高考最后冲刺之非常规空间图形.doc

高考最后冲刺之非常规空间图形多年的高考已经把例题几何的基本图形和基本方法都考编了，命题如何创新，考生如何应试？说到底就是空间图形的定位和割补。以下试题全选自各地高考或模拟考。希望对高考的最后冲刺有帮助！SABCDM18（本题满分分）如图，四棱锥中，是的中点,，且，又面.(1) 证明:;(2) 证明:面;(3) 求四棱锥的体积.解：SABCDMN（1）证明：由面.，所以-2f又-3f所以-4f（2）取中点，连结-6f则，且，所以是平行四边形-7f，-8f且所以面;-9f（3）-10f过作，交于，由题得-11f在中，-12f所以-13f所以-14f19. 如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2.（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为.DABEFCHG19. 方法一：（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，DABEFCyzx所以平面6分（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，又因为，所以，从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为12分方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面6分（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为12分18. (本小题满分12分）如图,四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，已知AB=，APB=ADB=60()证明:平面PAC平面PBD; ()求PH与平面PAD所成的角的大小.18、（1） 又 （2）过H作HEAD于E，连结PE，则AD平面PEH又AD平面PAD 过H作HGPE于G，则HG平面PAD， APB为等边三角形 ，在RtADH中,可得HD=1 ;在RtDEH中 ,可得HE=在RtPHE中 ,tanHPE=故PH与平面PAD所成角为arctan17（本小题满分13分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，又平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点。（1）求证：平面A1BD；（2）求二面角DBA1A的余弦值；（3）求点B1到平面A1BD的距离。（17）（本小题满分13分）（）证明：以DA所在直线为轴，过D作AC 的垂线为轴，DB所在直线为轴建立空间直角坐标系则A(1,0,0),C(),E()，A1(),C1()，B()，, 2分 4分又A1D与BD相交AE面A1BD 5分（其它证法可平行给分）()设面DA1B的法向量为由,，取7分设面AA1B的法向量为，则由，取 9分故二面角的余弦值为 10分（）,平面A1BD的法向量取则B1到平面A1BD的距离为 13分 19（本小题满分12分）若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC/PD，且PD=2EC。 （1）求证：BE/平面PDA； （2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB； （3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小。19题：（1） 证明：ECPDEC面PAD；同理BC面PAD；面BEC面PAD；BE面PAD（2） 证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，COBD；又COPD; CO面PBD。（3） 建立如图的空间直角坐标系，令EC=1，则PD=D(0,0,0)；P(0,0,2)；B(,0)；D(0,1)；面ABCD的法向量=（0，0，2）令面PBE的法向量=（x，y，z），则；则=（1，1，）cos=;=19（本题满分13分） 如图，在六面体中，平面平面，AD平面，,且, （）求证：平面； （）求二面角的余弦值； （）求五面体的体积19（本题满分13分） 解法一 向量法由已知，ADDEDG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）（），所以BFCG又BF平面ACGD，故 BF/平面ACGD 4分（），设平面BCGF的法向量为，则，令，则，而平面ADGC的法向量 故二面角D-CG-F的余弦值为9分（）设DG的中点为M，连接AMFM，则13分解法二设DG的中点为M，连接AMFM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF/DE，且MFDE又AB/DE，且ABDE MF/AB，且MFAB四边形ABMF是平行四边形，即BF/AM，又BF平面ACGD故 BF/平面ACGD4分（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分） （）由已知AD面DEFGDEAD ，DEDG即DE面ADGC ，MF/DE，且MFDE ， MF面ADGC在平面ADGC中，过M作MNGC，垂足为N，连接NF，则显然MNF是所求二面角的平面角在四边形ADGC中，ADAC，ADDG，AC=DMMG1， MN 在直角三角形MNF中，MF2，MN，故二面角D-CG-F的余弦值为 9分 （）13分19（本题满分14分）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且平面ABD，AE=a。（1）若，求证：AB/平面CDE；（2）求实数a的值，使得二面角AECD的大小为AMECBD18（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，三条直线AE，AC，BC两两互相垂直，且AC=BC=BD=2AE，AEBD,M是线段AB的中点.（1）求证：；（2）求直线EM与平面CDE所成角的余弦值.18证明：（1）因为M是线段AB的中点，AC=BCAMEFHBCD所以，又AE，AC，BC两两互相垂直，故AE平面ABC，所以AECM所以CM平面ABE，故.5（2）设M在平面CDE的射影为H，令CH交DE于F，连结MF，EH。为直线EM与平面CDE所成角6因为CM平面ABE所以DEMC，又DEMH，所以DE平面MCF，故DEMF，令AE=，M是线段AB的中点AMECBDAC=BC=BD=2,AB=在直角梯形ABDE中可求得：ME=,DE=，MD=,易知在中可求得：MF=在中可求得：MH=,直线EM与平面CDE所成角的余弦值为.12（注：本题如图建系做更简单）19（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，在多面体ABCDE中，平面ABC，AE/DB，且是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为（1）在线段DC上是否存在一点F，使得平面DBC？若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；（2）求二面角DECB的平面角的余弦值。19. （本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，O为中点。（）求证：平面 ；（）求锐二面角AC1D1C的余弦值。 19. （）证明：如图，连接， .1分则四边形为正方形， .2分，且 故四边形为平行四边形，.3分， .4分又平面，平面 .5分平面 .6分（）为的中点，又侧面底面，故底面，.7分以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，.8分，.9分设为平面的一个法向量，由，得，令，则.10分又设为平面的一个法向量，由，得，令，则，.11分则，故所求锐二面角AC1D1C的余弦值为.12分注：第2问用几何法做的酌情给分。20（本小题满分12分）如图，已知AB平面ACD DE平面ACD，为等边三角形，AD=DE=2AB F为CD 的中点（I）求证:AF平面BCE;（II）求证：平面BCE平面CDE（III）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值【原题】（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，,平面，是的中点，是的中点. () 求证：平面；（）求证：平面平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的大小.【解析】() 取中点为，连 是的中点 是的中位线, 是中点且是菱形，, . 四边形是平行四边形. 从而 , 平面 ,平面, 平面 4分 平面 平面平面 .8分 说明：() 、（）前两小题用向量法，解答只要言之有理均应按步给分.由（）知平面，是平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为 由 ,且由 在以上二式中令，则得，,设平面与平面所成锐角为 故平面与平面所成的锐角为 13分 说明：（）小题用几何法，解答只要言之有理均应按步给分.ABOCDA1B1C1【原题】(本小题满分13分)在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点（）求证：A1ABC；（）当侧棱AA1和底面成45角时，求二面角A1ACB的大小余弦值； （）若D为侧棱A1A上一点，当为何值时，BDA1C1【解析】法一：（）连结AO，A1O面ABC，AOBCA1ABC3分（）由（）得A1AO=45由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3A1O=3，AA1=3过O作OEAC于E，连结A1E，则A1EO为二面角A1ACB的平面角6分OE=，tanA1EO=9分即二面角A1ACB的大小余弦值为（）过D作DFA1O，交AO于F，则DF平面ABCBF为BD在面ABC内的射影，又A1C1AC，要使BDA1C1，只要BDAC，即证BFAC，F为ABC的中心，8分法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系（）由题意知A1AO=45，A1O=3O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A1（O，0，3），B（，0，0）=（0，3，3），=（2，0，0）=02+（3）0+30=0AA1BC4分（）设面ACA1的法向量为n1=（x，y，z），则令z=1，则x=，y=1，n1=（，1，1）6分而面ABC的法向量为n2=（0，0，1）8分cos(n1，n2)=又显然所求二面角的平面角为锐角，所求二面角的大小为9分（）A1C1AC，故只需BDAC即可，设AD=a，则D（0，3a，a）又B（，0，0），则=（，3a，a），=（，3，0）要使BDAC，须=33（3a）=0，得a=2，而AA1=3，A1D=，13分【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题【原题】（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点， （）求证：平面；（）点在线段上，试确定的值， 使平面；（）若平面，平面平面，求二面角的大小【解析】（）连接 因为四边形为菱形，所以为正三角形又为中点， 所以因为,为的中点，所以又， 所以平面4分（）当时，平面下面证明：连接交于，连接因为，所以 因为平面，平面，平面平面，所以.所以所以，即 因为，所以所以， 所以.又平面，平面，所以平面9分（）因为，又平面平面，交线为， 所以平面以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系由=2，则有，设平面的法向量为=， 由，且，可得令得所以=为平面的一个法向量取平面的法向量=， 则，故二面角的大小为6014分