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立体几何1三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理2和三个推论是确定平面的依据。（3）公理3、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。2直观图与三视图（1）直观图的画法（斜二侧画法规则）：（2）三视图3空间直线的位置关系：（1）相交直线有且只有一个公共点。（2）平行直线在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线不在同一平面内，也没有公共点。4判定线线平行的方法：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（找一线和这两线都平行）（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（想到直线和平面的判定定理）（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（5）利用中位线的性质；5两直线垂直的判定：转化为证线面垂直；相交垂直可以考虑勾股定理. 6直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。7直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果平面内一条直线和这个直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（见例题1（1）（在平面内找一条直线与已知直线平行：找一平面过已知直线与已知平面相交，则交线就是）面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（见例题3（1）（找一平面过已知直线与已知平面平行）另外，如下方法有时也用：、表示平面，a、b表示直线 （定义法）：通常反证.（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）、表示平面，a、b表示直线，则a的一个充分不必要条件是A、，aB、b，且abC、ab且b D、且a（答：D）；（2）正方体ABCD-ABCD中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN面AA1B1B。8直线和平面垂直的判定和性质：（见例题1（2）（1）判定：判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（2）性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。9平面与平面的位置关系：（1）平行没有公共点；（2）相交有一条公共直线。10两个平面平行的判定和性质：（1）判定： 判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（见例题3（1）一面内找两相交直线与另一平面平行（线面面面）.依据垂直于同一直线的两平面平行来判定 .利用面面平行传递性依定义采用反证法证明两平面没有公共点.（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。11两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（在一个面中找另一个面的一条垂线：在一面内作两面交线的垂线，即为所求）；（见例题3（2）定义法：找一个平面与这两个平面都垂直相交，证明两交线交角为直角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 如（1）已知直线平面，直线平面，给出下列四个命题：；。其中正确的命题是_（答：）；（2）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：若则；若，则；若，则或；若则。其中正确的命题是_（答：）12棱柱：（1）棱柱的分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。13平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体：平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；14棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_（答：18）15正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。（2）性质：正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。16棱台：一个棱锥被平行于底面的平面截去小锥以后所剩留部分的几何体，叫做棱台正棱台： 由正棱锥截得的棱台叫正棱台17、直棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积（各个侧面面积之和）：（1）直棱柱：直棱柱的侧面积底面周长侧棱长.（2）正棱锥：正棱锥的侧面积底面周长斜高。（3）正棱台：正棱台的侧面积（上底面周长+下底面周长）斜高.18、柱、锥、台、球的体积：（1）柱体：体积底面积高，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长。（2）锥体：体积底面积高。（见例题1（2）和小题3）20、球的体积和表面积公式：V。三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积。（答：表面积，体积）；（3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；（找一面过该点且与已知平面垂直，在所找到的面内过该点作两面交线的垂线，垂线段的长即为所求）；体积法：不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解（注意找三棱锥、换底）等价转移法。必要时可通过平行线（面）转化为另外一点与面的距离例题分析： 1 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F. （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；2.(2010安徽高考19题)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；3 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE/平面FCC；（2） 证明:平面D1AC平面BB1C1C.4. (2010新课标18题)如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。 5（2011韶关模拟18题）A1B1C1D1ABCDE如图,长方体中，,是的中点.(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积.6.(2011佛山模拟19题)如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，分别是棱，上的动点，且，.图（）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；（）当时，求几何体的体积 7在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥与四棱锥的体积之比.8. 如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60（）证明：；（）证明：.9（2011年高考福建卷文科20)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB。（1） 求证：CE平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积小题：1、（2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第14题） 设、为两条直线，、为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是 （）A. 若、与所成的角相等，则； B. 若；C. 若，则； D. 若，则.答案：B2、（上海市2009届高三年级十四校联考数学理科卷14）已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）A若B若C若D若答案：D 3、已知，则在内过点的所有直线中 （ ）A不一定存在与平行的直线 B只有两条与平行的直线C存在无数条与平行的直线 D存在唯一一条与平行的直线4、（2007陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案C5、（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）如图，在矩形中，是的中点，沿将折起，使二面角为，则四棱锥的体积是（ ）A、 B、 C、 D、答案 A6、（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【答案】1、(2)PBEF、PBED作辅助线BC中点G，连接EG,勾股定理2、3、（1）作A1B1的中点F1，成四边形CC1F1F与AA1D1D平行4、(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. .6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADB=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. .9分 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= .12分5、【答案】()证明：在长方体中, ，又 平面，平面 直线平面 4分()证明：在长方形中,故, 6分在长方形中有平面,平面, , 7分又,直线平面, 8分而平面,所以平面平面. 10分() .14分6、解：（）在直四棱柱中， -2分又平面平面，平面平面，平面平面，四边形为平行四边形，-4分侧棱底面，又平面内，四边形为矩形； -6分（）证明：连结，四棱柱为直四棱柱，侧棱底面，又平面内， -8分在中，则； -9分在中，则； -10分在直角梯形中，；，即，又，平面； -12分由（）可知，四边形为矩形，且， 矩形的面积为，几何体的体积为-14分
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