资源描述
第七章 平面向量高考导航知识网络向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则2向量的坐标运算及应用3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明向量的概念与及其线性运算典型例题例1已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求ADBC变式训练1.如图所示，D是ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）A BC D例2. 已知向量，其中、不共线，求实数、，使变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，试用、表示和BOADCNM变式训练3：如图所示，OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，试用、表示，例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，tR，t为何值时，t，()三向量的终点在一条直线上？变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？小结归纳1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意与O的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证，且AB与CD不共线要证A、B、C三点共线，则证即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点巩固练习1 .若|a|b| ab |1，则| ab |.ABCDabcdef2.正六边形ABCDEF中，已知a, b, 则 （用a，b表示）3. 在四边形ABCD中，根据图示用一个向量填空：a+b= , b+c= , c+d= .4. 设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值是 ，最小值是 . 5. 若G是ABC的重心，则 .6.已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=e18e2,=3e13e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数的值平面向量的坐标运算典型例题例1.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标变式训练1.若，则= . 例2. 已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值变式训练2.已知2(3，1)，2(1，2)，求例3. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x变式训练3.设(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 )，求证：kAMBCDP例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P(1) 若(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹小结归纳1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算巩固练习1、已知：、，那么 ； 2、已知点和向量，若，则点的坐标是 3、已知向量=(3，-2)，=(-2，1)，=(7，-4)，且=+， 则= ，= 4、已知=(2，4)， =(1，3)，=(3，2) 则|3+2|=_ 若一个单位向量与的方向相同，则的坐标为_5、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且=2-3，则点D的坐标为 6、已知=(5，-3)，C(-1，3)，=2，则点D坐标是 7、已知向量=（1，），=（，1），=+2，=2-且=2，求、的值8、已知平行四边形的顶点、，求顶点的坐标9、已知A、B、C三点坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)， =，=（1）求点、及向量的坐标；（2）求证：平面向量的数量积及向量的应用典型例题例1. 已知|4，|5，且与的夹角为60，求：(23)(32)变式训练1.已知|3，|4，|5，求|23|的值例2. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求； (2) 求|的最大值变式训练2：已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)例3. 已知O是ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，判断ABC是哪类三角形变式训练3：若，则ABC的形状是 . 例4. 已知向量(cos, sin)和(sin, cos) (, 2)且|，求cos()变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使小结归纳1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意与ab的区别0，或 3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合巩固练习1、已知e是单位向量,求满足ae且ae=18的向量a=_.2、设a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 则m=_.3、|a|=5, |b|=3,|ab|=7,则a、b的夹角为_.4、 a与d=b关系为_.5、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求： a . b (2ab) (a+3b)6、四边形ABCD中, = a, = b, CD= c, DA= d,且ab=bc=cd =d a, 判断四边形ABCD是什么图形？7、已知：|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60,问当且仅当k为何值时,向量kab与 a+2b垂直？8、己知向量a,b均为非零向量,当|a+tb|取最小值时, 求t的值； 求证：b与a+tb垂直.平面向量2009年高考题1.（2009广理）若平面向量，满足，平行于轴，则 2.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= .3.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.4.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _.5.（2009江西卷文）已知向量， ，若 则= 6.（2009江西卷理）已知向量，若，则= 6.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 7.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.8.(2009年广东卷文)（已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值 9.（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 10.（2009上海卷文） 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .第4课时 线段的定比分点和平移1 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使，叫做 2设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是时，定比分点坐标公式为： ，中点坐标公式： 。3 平移公式：将点P（x、y）按向量（h、k）平移得到点P（x，y），则 典型例题例1. 已知点A(1, 4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.解 P1(x2) P2(3, 0) (2) , 2变式训练1.设|AB|5，点p在直线AB上，且|PA|1，则p分所成的比为 解: 例2. 将函数y2sin（2x）3的图象C进行平移后得到图象C，使C上面的一点P（、2）移至点P（、1），求图像C对应的函数解析式解: C：y2sin(2x)2变式训练2：若直线2xyc0按向量(1, 1)平移后与圆x2y25相切，则c的值为 （ ）A8或2 B6或4C4或6 D2或8解: A例3. 设(sinx1, cosx1)，f (x)，且函数yf (x)的图象是由ysinx的图象按向量平移而得，求.解:() (kz)变式训练3：将ysin2x的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在k, k (kZ)上递减，则 解:(，0)例4. 已知ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、4)，点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且AMN的面积等于ABC的面积的一半，求N点的坐标解:由 得 N(4，) 变式训练4.已知ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC的面积分成45两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标解:小结归纳1在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比2平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P(x、y)，及向量(h，k)三者之间的关系它的本质是平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆平面向量章节测试题一、选择题1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）3. ABC中,=a, =b,则等于 ( )A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简(ab)(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )A.ab B.0 C. a+b D. ab5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )A.15 B. C. 16 D.146.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p,则k的值为 ( )A. B. C. D.7. 已知ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系是 ( )A. P在ABC的内部 B. P在ABC的外部 C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点8.已知ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且ABM的面积是ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )A.5 B. C. D.9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b|的值 ( )A. B.9 C. D.10.若|a|=1,|b|=,(a-b)a,则a与b的夹角为 ( )A.300 B.450 C.600 D.75011.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx12.在ABC中，=c, =a, =b,则下列推导中错误的是 ( )A.若abf(cd)的解集平面向量章节测试题参考答案一、BCDBA；DDADB；BD二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a2b ; 16.三、17.|=2|a,ba , =ab18.5e1+5e2= , 又有公共点B,A、B、D共线设存在实数使ke1+e2=(e1+ke2) k=且k=1 k=19.由可知即ABAC 设D（x,y）, 5(x-2)+5(y-4)=0 5(x+1)5(y+2)=0 D()20.设P（x,y）21. 当b与a+b(R)垂直时，b(a+b)=0,= - | a+b |= 当= -时，| a+b |取得最小值.当b与a+b(R)垂直时，a+b的模取得最小值. 22. (1）ab=2sin2x+11 cd=2cos2x+11 （2）f(1-x)=f(1+x) f(x)图象关于x=1对称 当二次项系数m0时, f(x)在（1，）内单调递增，由f(ab)f(cd) ab cd, 即2sin2x+12cos2x+1 又x0, x当二次项系数mf(cd) ab cd, 即2sin2x+10时不等式的解集为;当m0时不等式的解集为、五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C解析 ,由及向量的性质可知,C正确.2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( ) A. 6 B. 2 C. D. 答案 D解析 ，所以，选D.3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A B.4 C D答案 C 解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能4.（2009浙江卷文）已知向量，若向量满足，则 A B C D 答案 D解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用5.（2009北京卷文）已知向量，如果那么A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域 C五边形区域 D六边形区域答案 D解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.7.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c与d同向 B且c与d反向C且c与d同向 D且c与d反向答案 D解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.8.(2009山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.答案 B解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.9.（2009全国卷文）已知向量a = (2,1)， ab = 10，a + b = ，则b = A. B. C.5 D.25答案 C解析 本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C.10.（2009全国卷理）设、是单位向量，且0，则的最小值为 A. B. C. D.答案 D解析 是单位向量 .11.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则 ( )A1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，1答案 A解析 因为代入选项可得故选A.12.（2009全国卷理）已知向量，则 ( ) A. B. C. D. 答案 C解析 ,故选C.13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为， 则 ( ) A. B. C. 4 D.2答案 B解析 由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos6041214.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心答案 C（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b答案 B解析 由计算可得故选B16.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )ABCD 答案 A解析 得. 或.17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于A. B.2 C.4 D.12答案 B解析 由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos6041218.（2009全国卷文）设非零向量、满足，则( )A150 B.120 C.60 D.30答案 B解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解 由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。19.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于( )A. B. C. D. 20.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ( )A. B. C. D.21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a/b”的正确是 （ ）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件22.（2009福建卷文）设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， =,则 的值一定等于 ( )A以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积23.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）ABCD 24.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D225.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于( ) 26.（2009湖北卷文）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于( )A. B. C. D.26.（2009广东卷理）若平面向量，满足，平行于轴，则 27.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 28.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.29.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _.30.（2009江西卷文）已知向量， ，若 则= 31.（2009江西卷理）已知向量，若，则= 32.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图233.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.34.(2009年广东卷文)（已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值 35.（2009江苏卷）设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求证：. 解析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。36.（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 37.（2009湖南卷文）已知向量（1）若，求的值； （2）若求的值。 38.(2009湖南卷理) 在，已知，求角A，B，C的39.（2009上海卷文） 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（3） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （4） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 . 20052008年高考题一、选择题1.（2008全国I）在中，若点满足，则（ ）ABCD答案 A2.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）答案 B3.（2008湖北）设,则 （ ）A. B. C. D.答案 C4.（2008湖南）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直答案 A5.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）A B C D答案 B6.（2008浙江）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.答案 C7.（2007北京）已知是所在平面内一点,为边中点,且，那么（）答案 8.（2007海南、宁夏）已知平面向量，则向量（） 答案 9.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为ABC D答案 10.（2007湖南）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有ABCD答案 A11.（2007天津）设两个向量和，其中为实数若，则的取值范围是（）-6，1 （-6，1-1，6答案 12.（2007山东）已知向量，若与垂直，则（ ）AB CD4答案 13.（2006四川）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A. B. C. D.答案 A14.（2005重庆）设向量a=（1，2），b=（2，1），则（ab）（a+b）等于14.（ ） A（1，1）B（4，4） C4D（2，2）答案 B二、填空题15.（2008陕西）关于平面向量有下列三个命题：若，则若，则非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）答案 16.（2008上海）若向量，满足且与的夹角为，则答案 17.设向量，若向量与向量共线，则 答案 218.（2008北京）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 答案 019.（2008天津）已知平面向量，若，则_ 20.（2008江苏），的夹角为， 则 答案 721.（2007安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示） 答案 22.（2007北京）已知向量若向量，则实数的值是 答案 -323.（2007广东）若向量、满足的夹角为120，则答案 24.(2005上海)直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是_.答案 x+2y-4=025.(2005)在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小 2 三、解答题26.（2007广东）已知顶点的直角坐标分别为.(1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围. 解 (1) , 当c=5时， 进而(2)若A为钝角，则ABAC= -3(c-3)+( -4)2显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为，+)
展开阅读全文