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第七章 平面向量第一单元 平面向量的基本概念与基本定理【考纲要求】1 平面向量的概念是B级要求；2理解平面向量的实际背景及基本概念，通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示【知识回顾】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用，来表示；用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作|，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。【方法回顾】例1给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。例2如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。例3设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=46.平面向量的概念【基础训练】1下列正确命题的序号为 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； 若四边形ABCD是平行四边形，则=； 若，则； 若与是共线向量，则四点共线； 2. 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：= = = 3. 给出下列3个向量等式，其中正确的个数为 个.（1） （2） （3）4. 若向量、满足条件，则的最大值是 ；最小值是 5. 设非零向量、不共线，=k+，=+k (kR)，若，试求的值【例题分析】例1. 如图：已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=，试用、分别表示、例2.下列四个命题，其中正确的个数有 个.对于实数m和向量对于实数m, n 和向量若若例3. 在ABC中，求证：【拓展提升】例4. 等腰RtABC中，C=90，M为AB的中点，设，试用、表示、例5.一架飞机从地按北偏西300的方向飞行300km后到达地，然后向地飞行已知地在地北偏东600的方向处，且两地相距300km，求飞机从地向地飞行的方向及两地的距离（要求画出向量图形）47.平面向量的基本定理【基础训练】1已知=（3，），=（，1），则= + 2平面向量中，已知，为单位向量，且，则 BCADE3已知向量不共线，要使能成为平面内所有向量的基底，则实数的取值范围是_4如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，其中， ，若，则 ， 5三定点；两动点D、E满足，则动直线DE斜率的变化范围为_ 【例题分析】例1平面内给定三个向量=（3，2），=（，2），=（4，1）（1）若(+k)(2)，求实数k；（2）设=满足()(+)且|=1，求例2设过的重心的直线与、分别交于P，Q两点，设，求证：例3已知向量的对应关系用表示（1）设，求向量的坐标；（2）若为常数），求向量的坐标；（3）证明：对任意向量及常数m、n，恒有成立【拓展提升】例4.在的边上分别取点使,设线段和分别交于点记用表示向量.第二单元 平面向量的运算【考纲要求】1.向量的线性运算：通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义2.平面向量的基本定理及坐标表示：了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件3. 平面向量的数量积：通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。4向量的应用：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。【知识回顾】向量的线性运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法规定：；向量加法满足交换律与结合律（2）向量的减法：相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作,零向量的相反向量仍是零向量。向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。（3）实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作；数乘向量满足交换律、结合律与分配律2两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。3平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使。其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底4平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。规定：相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：若，则；若，则；若，则；若，则。5.向量的数量积（1）两个非零向量的夹角：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角。说明：当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围。（2）数量积的概念：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积。规定；（3）向量数量积的性质：向量的模与平方的关系：；乘法公式成立；平面向量数量积的运算律：交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。向量的夹角：cos=。两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作两个非零向量垂直的充要条件：O，平面向量数量积的性质平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 【方法回顾】例1判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。例2.已知中，,边上的高为，求。例3已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。（1） 求关于的表达式;（2） 求的值域。48.平面向量的线性运算【基础训练】1对于非零向量“”是“”的 条件2若O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足=+，则P点轨迹一定通过ABC的 心 3设D、P为ABC所在平面上两点，且满足，则PAD与ABC的面积比为 4已知等差数列的 的前项和为，若平面上的三个不共线的向量，满足，且三点共线，则= 【例题分析】例1化简下列各式（1）= ；（2）= ；（3）若，则= 例2设两个向量、不是共线向量（1） 如果=+，=2+8，=3()，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数的值，使+和+是两个共线向量例3如图,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,的取值范围是 ；当时,的取值范围是 . AOMPB【拓展提升】例4.在直角坐标平面中，已知点其中是正整数，对平面上任一点,记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.(1) 求向量的坐标；(2) 当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是周期为3的周期函数，且当时，求以曲线为图象的函数在上的解析式；(3) 对任意偶数，用表示向量的坐标. 49.平面向量的数量积【基础训练】1下列命题中正确的是 设向量，不共线，若，则； ； ，则； 若，则2（1）设向量的夹角为，|=3，|=，则|= ； （2）已知|=1，=（3，4），则|的取值范围是 3已知、都是非零向量，且+3与7垂直，与7垂直，则 与的夹角为 OAMNBCD4已知=(，1)，=(，)，（），若与的夹角为钝角，则的取值范围是_ 5如图，是半圆的直径，是弧三等分点，是线段AB的三等分点，若，则的值是 【例题分析】例1已知=（1，2），=（，n）（n0）， 与的夹角为45（1）求及|；（2）若与同向，且与垂直，求例2已知ABC内接于以O为圆心、1为半径的圆，且3+ 4+5=（1）求，；（2）求ABC的面积；（3）求的大小例3如图，在等边ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问CBA的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值【拓展提升】图4例4.(2009广东江门模拟）已知点和单位圆上半部分上的动点若，求向量；求的最大值50.平面向量的综合应用【基础训练】1已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 2已知O为坐标原点, 集合且 3已知= ( 2，0)， = ( 2，2 )，=，则与的夹角取值范围为 4设中，且，则的形状为 5给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动,若其中，则的最大是 【例题分析】例1已知向量= (cos，sin)，= (cos，sin)，且x0， （1）求及|； （2）若f(x)= 2|的最小值是，求的值例2已知=(，)，=，实数和使得=+()，+满足，若对恒成立，试求m的最大值例3已知平面直角坐标系中O是坐标原点，圆是的外接圆，过点（2，6）的直线被圆所截得的弦长为（1）求圆的方程及直线的方程；（2）设圆的方程，过圆上任意一点作圆的两条切线，切点为，求的最大值【拓展提升】例4.已知向量，设函数.()求函数的最大值；()在锐角三角形中，角、的对边分别为、， 且的面积为，,求的值.51.本章回顾【基础训练】1已知，若，则和的夹角的大小为 2已知平面向量若，则 3设非零向量、满足，则 4已知，向量与垂直，则实数的值为 5已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 6设是椭圆上任意一点，和分别是椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为 【例题分析】例1设已知，其中(1)若，且，求的值；(2)若，求的值例2 在，已知，求角A，B，C的大小.例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1）若/，求证：ABC为等腰三角形； （2）若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .【拓展提升】例4已知、分别为的三边、所对的角，向量，且.（）求角的大小；（）若，成等差数列，且，求边的长.
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