(2013温州模拟)已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是()A20 B18C16 D19解析：选B由|cos 302得|4，SABC|sin 301，由xy1得xy.所以2(xy)22(522)18.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处解析：设x为仓库与车站距离，由已知y1；y20.8x费用之和yy1y20.8x2 8，当且仅当0.8x，即x5时“”成立答案：58若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1 a2b22a3b332.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab1，当且仅当ab时取等号，故正确；()2ab2224，当且仅当ab时取等号，得2，故错误；由于1，故a2b22成立，故正确；a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，ab1，ab1，又a2b22，a2b2ab1，a3b32，故错误；1112，当且仅当ab时取等号，故正确答案：9(2013泰州模拟)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_解析：依题意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x2y4，当且仅当x12y1，即x2，y1时取等号，故x2y的最小值是4.答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知a0，b0，c0，d0.求证：4.证明：224(当且仅当ab，cd时，取“”)，故4.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x0，y0，xy2x8y2，即xy8，8，即xy64.当且仅当2x8y，即x16，y4时，“”成立xy的最小值为64.(2)x0，y0，且2x8yxy0，2x8yxy，即1.xy(xy)10102 18，当且仅当，即x2y12时“”成立xy的最小值为18.12提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解：(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，则由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)取得最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时1已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_解析：log2alog2blog2ab.log2alog2b1，ab2且a0，b0.3a9b3a32b222218，当且仅当a2b，3a9b的最小值为18.答案：182设a，b均为正实数，求证：ab2.证明：由于a、b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号3已知x，求f(x)4x2的最大值解：因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立4某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x4 000，得a.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)16080(2)4 160(x1)(2)804 160802 4 1601 6004 1605 760.当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.合情推理的考查常单独命题，以选择题、填空题的形式考查，如2012年江西T6，陕西T11，湖南T16等2.对演绎推理的考查则渗透在解答题中，侧重于对推理形式的考查.归纳知识整合1合情推理(1)归纳推理：定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点：类比推理是由特殊到特殊的推理探究1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验2演绎推理(1)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理探究2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论自测牛刀小试1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；三角形的内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n2)180.ABC D解析：选C是类比推理，是归纳推理，是非合情推理2观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 013的末四位数字为()A3 125 B5 625C0 625 D8 125解析：选A553 125,5615 625,5778 125，58390 625，591 953 125，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m4k与5m(kN*，m5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 01345025，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.3给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：选B不正确，正确4(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”，结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况5(教材习题改编)在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想，在n边形A1A2An中，成立的不等式为_解析：932,1642,2552，且132,242,352，故在n边形A1A2An中，有不等式成立答案：(n3)归纳推理例1(1)(2012江西高考)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123 D199(2)设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明自主解答(1)记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，猜想f(x)f(1x)，证明：f(x)，f(1x).f(x)f(1x).答案(1)C利用本例(2)的结论计算f(2 014)f(2 013)f(1)f(0)f(1)f(2 015)的值解：f(x)f(1x)，f(2 014)f(2 013)f(1)f(0)f(1)f(2 015)f(2 014)f(2 015)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)2 015. 归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳1观察下列等式：可以推测：132333n3_(nN*，用含n的代数式表示)解析：第二列等式右边分别是11,33,66,1010，1515，与第一列等式右边比较即可得，132333n3(123n)2n2(n1)2.答案：n2(n1)2类比推理例2(2013广州模拟)已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.自主解答法一：设数列an的公差为d1，则d1.所以amnamnd1an.类比推导方法可知：设数列bn的公比为q，由bnbmqnm可知dcqnm，所以q，所以bmnbmqnc.法二：(直接类比)设数列an的公差为d1，数列bn的公比为q，因为等差数列中ana1(n1)d1，等比数列中bnb1qn1，因为amn，所以bmn.答案类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2在ABC中，ABAC，ADBC于点D.求证：.那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由证明：如图所示，ABAC，ADBC，ABDCAD，ABCDBA，AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.猜想：类比ABAC，ADBC，猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.下面证明上述猜想成立如右图所示，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.同理可得在RtACD中，AFCD，.故猜想正确演 绎 推 理例3已知函数f(x)(a0且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3) 的值自主解答(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称(2)由(1)可知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.则f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提3已知函数f(x)bx，其中a0，b0，x(0，)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性解：法一：设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1).当0x10，b0，x2x10,0x1x2b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是减函数；当x2x1 0时，x2x10，x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，b0，x(0，)，令f(x)b0，得x ，当0x 时，b，b0，即f(x)0，f(x)在上是减函数；当x 时，b0，即f(x)0，f(x)在上是增函数2个步骤归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；检验猜想(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；检验猜想1个区别合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确. 创新交汇合情推理与证明的交汇创新1归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新2解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验典例(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin 13cos 17；(2)sin215cos215sin 15cos 15；(3)sin218cos212sin 18cos 12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos 48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：(1)同法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.1本题的创新点(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式2解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，由得sin()sin()2sin cos .令A，B，有，代入得sin Asin B2sincos.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos Acos B2sinsin；(2)若ABC的三个内角A，B，C满足cos 2Acos 2B1cos 2C，试判断ABC的形状(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)解：(1)因为cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，得cos()cos()2sin sin .令A，B，有，代入得cos Acos B2sinsin.(2)由二倍角公式，cos 2Acos 2B1cos 2C可化为12sin2A12sin2B112sin2C，所以sin2Asin2Csin2B.设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2c2b2.根据勾股定理的逆定理知ABC为直角三角形一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析：选C由于f(x)sin(x21)不是正弦函数，故小前提不正确2(2013银川模拟)当x(0，)时可得到不等式x2，x23，由此可以推广为xn1，取值p等于()Ann Bn2Cn Dn1解析：选Ax(0，)时可得到不等式x2，x23，在p位置出现的数恰好是不等式左边分母xn的指数n的指数次方，即pnn.3由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1B2C3D4解析：选B正确，错误4(2012江西高考)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80C86 D92解析：选B通过观察可以发现|x|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|y|n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为80.5设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体SABC的体积为V，则R()A. B.C. D.解析：选C设三棱锥的内切球球心为O，那么由VVOABCVOSABVOSACVOSBC，即：VS1RS2RS3RS4R，可得：R.6已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析：选B依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n组整数对的和为n1，且有n个整数对，这样的前n组一共有个整数对，注意到60，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个整数对是(5,7)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2012陕西高考)观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列即1(nN*，n2)，所以第五个不等式为1.答案：1b0)与圆x2y2a2是夹在直线ya和ya之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为_解析：如图，任取一条与x轴平行的直线，设该直线与x轴相距h，则这条直线被椭圆截得的弦长l1，被圆截得的弦长l22，则，即.故S椭圆a2ab.答案：S2mS1ab三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10给出下面的数表序列： 其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解：表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列11已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特征的性质，并加以证明解：类似的性质为：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(m，n)因为点M(m，n)在已知的双曲线上，所以n2m2b2.同理：y2x2b2.则kPMkPN(定值)12观察：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：猜想sin2cos2(30)sin cos(30).证明：左边sin2cos(30)cos(30)sin sin2sin2cos2sin2右边所以，猜想是正确的1.正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段则这10条线段的长度的平方和是()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析：选A由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a2a2，第二段长度的平方为a2a2，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以aa2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10a2.2观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mco
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