高考一轮复习：数列的概念与简单表示法.doc

第1讲数列的概念与简单表示法【2015年高考会这样考】1以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等【复习指导】1本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主2对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证3熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用基础梳理1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列an的符号正负相间，如1，1,1，1，3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5Sn与an的关系已知Sn，则an在数列an中，若an最大，则若an最小，则 一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性 两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现三种方法由递推式求通项an的方法：(1)an1anf(n)型，采用叠加法；(2)f(n)型，采用叠乘法；(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决双基自测1(人教A版教材习题改编)已知数列an的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列an的通项公式的一项是()Aan1(1)n1 Ban2sinCan1cos n Dan解析根据数列的前4项验证答案B2在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为()A30 B31 C32 D33解析a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案B3已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D不确定解析an1an30，an1an30，an1an.故数列an为递增数列答案A4设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D64解析由于Snn2，a1S11.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，又a11适合上式an2n1，a828115.答案A5(2012泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，中x的值为_解析观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和答案21考向一由数列的前几项求数列的通项【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031，1041，所以an(10n1) 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来【训练1】 已知数列an的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：an；an；ansin2；an；an；an(n1)(n2)其中可以作为数列an的通项公式的有_(填序号)答案考向二由an与Sn的关系求通项an【例2】已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.审题视点 利用anSnSn1(n2)求解解析当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12也满足an23n1.故数列an的通项公式为an23n1.答案23n1 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示【训练2】 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an答案an考向三由数列的递推公式求通项【例3】根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；(3)已知数列an满足an1an3n2，且a12，求an.审题视点 (1)可用构造等比数列法求解(2)可转化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解(1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2. 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解【训练3】 根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131，以上(n1)个式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)个式相加得，ana1lnlnlnln n又a12，anln n2.考向四数列性质的应用【例4】已知数列an的通项an(n1)n(nN)，试问该数列an有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由审题视点 作差：an1an，再分情况讨论解an1an(n2)n1(n1)nn.当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；故a1a2a3a9a10a11a12，所以数列中有最大项为第9,10项 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法【训练4】 已知数列an的前n项和Snn224n(nN*)(1)求an的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解(1)n1时，a1S123.n2时，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.经验证，a123符合an2n25，an2n25(nN*)(2)法一Snn224n，n12时，Sn最大且Sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故S12最大，最大值为144.难点突破13数列中最值问题的求解从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号【示例1】 (2010辽宁)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_【示例2】 (2011浙江)若数列中的最大项是第k项，则k_.