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例谈初中数学新课程的教学实施 一 “数与代数”的教学实施 在传统中小学数学课程中，数与代数方面的内容占有很大的比。但是，不少内容与时代的要求以及新的教育理念之间存在较大的距离，教学要求及实施中也存在许多问题。例如，过分追求科学性和系统性，内容庞杂；过分追求”形式化”，忽视与生活实际的联系；过于强调繁琐的计算和推导，忽视对问题本质的理解；过分强调概念、公式的记忆和技能的训练，缺少问题情境的创设；计算方法单一，不重视估算等。结果导致学生看不到数学的用处，体会不到数学的价值，更不会用所学到的数学知识去解决问题，同时感到数学课“枯燥无味”，失去了学习数学的兴趣和信心。 针对这些问题，标准对这部分内容的教学或学习要求作出了调整，主要表现在：重视学生对数的意义的理解，强调培养学生的数感和符号感；适度淡化”形式化”和记忆的要求，重视在具体情境中去体验、理解有关知识；注重过程，提倡自主学习，强调让学生亲身经历发现规律和探求模式的过程；注重应用，加强对学生数学应用意识和解决实际问题能力的培养；提倡使用计算器，降低对运算复杂性和速度的要求，注重估算等。 1.“数与代数”教学的原则在“数与代数”领域，最为重要的转变是：“把数学看作是大量概念的记忆与技能的掌握”转变到“认为数学是一种数感形成和问题解决的过程”。我们的教学应以此为导向，全面贯彻落实这一思想。 “数与代数”学习的核心目标是使学生能运用符号来解决问题和进行交流，发展符号感，即运用数和符号表达数量关系和变化规律(表达)；选择适当的方法解决用数和符号表达的问题(操作)；能从数和符号运算中得出结论并对结果进行检验(解释)。标准强调，随着计算器、计算机等信息技术的发展和广泛应用，繁琐的、重复的、技巧性很高的计算应当削弱，学生的精力应放在学习更有价值的内容上。为了实现上述目标，“数与代数”的教学应遵循以下原则。（1）过程性原则标准在内容和目标上的变化要求“数与代数”的教学应采取新的教学方式，通过渗透数学建模思想和简单的数学应用来培养学生的数学应用意识和实践能力。在教学中，应注重让学生在现实背景或问题情境中理解和探索基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。在“数与代数”的教学中，应该结合具体的内容让学生经历“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的过程。（2）现实性原则 数学本身所反映的内容是现实的。尽管数学的表现形式具有抽象性，但反映的内容又是非常现实的，与人们的生活，生产有着十分密切的联系。“数与代数”的重要概念，例如数，代数式，方程，不等式，函数等，都是从人们生活和生产的实践中产生和发展起来的。数学学科本身的这种现实性特点，要求“数与代数”的教学应力争向学生呈现丰富的现实背景，以学生已有的经验为出发点关注解决时间问题能力的发展。教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、贴近现实的数学教学活动，如以学校、家庭和学生周围经常遇到的事物做为问题的情境，让学生在活动中感受数学，在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，。运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等方式，激发学生的学习兴趣，让学生在愉快的情境中理解和认识数学。（3）探索性原则 数学是关于模式的科学，“数与代数”内容中蕴涵着大量的规律、公式、法则和算法。标准在第一、二学段的“数与代数”的具体目标中，都提出了”探索规律的要求，要求“探索并理解简单的数量关系”，“探索和理解运算律” “探索具体问题中的数量关系和变化规律”等。 为了适应标准的新要求和数学学习的特点，数学教学应鼓励学生自主探索，给学生留出充分的探索规律、公式、法则，并运用它们解决问题的时间和空间。在”数与代数”的学习过程中，重要的是要让学生学会探求模式，发现规律，解决问题，而不是死记结论，死套公式和法则。要让学生对现实世界中蕴涵的数量关系及其变化规律进行探索，通过经历数的概念的建立、扩充以及数的运算，公式的建立和推导，方程的建立和求解，函数关系等的探究过程，有利于加深对规律、公式、法则等的理解和应用，获得广泛的数学活动经验，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，提高创新意识、探究能力以及分析解决实际问题的能力。（4）综合性原则传统的数学课程不大注意数学与其他学科以及与学生生活经验的联系，几何、代数、概率等领域之间也缺乏联系，这不利于学生对数学知识的整体性和本质的认识。鉴于此，标准中设置了“实践与综合应用领域，其主要目的就是力图改变这种状况。解决实际问题就是一个综合运用不同学科知识的过程，很少有只依靠计算，推理或只画出一个表格就可以解决的问题的情况出现。获得这种综合不同领域的知识解决问题的体验，能使学生实实在在的感受到不同数学知识之间的本质联系，以及数学与其他学科和现实生活的联系，体会到数学的应用价值和科学价值。现代教学越来越出现出注重综合的倾向。“数与代数”领域中数学知识的这种特点，决定了数学教学中要整合多学科的资源，注意沟通“空间与图形”，“统计与概率”等领域知识之间的联系，实现相互渗透，相互补充，共同服务于学生的全面发展。2.案例及其评析案例1100万有多大（一）创设问题情境，引导学生思考，引入课题师：在日常生活中，我们经常遇到一些比较大的数1.2001年人口普查显示，我国人口总数已达12.3亿。2.据统计，全世界有3亿多球迷通过电视转播看了中国与巴西的比赛.3.我校的总面积约为17.4万平方米。4.世界首富的总资产有540亿美元.5.据统计，某年的蝗灾中估计有上亿只蝗虫。（学生自由发言，课前准备，涉及的内容可以是世界每天的出生人数，地球的半径，宇宙的星球个数等等）这些生活中的数据实例包含了很多大数。为什么我们称它们为大数？具体的100万有多大今天我们将通过活动来体会这些大数到底有多大和它们所表达的意义。（二） 组织活动创设情景1师：我们每天都在走路，看书，你能：1. 估测自己的步长，你的1万步大约有多长？100万步呢？2. 估计语文课本中某1页的字数。3. 根据你的估计，1万字约占多少页？100万字的书大约有多厚？4. 量一量数学课本的厚度，估计100万字这样的数学课本放在一起有多高？有几层楼高？说一说你是怎样估计的学生活动1：四人为一小组，选出小组长并进行分工：两人实验，一人计算，一人记录。提出问题：通过动手实验，计算，你能感受或体会100万有多大吗？能用自己的语言向同学说明100万表示的意义吗？同学间开展交流。创设情景2：多媒体给出有关环保，社会的场景。每天我国民众消耗的资源。（说明：假如每人每天消耗0.5千克粮食）可乐瓶的容积为355ml，我国青少年大约有2.3亿，如果每天每人扔1个可乐瓶，堆在一起相当于几间教室大？如果每个塑料瓶能卖5分钱，修一座希望小学要300万元，问把这些瓶子卖掉能修几所希望小学？学生活动2：针对问题1提出解决办法，说明具体措施。针对问题2估计教室长宽高，算出容积通过解决这两个问题的设计，使学生体会环保的重要性，节约的必要性、创设情境3用多媒体呈现一场足球赛的镜头，其中有整个场馆的镜头。给出球场的有关数据。1. 计算足球场的面积2. 要修建能容纳6万人的体育馆，面积约为多少平方米？3. 如果观看电视转播的人全到现场看球，体育馆的面积为多大？能建造出这样的体育馆吗？学生活动3：观看场景后，分小组讨论，找到方法，估计出相关数据，体会估算在实际生活中的作用。创设场景4：数学之神阿基米德的发现杠杆原理后曾发出无与伦比的豪言：“如果有另一个星球作为支点，我可以移动这个地球。”他的气魄和胆略不能不让人折服，但他真能移动地球吗？（教师给出有关数据：地球质量是6*1024千克，用60千克的重物产生的力转动杠杆，动力臂是阻力臂的1023倍，要将地球动万分之一毫米，动力臂一端超过1013千米。）学生活动4：想一想，知道杠杆原理吗？参考老师给出的数据，想想可能吗？（三）课后小结（组织学生完成）师：本节课你有哪些收获或感受？（学生思考后用自己的语言回答出学习完本节课的所思所感。根据学生的回答，教师给以恰当的评价。）评析新课程呼唤新的课堂教学，要求人人学有价值的数学，人人学有用的数学。如何根据教材的特点，把枯燥的教学变得有趣，生动，易于理解，让学生活学，活用呢？教师应从课堂教学入手，联系生活实际设计教学活动，只有通过创设实际问题情景，使学生认识到生活中的大数是无处不在的，这样才可以培养学生的数感，训练学生的估算能力，才能做到让学生学习生活中的数学，学有用的数学。数感不是抽象的概念，它是一种具体的体验，经历和感受。学生只有在亲自收集有关资料，处理数据，动手操作，并与他人交流的过程中才能获得数感。通过对社会，环保经济农业等现实生活中的数据的处理和感受，有利于学生学会用恰当的方法收集，整理，描述，处理大数信息，感受大数字信息，增强数感。 本节课选用了许多生活实例，学生通过对这些实例中数据认识，加工和处理，并熟悉的事物加以比较，用自己的语言描述出大数字的含义，促进了数感形成。本案例中的这些做法体现了“数于代数”教学的现实性原则和过程性原则。 案例2用火柴棒搭正方形 师：现在，我们分组做一个用火柴棒搭正方形的活动。下面求每位同学的火柴棒数一样多，都力31根)。我介绍一下捂法。(学生拿火柴，教师操作，屏幕显示图51)师：大家看屏幕，按图51的方式搭正方形，能看明白吗?生：能。师：好，我们用几分钟的时间，来搭正方形，看哪个同学搭得最多?记录员做好记录。(生迅速摆起来，师巡视，不断鼓励学生)师：各组发言人，请说一下你们小组中谁搭得最多，搭了多少个。(每组发言人分别说出各组中的情况，最多的搭出了12个。)师：同学们褡得都很好，充分说明了同学们不仅手巧，而且心灵。下面我们一起来讨论一组问题。(火师操作，屏幕显示)问题：(1)按照图51的方式，搭2个正方形需要几根火柴棒？搭3个正方形需要几根火柴棒？(2)搭10个正方形需要多少根火柴棒?(3)搭100个正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到答案的?(4)如果用n表示所搭正方形的个数，那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴进行交流。(5)根据你的计算方法，搭132个这样的正方形需要几根柴棒。师：大家先解决一下问题(1)、(2)、(3)。(各小组积极展开讨论，交流自己的结论。师巡视各小组情况，随机参与某小组的讨论。)师：请各小组说一说(1)、(2)、(3)的答案。小组1发言人：(1)搭2个正方形需要7根火柴棒，3个正方形需要10根火柴棒。(2)需3l根火柴(3)需30l根火柴棒。这301根火柴棒我们是这样得到的，第一个正方形用4根，其余的99个正方形每一个用3根。 师：你能用算式表示吗? (生到黑板上，写算式：4+993) 师：这个小组做得很好。还有不同的方法吗？ 小组2发言人：我们是这样想的。如果把每个正方形都看成4根，那么100个正方形需400根。可是除去第一个正方形，其余的正方形都少用了1根，所以我们的算法是：4100-99。（师板书）师：说得非常好?你们组还有其他的方法吗？小组2发言人：(想了一下)暂时没有。(大家都笑了起来，师肯定该生敢于发表意见)小组3发言人：还有。就是把每个正方形都看成3根火柴棒搭成的，100个正方形就需要300根。但第一正方形多用了1根。因此，是301根。列算式是：3100+1师：这个组同学的方法也非常好。同学们还有不同方法吗？（学生小声说，想不起来了） 师：这个问题，大家想到了三种不同的方法。这充分说明了大家善于动脑，善于用不同的方法解决问题。实际上，这个问题还有别的方法，课后大家再去探讨。我们看第(4)个问题，人家再分组研究一下怎样解决，有几种方法，越多越好。 (学生分组讨论，教师巡视。第3组讨论：有障碍，教师参与该组讨论) 师：我们请第二小组的发言人说一下你们小组结论。生：我们小组有三种结论。基本上和第(3)个问题差不多。列的算式足：3n+14+（n-1）3,4n-(n-1)。师：有和他们列的算式不同的吗 (学生摇头。)师：这个小组的算式非常好。大家观察一下（3），（4）两个问题的答案有什么不同吗？生：问题(3)中正方形的个数是100，问题(4)中的正方形个数是n师：在(4)中n是几个？生：无数个，任意一个，也许师：到底是多少?生：(思考一下)任意个。师：对?这里的字母表示任意一个数。也就是说，任意一个数可以用字母来表示，好，今天学习的就是字母能表示什么？（师板书课题：字母能表示什么）师：刚才我们知道n表示正方形的个数，n可以是3，也可以是4，它表示任意数，现在大家完成（5）（生计算，师巡视）师：请大家出示结果。生：397。师：小组内交流计算过程，看一看算法一样吗。生：不大一样，但结果一样。师：大家的计算都非常好，小组讨论的也非常好。评析 在上面的教学过程中，教师首先提供了一个富有挑战性的问题情境供学生观察、猜想、讨论和验证。让学生体会字母表示数的意义，初步形成符号感，体验到代数式来自实际问题。学生经历了探索火柴棒数与第n个正方形之间的关系、并运用字母表示这一关系的过程，得到了搭n个正方形需要3n+1根火柴棒的结论。通过分别对n赋予不同的具体数值计算正方形的个数，体会到字母表示数的意义和作用，体会到n能够代表第任意个正方形。这一教学过程，充分体现了探索性原则和现实性原则。案例3用字母表示运算律 师：我们再看一下这个问题： (师操作，屏幕显示)2+33+2，(3)+(5)(5)+(3) 观察上面算式，你能说出它们包含的运算律吗?你能用字母表示这个运算律吗?你还能用字母表示学过的哪些运算律? (生思考、交流)生1：上面算式包含的是加法交换律，用字母表示为：a+b=b+a:我们还学过加法结合律，用字母表示为：a+b+c=a+（b+c）（a+b）+c：乘法交换律：abc=a(bc)=(ab)c乘法分配律：a（b+c）ab+ac(师板书)师：很好，式子中的a，b，c表示什么？生1：表示任意数。师：a，b，c相等吗?生1：不相等。生2：也可能相等。师：同学们议一议。生：也可能相等。师：很好a，b，c三个字母表示任意数，它们可能相等，也可能不相等，同学们考虑的很全面。你能说一下用字母表示运算律有什么好处吗生I：简便。评析 在上面的教学过程中，学生针对具体问题经历了用字母表示数或数量关系的过程，初步理解用字母表示数的意义，在用字母表示公式、法则的活动中，学生进一步体会到字母可以表示任意数。学会了用字母表示以前学过的某些简单法则和公式(如加法运算律、乘法运算律、长方形面积公式、圆柱、路程速度时间的关系)。二 “空间与图形”的教学实施传统“几何”内容的过分抽象和“形式化”以及缺乏与现实生活联系的弊端，使“几何”直观的优势没有得到充分的发挥，学生失去了学习的兴趣；而标准中的“空间与图形”则充分体现了“以人发展为本”的教育理念，将学生学习的视野拓宽到学生的生活空间，强调几何知识与现实世界的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等过程，在自主探索、合作交流的过程中更好地认识、理解和把握自己赖以生存的空间，使自己的空间观念得到加强。同时，它不仅培养学生的演绎推理能力，也注重培养向来被忽视的合情推理能力，这样使得学生的推理能力得到全面的发展。标准的这种处理，不仅发挥了几何直观的优势，也调动了学生学习兴趣，促进了学生的全面发展。1.“空间与图形”教学的基本原则 作为一线的数学教师，你最为关心的可能还是如何将新课程的理念落实到每日的课堂，简言之，就是如何实施“空间与图形”的课堂教学。当然，对于不同的教学，同一个教师可能有不同的实施方案；而对于同一个教学内容，不同的教师的实施方案也可能不同。尽管如此，对于“空间与图形”的教学，还是有一些共性的东西可以把握的。新课程理念下的“空间与图形”教学应该遵循以下几个原则。（1）直观性原则 一般来说，直观性原则是指借用形象直观，把具体事物和抽象的事物之间建立联系，以实现从“生动的直观”向“抽象思维”的转变，其意图在于降低抽象事物(知识)的学习难度，便于学习者理解、接受、掌握和运用。这里的直观性原则强调在“空间与图形”领域的教学中，充分利用各种手段(包括语言描述、实物展示和课件摸拟演示)，让学生直观感知，其目的不仅在于让学生易于接受难度较大的抽象知识，形成抽象思维能力，也在于培养学生的几何直觉能力、动手操作能力和合情推理能力。在本领域的课堂教学中我们应遵循这一原则，从而调动学生学习数学的积极性，培养学习兴趣，以达到本学断所规定的教育教学目标。那么在教学过程中如何正确运用呢?下面的建议可供选择： 应注意在教学过程中充分调动学生感觉器官的作用，发展其观察能力、分析能力以及抽象思维能力 直观性是从具体上升到抽象的辅助手段。心理学的研究表明，几何概念形成的复杂心理过程一般是：感觉一知觉一表象一概念，直观性能促进这一过程的发展，帮助学生概括和抽象出所要形成的概念的本质性特征。 应注意合理地选择和运用直观性，以便帮助学生发现、理解并掌握几何理论 对于有些与日常生活经验有关的简单问题，可用语言直观表述一下即可，不必费时间直观感知实物或模型；对于较抽象难于理解的几何知识，应用直观感知实物或模型就显得事半功倍。因为直观性是从不同的感觉渠道同时往大脑输送信息，自然能使信息相互强化。从而有利于学生对结论的理解与掌握。 在教学中应注意直观对象的特点及重要影响一般说来，直观方式有三大类：一是实物直观。通过实物直观，可以使学生获得对于实际事物的感觉、知觉、表象，可激发学生学习兴趣和求知欲望，也可调动学生学习数学的积极性。但这种直观也有局限性，往往难以突出事物的本质特征，有时在实际中难以做到；二是模像直观。通过对实际事物各种模拟品的感知来进行，如模型、图片、图表，照片、课件、录像等，它与实际事物有一定距离，但对学生感性认识的形成有独特的作用。模像直观性有时难以表示，还受经济物质条件的局限；三是语言直观。通过教师形象化的语言，使学生脑中引起记忆表象，想像表象来领会和认识。应注意过程的演示，必时让学生自己动手操作 通过演示过程，或者加深学生对概念的理解，或者提高其观察能力，或者提高其动手操作的能力。利用过程的直观。达到以往的直观性原则所达不到的效果，这也是该原则再次被提出的必要性之一。 尽管“空间与图形”教学中的直观性原则是个重要原则，但要注意当用得恰当时，直性原则才会起积极作用，否则可能会起反作用。（2）现实性原则 在教学实践中，确实遇到有不少的学生虽然“数与代数”等内容学得很好，但是一碰到“空间与图形”问题就束手无策：他们的实践操作能力、几何直觉、空间观念非常缺乏。个中的原因尽管是极其复杂的，但教师在教学时不重视学生现实生活积累，从书本到书本也是造成这种局面的一个重要原因。 教育心理学研究表明，学生数学学习过程是建立在已有的知识基础和生活经验之上的一个主动建构过程。原有的知识储备，在现实活动中的经验积淀以及在社会生活中所形成的许多朴素认识，都构成了学生进行数学学习的现实。因此，教学应该从学生的数学现实出发，即遵循现实性原则、所谓现实性原则是指把课堂“搬”到学生居住、活动的地方去。比如，在教学“梯形”一节寸，其情境引人中需要举生活周围梯形的例子，给农村的学生举小轿车的挡风玻璃、台灯的灯罩的例子，不如举有些建筑物的房顶，篮球场的3秒区的例子。 下面给出在教学中运用现实性原则的策略建议。 直接融入现实生活 比如在学习比例的有关知识寸，要解答用比例去测量灯塔的高的问题，就提倡把学生带到有灯塔的某个地方，让他们自己想办法去实际量一量、算一算，确定灯塔到底有多高，从中体会比例在实际生活中的运用、 创设情境 利用学生的生活经验，教师精心营造一个学生熟悉的空间，让学生在这个熟悉的“现实生活空间”中，发现数学问题，探究数学规律。模拟实践活动教师精心设汁一些模拟性实践活动，在活动中引导学生解决生活中的数学问题。现 收集生活中的“空间与图形”的信息和问题 教师引导学生在课堂时间之外，从生活中收集“空间与图形”的信息和问题。用近期所学的数学知识来解答周围生活中的哪些问题等，学生随之经历从现实世界中抽象出图形，建立几何模型的过程，体验图形与现实世界的密切联系。 俗话说，教无定法，这些策略在具体的实施过程中，每个教帅的途径与方法可能千差万别，这也正是我们所倡导的。（3）过程性原则 所谓过程性原则，就是通过富有启发性的日常现象或几何模型、问题情境、实验猜测，让学生经历观察、实验、操作、想像、猜测与求证、解释与运用等活动，使之思考，自主探索、合作交流，师生、生生互动不断生成新思想的活动中感知“空间与图形”的意义、初步体验数和形的联系，发展空间观念，同时学会学习。 运用这一原则的关键在于以下几点：尽量避免过分强调几何结论，一般不要轻易给出结论；注意引导学生思考；留给学生充足的时间，没有时间就没有过程。（4）多样性原则 从“空间与图形”的课程目标来看：“空间与图形”不仅包括推理论证和相关的计算等内容，也包括直观感知、操作实践及由此发展起来的几何直觉、学习情感等。“空间与图形”的教学，不仅要有效地发展学生的逻辑推理能力，而且要充分发展学生的直观演绎、合情推理能力。让学生感受数学的思想方法，体验数学学习的乐趣，逐步积累经验，发展空间观念和自主创新的意识；从学习的主体来看：学生是学习的主体，因为他们的性格、志趣、爱好，学习水平、经验积累、文化背景等各不相同，所以他们的学习倾向、探究活动的过程与结果也会干差万别。因此，多样的课程目标、学习主体多样化的学习需求，决定了“空间与图形”的教学应该是多样性的，这就是所谓的教学的多样性原则。那么，如何实现“空间与图形”教学实施的多样性呢?下面的做法供大家参考： 突出教学目标要求的多样性 教学目标要求的多样性决定了教学多样性。教学目标要求的多样性有两个层面的含义，首先，教学目标要求是知识、能力与情感的有机统一。教学目标的设计不仅要关注学生的“双基”，也要关注学生在观察、思考、操作、实践，交流、辩论等学习过程中的体验、情感和态度。其次，教学目标要求应关注学生的差异性。因为不同发展阶段的学生在认知水平、认知风格和发展趋势上存在着差异，即使是处于同一发展阶段的不同学生在认知水乎、认知风格和发展趋势上也存在着差异。教学目标的设计应该是多维度、立体式的，不能搞“一刀切”、“程式化”，其实施策略也是灵活多样的。教学中，学生的反应也随时影响着实施，如果学生还在饶有兴趣地抛出解决问题的多样化策略时，老师硬是要他们停下来转人思考下一个问题，忽视学生情感的教学是低效的。如果学生中再没有不同意见了，而你还要苦苦地等待“某种思路”的出现，那也是不明智的。如果放大探索过程，“某一次”挤占了一些时间，是可以通过以后的调剂釆弥补的；如果单一地去追求某一方面的目标落实也是不经济、不科学的，因为三位目标本来就是一个整体。 对于同一知识，允许学生有不同的理解、不同的表述。对于同一问题，允许学生有不同的求解思路，甚至不同的结论：如果在全体学生获得必要发展的前提下，不同的学生都获得成功的体验。这种教学应是我们提倡的。充分利用多样性的教学素材丰富多彩的现实世界是学生学习“空间与图形”的源泉，不仅包括平面图形，还包括大量的空间问题以及标准图形、变式图形组成的图形世界。教学素材有较大的选择空间，也使得教学实施形式多样。 我们可以从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把“空间与图形”的学习过程变成有趣的、充满想像和富有推理的活动。让学生在探索这些现实的情况和问题中认识“空间与图形”，探索图形变化的规律，了解“空间与图形”学习的价值。根据地域的不同、学生经验的区别，可以选用不同的教学素材和呈现形式，只要能体现“空间与图形”的知识内涵，能引导学生经历一个从“非正规化”到“正规化”、从“现实”到“数学”的数学化过程能促使学生在对空间的把握，图形的探索、立体图形与平面图形的转化中发展空间观念，能促进学生运用自己的方式表达对“空间与图形”的理解，达到对教学多样性原则的很好把握就可以了。 恰当运用多样的教学方式和手段 广大一线教师在长期的教学实践中，积累了许多有关几何知识教学的宝贵经验所采用的教学方式、使用的媒体手段，对于“空间与图形”的教学都很有意义。首先，要突出运用观察、操作、思考、想像、猜测、推理、交流、反思等多种活动方式来探索图形的形式、图形的运动、图形的测量、图形的位置等，使学生体验更多的刻画现实世界和认识图形的角度。让演绎推理与合情推理促进学生思维发展。这里要特别强调动手操作的重要性。学生通过折一折、剪一剪、拼一拼、画一画、量一量、分一分甚至是独立进行设计等活动，能加深对图形多方面特征的亲身感受，这不仅为研究图形的特征奠定了基础，同时也积累了数学活动经验，发展了空间观念。所以有人说“做”比“看”获得的感悟要多得多。 其次，要注意发挥现代信息技术，特别是计算机技术，在图形变换，分解，运动以及建立几何模型等方面，有着无法比拟的优势。实施多样性原则就要充分利用现代为学生创造一个研究图形的特征和关系的丰富情境，把学生从繁琐重复的劳动中解放出来，让他们进行有意义的探索、开展实践活动、 灵活选用多样化的教学方式与手段是实现教学实施多样性的有效途径。（5）人文性原则 人文性原则的实施主要体现在： 数学文化方面 “空间与图形”有着丰富的历史渊源和深厚的文化背景。教学过程中，要通过一些数学史实(比如，圆周率、勾股定理等史料)，让学生了解“空间与图形”丰富的历史渊源，了解“空间与图形”对社会发展的推动作用，了解空间与图形”与人类生活的密切关系，从而加深对“空间与图形”知识的理解。 图形直观的审美价值方面 图形直观是人们理解自然与社会、感受美的绝妙工具，特别是随着计算机制图和成像技术的发展，图形直观更是运用到人类生活和社会发展的各个角落，为人类带来了无穷无尽的直觉源泉和美的享受。“空间与图形”教学要让学生在欣赏美妙的生活图景的过程中，在设计各式各样的几何图形的过程中，感受美进而创造美。 对学生的人文关怀方面 首先，要把学生当作充满感情、有思想、有个性的人来教育，尊重他们，尊重他们的差异，尊重他们的选择，尊重他们的个性思想；其次，要相信他们，相信他们有自己的价值判断能力和无穷的创造力，相信他们的情感体验是真实的，相信他们的审美感受是丰富多彩的。最后，在整个教学过程中，都要真诚地欣赏每一个学生，倾听他们的心声，赏识他们个性化的言行，发现他们身上每一个闪光点。（6）活动性原则 所谓活动性原则，是指一改传统数学课堂的单一形式，把数学课堂活动化，使学生在活动中自主探索、合作交流，通过活动来学习数学，体验观察、测量、计算、实验、猜想等具体操作过程，体味教学的价值。它不仅能使学生学习“空间与图形”的有关知识，而且还能学到一些书本上根本学不到的知识，这样的课堂在初中数学课程实施中尤其值得提倡。 关于该原则在数学教学中的运用，有如下建议可供选择： 应注意确定明确的目标，发挥教师的引导者作用。目标是行动的指南，有了明确的活动日标，不仅便于学生开展活动，也有利于教师调控活动。教师应注意引导学生有效地开展活动，适时指导，提出建议，保证活动的顺利进行，以达到预期效果。 应注意严密组织，周密安排，发挥教师的组织者作用。高效的活动组织要求教师及时提出多种组织策略建议，让学生根据情况灵活选择，这是活动达到预期目的效果的有效保障。 应注意参与到学生的活动中去，和学生合作，发挥教师的参与者和合作者作用。教师作为活动中平等而特殊的一员，及时参与某些问题的讨论和解决，与学生一起参加活动，有利于达到活动的预期目标，保证活动的有效性。2.案例及其评析 本节中，我们将通过几个教学案例片段，与你一起探讨“空间与图形”教学的一些问题，期望能引起你对“空间与图形”教学实施原则的深层思考。案例1由立体图形到视图 义务教育课程标准实验教科书数学(华东师大版)七年级上册 教师：(经过充分的准备，信心十足地走上讲台)同学们，如果我们俯视人的头部，你将会看到什么? 学生l：“头发”。(这显然不是期望的答案)教师：如果是光头呢?(哈哈学生一片笑声)学生2(接着答)：头的顶部。教师(赞许地点点头“嗯”，接着问)：那从侧面看人的头部呢？学生3：一只耳朵。学生4：半边脸。教师：从正面看呢：那从侧面看人的头部呢?学生5：眼睛，鼻子，嘴巴。学生6：还有额头(争先恐后回答)。 (接着，老师介绍了视图的概念，又演示了课件，如房屋的三视图学生就像看电影一样，兴致勃勃，津津有昧。然后，老师拿出了三叉接头模型。) 教师(亲切地问道)：请同学们观察老师手里的模型，这是一个三叉接头。从正面看它的图形是什么?(为了“从正面看”这几个字，坐在两边的学生纷纷下位，歪着头往中间凑。)教师(顺势说道)：对，一定要把握看的方向，否则画出的图就不一样。三叉接头中的圆柱从正面看的平面图形是什么?(见学生拿不定主意的样子，进一步启发)。学生7(抢笞)：”长方形”。学生8(产生疑问)：但圆柱底面的那条线是弧形的。老师(耐心地解释)：是的，但从正面看过去，落在一个平面上时，看起来就像一条线了。 (有的学生仍皱着眉头，似乎不理解为什么把弧线画成了直线。)教师：让我们来看看动画演示。评析：整个教学过程运用了人文性原则，直观性原则，过程性原则进行教学。在教学过程中，教师充分关注学生的回答，并且给予积极的启发，这样使得学生的个性得到张扬，内容的呈现采用了多媒体制作动画课件，形象，生动，直观，大大降低了学生对知识理解的难度，同时启发了学生的思维，培养了学生的空间观念。在教学过程中，不只是直接呈现结论，而是重视结论的得出过程，这样利于学生对知识的理解和掌握。案例2勾股定理的逆定理主要教学过程如下：（一）创设问题情境，引导学生思考，激发学习兴趣 大约在公元前2700年，我们知道，当时的生产工具很落后，测量技术也不是很高明。可是，古埃及人却建成了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔。这些金字塔的塔基都是正方形，其中最大的一座金字塔的塔基是边长为230多米的正方形，然而，那时并没有直角三角板，更没有任何先进的测量仪器。这的确是个谜!你能猜出金字塔塔基的正方形的每一个直角，古埃及人究竟是怎样确定的吗?要解开这个谜，还是让我们先从一个小实验开始吧。 电脑显示：古埃及人的金字塔。让学生猜测一下它的塔墓可能的形状?(学生有的猜是四边形，有的猜是正方形)这的教师动画演示，刦开塔基的截面，显示它的形状，正方形的形状得到认同，从而引出探究的问题：公元前2700年，古埃及人就已经知道在建筑中应用直角的知识，那么你知道古埃及人究竟是怎样确定直角的?(二)通过学生动手操作，观察分析，实践猜想，合作交流，人人参与活动，体验并感悟图形和数量之间的相互联系1画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。A： 343；B： 345； C： 346； D： 51213；2找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。3测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下4判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。5猜想：让我们猜想一下一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢? 你的猜想是 学生根据提纲内容，分组进行探索、讨论、交流。教师巡视诱导，协助“学困生”解决困难。待各组完成猜想后，教师请各组同学分别回答他们所猜想的结论、探究的过程，教师再进行补充完善，并且对合作好的小组给予表扬。(三)继续动手实践操作，思考探究，验证猜想幻灯片显示：验证提纲1看谁能想起来：任意想出三个数字，要求其中两个数的平方和等于第三个数的平方2动手画：用上题中你想出来的三个数为边长，画一个三角形。3再画一个好吗?用上题中你所画的三角形的两条较短边长为直角边，另画一个三角形4剪一剪：把上述你所画的两个三角形分别用剪刀剪下来。5叠叠看：把你刚才所剪下来的两个三角形叠合在一起。6动动脑：请你想一想，叠合后的两个三角形存在什么关系?你还能得出什么结论7通过以上的实践操作验证：你的猜想是否正确?8你能再叙述一下这个猜想吗?9请说明上述猜想与勾股定理有什么区别和联系?10你能给上面的猜想起个名字吗? 学生根据提纲内容，继续分组进行探索、讨论、交流。教师再次巡视诱导，协助“学困生解决困难。这样让学生通过想、画、剪一剪、叠叠看的方式，来进一步验证猜想的正确性。然后请学生给这个结论起一个名字：一个猜想经过证明是正确命题，叫定理。那么与勾股定理是互逆的命题叫什么呢? (四)让我们一起看一下大屏幕，怎样从理论上进行验证 幻灯片显示：猜想结论的理论验证过程。让学生边观看、边思考：这里是怎样判定一个三角形是直角三角形呢?并在括号里填出理由。(以下略) 评析 该教学案例主要遵循了人文性原则、直观性原则、过程性原则、多样性原则、活动性原则。小组活动期间，学生求知的热情空前高涨，甚至连平时不爱发言、不爱学习的学生也都积极行动了起来，主动参与到小组的活动中来，几个顽皮的学生也被当时探究的气氛给同化了，在小组活动的过程中，不同知识水平的学生，加强了沟通，消除了隔阂，个性得到了张扬，潜力也得到了发挥。同时教师对合作好的小组给予表扬、这样不仅培养了学生团结协作的精神，也调动了“学困生学习的积极性，而且还发挥了教师组织者、参与者、指导者的作用。通过动手操作来验证结论，比较直观，也比较形象，既加深了学生对定理的理解和记忆，又培养了学生学习数学的兴趣、动手操作使学生直观确认数学猜想，培养了学生的动手操作能力，理论验证加深了学生对新旧知识的回忆和联系，培养了学生学数学的严谨性和科学性，提高了他们的逻辑推理能力-案例3平行 教师：昨天，我要求同学们收集生活中利用平行原理的实例，其实老师昨天也收集了许多你们先展示，还是老师先展示，(带着征求意见的口吻问) 学生：我们先展示!(全班学生几乎异口同声，许多学生已跃跃欲试，抢着举手教师：好吧，你们说。学生1：火车铁轨是平行的。学生2：斑马线是平行的。学生3：电梯是平行的。学生4：不一定，应该是商场那种扶手电梯。(许多学生点头表示赞同)学生5：音乐五线谱中的五条线是平行的。(师点头赞许) (近三分钟的时间学生列举的实例涉及到生活中各个方面：音乐、艺术体育、建筑、交通、装饰等)教师：你们都说得非常奸，下面该老师说了吧?(再次以征求意见的口吻问)(学生默许了。师从讲桌上拿出两张本人滑雪的放大的彩色照片)教师：图片中是谁?她在于什么?(学生的情绪达到了一个高潮，纷纷探头观看学生6：是你在滑雪。教师：对，是我前年在零下30度的哈尔滨滑雪场滑雪的照片，但是我不仅没有学会滑雪还摔了不少跟头。你们知道是为什么吗?(皱着眉头，滑雪的痛苦经历似乎浮现在眼前)学生7：两滑雪板未保持平行。(学生议论纷纷)教师：你们真的很聪明。教师：如果跑道线不是平行的会怎样呢?学生8：运动员会撞到一起的。（生哄堂大笑）教师：如果铁轨的轨道不平行呢，又会怎样？学生9：会越轨，出事故的教师：平行线在生活中用途很广，那么同学们能否结合我们所举出的所有实例归纳出什么样的线是平行线呢学生10：永远不相交在一起的线是平行线教师：还有其他的说法吗？或你认为上述的说法欠准确吗学生11：（指着教室中天花板上纵向线和地面水平方向的线）：它们永远不会相交，但是他们不是平行线。教师：非常好，所以强调在统一平面内，不相交还可以怎样表述呢？学生12：是不是可以说两直线没有公共点学生13：我认为可以这样说，在同一平面内，不相交的直线叫做平行线教师：很好（师重复着学生的表述，在黑板上板书平行线的概念。接着鼓励学生以小组为单位，借助手中现成的工具或方格纸进行画平行线的比赛）学生在教师指导下分组活动，非常投入，教师巡视，指导学生，学生中尝试的有借助方格纸的三种方法。利用直尺或三角尺的画法。最后请找到了多种不同画法的小组代表在黑板上展示了画平行线的过程。评析：该教学案例将直观性原则，活动性原则，人文性原则，和现实性原则有机的结合起来，在教学中收到了很好的效果。课堂上，学生能够自由发表自己的见解，回答能够得到密切的关注，个性得到了发展，利用生活经历，语言描述与生活关系密切的平行线相关的实例，降低了学习的难度，体现了数学的广泛应用性，分组进行画平行线的比赛，则调动了学生学习的兴趣和积极性 案例4比较线段的长短情境引入活动1教师在课桌上摆上事物，让坐在后面的学生来取（走直的路程），再叫学生走弯的路程来取，然后教师问：从座位到讲桌之间的距离你感觉哪个长，能说出理由吗？（让学生感受两点之间线段最短的事实）让学生阅读，观察课文开头的图并回答：小猫和小狗为什么选择直的路程，旨在得出结论：两点之间的所有的连线中线段最短，两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。活动2两学生走上讲台，然后问全班同学，如何比较这两名同学的身高，（体会线段比较的意义和方法），学生回答后，教师让学生看书回答书中想一想问题2：小狗跑得远，还是小猫跑的远？你是怎么比较的？（学生可以互相交流）结论：（1） 用度量的方法：（2） 把它们的出发点连起来老师叫学生在练习本上任画一条线段，然后问：如何用圆规做一条线段，等于你所画的线段？（学生可以交流，讨论。学生的画法可能是多种多样的，教师应引导学生看书，按书中的方法去做，必要时，叫学生上黑板画，渗透尺规作图的规范性.）议一议：怎样比较两条线段的长度教师在黑板上任意画两条线段AB、C。教师问：如何比较这两条线段的长短？（在学生自学、思考和讨论的基础上，教师让学生走上讲台把自己比较的方法实际演示、说明）结论：（1） 放在同一直线上比较：（2） 用度量的方法比较，教师引导学生看书，并结合实例，说明什么是线段的中点？（学生可互相讨论，交流，教师根据情况具体指导）板书：如图所示，若点在线段A、B上，量，则M是线段的中点，学生完成书中练习学生小结本节收获作业评析在本案例的教学中，活动性原则的突出运用丰富了学生的课堂生活，使原来枯燥无味的讲解转变为生动活泼的学习活动，调动了学生的学习兴趣，加深了学生对几何概念的理解，收到了很好的教学效果，同时直观性原则，现实性原则和人文性原则不同程度的运用也对教学效果提供了保障由以上案例可以看出，“空间与图形”教学的各原则往往组合在一起运用，单个运用的时候不多，应用哪些原则在很大程度上决定于教学内容，有时还受学校条件的限制。同时还可以看到，灵活合理的运用这些教学原则能收到良好的教学效果。（三）统计与概率的教学实施随着社会经验的积累和认知的进一步发展，初中阶段的学生对现实社会的兴趣不断扩展，要引导他们把对统计与概率的探索从日常生活领域拓展到现实社会和科学技术中感兴趣的领域，以认识统计与概率在现实社会和科学技术中的广泛应用，新标准把统计与概率从代数中分离出来，作为一个独立的内容领域，并提出总目标，从事数据的收集整理描述的全过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。特别强调学生经历统计的全过程，并做出合理的推断和恰当的决策。为了突出统计与概率的思想，避免把这部分内容处理成纯计算的内容，在教学中要注意一下几个方面。1.“统计与概率”教学实施中要注意的几个问题（1）让学生经历统计与概率思想产生和发展的全过程突出统计与概率的基本思想和方法，使学生形成统计特有的观念，最有效的方法是让他们真正投入到产生和发展统计与概率思想的全过程：发现并提出问题，考虑是否需要抽样，如何收集和整理数据，如何运用统计图表，频率分布以及平均数和方差等统计量等来展示数据，分析数据，作出决策，进行交流，评价与改进。能主动的探索现实生活与科学领域中的随机事件，选择运用实验，模拟，推理等方法得出事件发生的可能性大小，体会概率论的基本思想要让学生真正投入到产生和发展统计与概率思想的全过程，需要把握两个要点，首先，要把学生学习的内容和实际情景联系起来，让他们在现实情景中解决问题。其次，要鼓励他们独立思考，自己制定指标并设计调查统计表，提倡与其他同学的交流，以提高他们活动的积极性和主动性。（2）.让学生感受抽样的重要性，体会用样本估计总体的思想抽样是第三学段的重要内容，这部分内容的重点是通过丰富的实例，体会抽样的必要性和随机抽样的重要性，经历抽样的过程，并根据样本的平均数，方差等统计量估计总体的特征，体会用样本估计总体的思想。（3）.让他们体会随机思想的特征，概率中的数学方法和其他确定性的数学方法一样是一种科学的方法，它能够有效的解决现实世界中的众多问题，能够认识到概率的思维方式与确定性思维的差异就是随机感念。这一观念是初中这一学段的学生学习概率统计知识的重要目标。例如：通过学习，学生应该知道某个活动的中奖率为1000，买1000张奖券也不一定会中。如果天气预报说明天下雨的概率为10100，后天是90IO0，而明天下雨了后天没有下，他们能够理解这是为什么，而且也知道即使是这样，明天不带伞，后天带伞仍然是一个明智的举动。 （4）让学生认识到统计在实际生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题 统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用、现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题，课程中要充分挖掘适合学生学习的材料，既可以从报刊杂志、电视广播、计算机数据库等许多方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中选取，使学生体会数学与生活的直接联系，并拥有充分实践的机会，以使他们认识到统计在实际生活及科学领域中的应用。 通过选择现实情景中的数据，理解概念、原理的实际意义，让学生解决一些实际问题，以提高他们用概率统计方法解决实际问题的能力。例如，可以引入这样的例子：为了略去评委可能出现的异常打分，采取去掉最高分和最低分的方法；通过对英语单词和字母的统计，了解密码分析学；通过分析款式的频率特征来确定文物的相对年代；运用比例来估计池塘中鱼的数目等等； （5）让学生利用新技术手段来学习统计与概率知识仅用计算器来处理统计中的计算问题。或利用多媒体展示课件，可以说并没有体现信息技术的强大辅助作用。学生可以从两个方面利用技术手段学习统计与概率的知识：首先，学生可以利用计算机来提高整理和显示数据的效果，建立、记录和研究信息，这样可以使他们有充足的时间和精力来探究统计的实质要素。其次，学生可以利用计算机产生足够的模拟结果，克服手工实验不能得到大样本数据的缺点，树立他们正确的概率直觉。 （6）让学生把握概率与统计的联系 要引导学生把概率与统汁联系起来看问题，数据的统计与处理不应只是纯数字的运算，它们与概率是密不可分的、同时，很多的概率模型是建立在大量数据统计的基础上。例如，天气预报中降雨的概率，防洪标准的设立等。因此，要使学生在随机实验中统计相关的数据，并了解这些数据的概率含义，在数据统计时了解其中所蕴涵的随机性，切忌将概率与统计分割处理。 （7）让学生积极主动地获取信息，并能读懂数据信息 在信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种重要的信息，学会处理各种信息，并运用数据进行推断的能力，已经成为公民必备的基本素质，我们要培养学生主动获取信息的意识，这是他们应用意识的具体体现，标准在本学段要求“根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰的表达自己的观点，并进行交流”， “能根据问题查找有关资料，获得数据信息，对日常生活中的某些数据发表自己的看法”。例如，阅读产品说明时能主动利用其中提供的数据信息判断产品的可信度，如有广告称“75的人使用本产品”，如果学生对统计过程有一个客观全面的认识，会很快意识到广告没有提供数据的来源，也许样本不具有代表性，没有反映总体的真实情况。 （8）让学生经历“猜测结果一进行实验一分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉 学生在生活中的一些经验是他们学习概率统计知识的基础，在这些经验当中包括一些直觉经验，但这些直觉往往是不正确的。例如：小学四年级的学生猜测年级的小学生睡眠质量没有六年级的小学生好。这主要是因为生活中给他们留下这样的印象：年龄小的孩子比起年龄大的孩子更容易在夜间哭闹。但是他们调查了两个年级学生后得到的结果让他们吃惊：原来一年级的小学生睡眠质量比六年级的小学生好，是什么原因导致了这样的结果?这使得他们将调查继续下去，发现大的活动量是一年级学生睡眠质量好的主要原因。这下他们彻底相信自己原来的猜测错了。在概率的学习中也是这样，在经验中建立的错误直觉要在经验中消除，要建立学生正确的概率直觉，必须让他们亲自经历对随机现象的探索过程，引导他们亲自动手实验收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，真正树立正确的概率直觉。 (9)让学生通过用列举法计算事件发生的概率，体会概率的意义 对这一阶段的学生来说，计算事件发生的概率，主要使用列举法(包括列表、画树状图等)。在使用列举法计算概率大小的过程中，教师要注意以下两个方面：首先，要注意引导学生独立探索列举可能出现结果的方法。其次，要注意让学生根据自己的特点；运自己的方法列举所有可能出现的结果，鼓励活动策略的多样化。 2.案例评析 本节中，我们将通过两个案例的分析，与你一起探讨“统计与概率”教学的一题，期望能引起你对“统计与概率”教学的深层思考、请你在阅读的同时也结合自己学进行反思，不断完善自己的教学，让我们携手一起走进“统计与概率”的新课堂。案例1游戏公平吗? 片段1： 师：上课! 生：老师好! 师：同学们好!请坐。今天我问大家一个问题，你们在公共场合见过转盘之类的游戏吗? 生：(部分回答)见到过师：有谁参与过吗?生：有。 师：你能说一说当时的胜负情况及体会吗?