2013高考数学一轮复习立体几何空间关系证明运用(答案版).doc

1 2013 高考数学一轮复习 第 7 讲 空间线面关系 考点核心 空间直线 平面的平行与垂直关系 用定义 公理 判定 性质及其已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系 并能在此基础上求见角和距离问题 应试策略 空间三大关系的定义 判定 性质定理是核心 一空间棱柱棱锥为载体 能力要求 1 对定 义定理的理解 直棱柱 空间异面垂直 2 语言的顺利转换 如勾股数想到垂直等 3 空间想象能力 先 画大件后小样 及其逻辑思维能力 平行可有那些方法得到 4 证明要由已知想性质 由目标想判定 5 理 空 间坐标系建立要先证明做辅助线 6 小题判断是非举正反例 7 综合题要一作二证三计算 知识回顾 必须知 此处略 基本题型 题型一 定义 公理 判定定理 性质定理 已获得的结论与空间关系的判断 2010 山东文 4 理 3 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个面平平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 2010 全国卷 2 文数 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1 的三条棱 AB CC 1 A 1D1 所在直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 解析 D 本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆柱面上 三个圆柱面 有无数个交点 10 2012 高考真题福建理 4 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱柱 C 正方形 D 圆柱 答案 D 4 2012 高考真题四川理 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 2 2012 高考真题浙江理 10 已知矩形 ABCD AB 1 BC 将 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进2 行翻折 在翻折过程中 A 存在某个位置 使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B 存在某个位置 使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C 存在某个位置 使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D 对任意位置 三对直线 AC 与 BD AB 与 CD AD 与 BC 均不垂直 2010 湖北文数 4 用 a b c表示三条不同的直线 y表示平面 给出下列命题 若 a b 则 若 a b c 则 a 若 y 则 若 则 b A B C D 2 2011 浙江理 4 下列命题中错误的是 A 如果平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 2 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 那么 l l D 如果平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D 3 2011 四川理 3 是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是321 l A B 21 l 3321 lll C 共面 D 共点 共面3 321 l 21 题型二 空间角距离的求解基本方法 空间面积体积不在重复 2010 全国卷 2 文数 8 已知三棱锥 SAC 中 底面 为边长等于 2 的等边三角形 SA垂 直于底面 AB S 3 那么直线 B与平面 所成角的正弦值为 A 34 B 5 C 74 D 34 2010 全国卷 1 文 12 理 12 数 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面 体 ABCD 的体积的最大值为 A 23 B 3 C 3 D 83 12 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这个载体考 查考生的空间想象能力及推理运算能力 2011 文科新课 15 已知正方体 中 E 为 的中点 则异面直线 AE1ABCD 1CD 与 BC 所成角的余弦值为 答案 23 命题意图 本题主要考查正方体中异面直线 AE 与 BC 所成的角 解析 取 A1B1的中点 M 连接 EM AM AE 则 就是异面直线 AE 与 BC 所成的角 AEM 在 中 E 235cosE 6 2012 高考真题陕西理 5 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 1BCA 则直线 与直线 夹角的余弦值为 12CAB 1C1AB 3 A B C D 53253 11 2012 高考真题重庆理 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和 且长为 的棱与长2a 为 的棱异面 则 的取值范围是2a A B C D 0 0 3 2 3 答案 A 解析 因为 则 21 2 1 EBEF 22 BEFA 选 A 13 2012 高考真题全国卷理 4 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 AB 2 CC 1 E 为 CC1 的中点 则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A 2 B C D 132 答案 D 解析 连结 交于点 连结 因为 是中点 所以 且 OE 1 ACOE12 所以 即直线 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距离 过 C 做BEAC 11AC 于 则 即为所求距离 因为底面边长为 2 高为 所以 OF F 所以利用等积法得 选 D 2 1 F 15 2012 高考真题四川理 14 如图 在正方体 中 分别是 ABCD MNCD 的中点 则异面直线 与 所成角的大小是 N M B 1A1 C1D1 BD CA1C1AMDN 答案 2 命题立意 本题主要考查空间中直线与直线 直线与平面的位置关系 以及异面直线所成角的求法 解析 本题有两种方法 一 几何法 连接 则 又 易知1DNM 11 所以 与 所成角的大小是 二 坐标法 建立空间直角坐标系 利用1DAN面 1N2 4 向量的夹角公式计算得异面直线 与 所成角的大小是 1AMDN2 18 2012 高考真题辽宁理 16 已知正三棱锥 ABC 点 P A B C 都在半径为 的求面上 若 3 PA PB PC 两两互相垂直 则球心到截面 ABC 的距离为 答案 3 解析 因为在正三棱锥 ABC 中 PA PB PC 两两互相垂直 所以可以把该正三棱锥看作为一个正P 方体的一部分 如图所示 此正方体内接于球 正方体的体对角线为球的直径 球心为正方体对角线的 中点 球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 ABC 在面 ABC 上的P 高 已知球的半径为 所以正方体的棱长为 2 可求得正三棱锥 ABC 在面 ABC 上的高为 3P 23 所以球心到截面 ABC 的距离为 3 点评 本题主要考查组合体的位置关系 抽象概括能力 空间想象能力 运算求解能力以及转化思想 该题灵活性较强 难度较大 该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手 注意到条件中的垂直关系 把三棱 1 重庆理 9 高为 的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 点 S A B C D42 均在半径为 1 的同一球面上 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A B C 1 D 22 答案 C 8 2011 全国大纲理 6 已知直二面角 点 A AC C 为垂足 B BD D 为垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 D 到平面 ABC 的距离等于 A B C D 1 3236 5 题型三 证明 计算综合题 文科二面角不要求 理科要求且增加空间向量 2012 数学课改文科 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱1ABC 中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 12 是棱 AA1 的中点 证明 平面 1D 平面 1BC 平面 B分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 命题意图 本题主要考查空间线线 线面 面面垂直的判定与性质及几何体的体积 计算 考查空间想象能力 逻辑推理能力 是简单题 解析 由题设知 BC 1C BC AC 1AC B 面 1AC 又 1DC 面 1A DB 由题设知 045 1 09 即 1D 又 B 1C 面 C 面 B 面 DC 面 1 设棱锥 A 的体积为 1V A 1 由题意得 1V 213 由三棱柱 1B的体积 1 1 V 1 1 平面 1BDC分此棱柱为两部分体积之比为 1 1 19 2012 全国大纲文理数本小题满分 12 分 如图 四棱锥 PA 中 底面 A为菱形 PA 底面 BCD 2AC E是 上的一点 2E 证明 平面 B 设二面角 C为 90 求 D与平面 所成角的大 小 命题意图 本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面 角的求解的运用 从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应 的垂直关系和长度 并加以证明和求解 解 设 ABDO 以 为原点 为 x轴 O为 y轴建立空间直 角坐标系 则 20 0 2 CP 设 0 aExyz D A B P C E 6 证明 由 2PEC 得 2 0 3 所以 2 0 PC 3Ba BDa 所以 2 0 3PCBEa 2 020C 所以 D 所以 P 平面E 设平面 PAB的法向量为 nxyz 又 0 2 0 APBa 由0 nA 得 2 1 0 a 设平面 BC的法向量为 mxyz 又 2 BCaP 由 0 mP 得 21 a 由于二面角 ABC为 90 所以 n 解得 2a 所以 2 D 平面 B的法向量为 1 所以 PD与平面PB 所成角的正弦值为 1Pm 所以 PD与平面 BC所成角为 6 点评 试题从命题的角度来看 整体上题目与我们平时练习的试题和相似 底面也是特 殊的菱形 一个侧面垂直于底面的四棱锥问题 那么创新的地方就是点 E的位置的选择是 一般的三等分点 这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的 因此最好使用空间直角 坐标系解决该问题为好 19 2012 新课理数本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 1ABC 中 12ABC D 是棱 1的中点 D 1 证明 2 求二面角 11CBA 的大小 解析 1 在 Rt 中 A 得 45D 同理 1190D 得 1 CBC 面 1BDC 7 2 11 DCBCB 面 1ABCA 取 A的中点 O 过点 作 HD于点 连接 1 OH 111 面 1面 1 面 1BD HBDC 得 点 与点 重合 且 1O 是二面角 11BA 的平面角 设 Aa 则 12a 111230DaCOD 既二面角 11CB 的大小为 30 2010 全国卷 2 文理数 19 如图 直三棱柱 1AB 中 ABC 1A D为 1的中点 E为 1上的一点 3EB 证明 为异面直线 1AB与 CD的公垂线 设异面直线 1与 的夹角为 45 求二面 角 11ACB 的大小 18 2010 新课理科本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中点A 1 证明 PE BC 2 若 APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 18 2010 新课文科本小题满分 12 分 8 如图 已知四棱锥 的底面为等腰梯形 垂足为 PABCD ABCDB H 是四棱锥的高 PH 证明 平面 平面 PAC BD 若 60 求四棱锥 的体积 6B PABCD 18 2011 新课理科本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四 边形 DAB 60 AB 2 AD PD 底面 ABCD 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 20 2011 新课理科数学本小题满 分 l2 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 中 侧SABCD BCD 面 为等边三角形 2 1S I 证明 平 II 求 AB 与平面 SBC 所成角的大小 分析 第 I 问的证明的突破口是利用等边三角形 SAB 这 个条件 找出 AB 的中点 E 连结 SE DE 就做出了解决这 个问题的关键辅助线 II 本题直接找线面角不易找出 要找到与 AB 平行的其 它线进行转移求解 命题意图 以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面 角的计算 注重与平面几何的综合 解法一 取 中点 连结 则四边形ABED 为矩形 连结 则BCDE2C S S 3 D CA S BE F GH D C A S B 9 又 故 1SD 22ESD 所以 为直角 3 分 由 得 平面 所以 AB E IAB SDEABS 与两条相交直线 都垂直 SABS 所以 平面 6 分 另解 由已知易求得 于是 可知 同1 5 2D22 D 理可得 又 所以 平面 6 分S S I SAB 由 平面 知 平面 平面 ABEABCDE 作 垂足为 则 平面 ABCD FF32F 作 垂足为 则 GC 1G 连结 则 S 又 故 平面 平面 平面 9 分 BIBC SBC SFG 作 为垂足 则 平面 FHFH 即 到平面 的距离为 37SG 217 由于 所以 平面 到平面 的距离 也为 EDBC SBCESd217 设 与平面 所成的角为 则 12 分AS 21sin7d arcsin 解法二 以 为原点 射线 为 轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Dx Cxyz 设 则 10 D 2 0 2 B 又设 则 Sxyz yz 1 ASxDSxyz ururur 由 得 B 2222 xyzxyz 故 1 由 得 DSur21 10 又由 得 2BS ur2 4xyz 即 故 3 分410yz3 于是 3 13 1 0 2222SASBSDS ururur 0 D r 故 又 SBS SI 所以 平面 6 分A 设平面 的法向量 C amnp r 则 0 aBSSB ruu 又 3 1 2 2 r 故 9 分0 mnp 取 得 又2p 32 a r 2 0 AB ur 1cos 7 AB ru 故 与平面 所成的角为 SC2arcsin