高考递推数列分类.doc

高考递推数列分类类型1：渗透三角函数周期性数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1（2008年湖南卷，18，满分12分）数列an满足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求数列an的通项公式；例2（2009年江西，文，21，满分12分）数列an的通项，其前n项和为（1）求sn；（2）令，求数列bn的前n项和Tn例3（2009年江西，理8，5分）数列an的通项，其前n项和为sn，则sn为（ ）A470B490C495D510类型2：an+1=an+f(n)例4（2008，江西，理5）在数列an中，a1=2,an+1=an+ln,则an=例5（2009，全国I，理22）在数列an中，a1=1,an+1=（1）设，求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和。类型3：an+1=f(n)an解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解例6（2004，全国I，理15）已知数列an，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项an=_类型4：an+1=pan+q（其中p、q均为常数，且pq(p1)0）解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1t=p(ant)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）设数列an满足a1 =a,an +1=c an +1c,nN*，其中a、c为实数，且c0求数列an的通项公式；类型4的变式：an+1=pan+f(n)解法思路：通过构造新数列bn，消去f(n)带来的差异，例如下面的类型5 ：an+1=pan+qn（其中p、q均为常数，pq(p1)(q1)0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数）解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列bn（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列例8（2006，全国I，理22，12分）设数列an的前n项的和求首项a1与通项an。例9（2009，全国II，理19）设数列an的前n项的和（1）设，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式。类型6：（其中p，q均为常熟）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为，其中s, t满足解法二（特征根法）：对于由递推公式,=,=给出的数列an，方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列an的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。例10（2006，福建，文22）已知数列an满足=1,=3，（）。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足（），证明bn是等差数列类型7 递推公式为Sn与的关系式（或Sn）解法思路：这种类型一般利用=或=消去进行求解。例11.（2009，湖北，理，19）已知数列an的前项和Sn= -+2（为正整数），令=，求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式例12 （2008，全国II，理，20）设数列an的前n项和为Sn，已知=,=Sn+（）,（）设=-，求数列bn的通项公式；（）若（），求的取值范围。类型8 an+1=pan+an+b(p1,a0)解法思路：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列， 即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比p为的等比数列。例13.（2006山东，文，22）已知数列an中，=，点在直线上，其中（）令，求证数列bn是等比数列；（）求数列an的通项。类型9 （p0, 0）解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例14（2005，江西，理，21）已知数列an的各项都是正数，且满足：求数列的an通项公式例15（2006，山东，理，22）已知，点在函数的图像上，其中证明数列是等比数列类型10 解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分）已知数列满足： 求数列的通项公式；类型11 解法思路：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且phqr,r0, ），那么，可作特征方程，当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列；当特征议程有两价目相异的根x1、x2时，则是等比数列。例19(2009年,江西,理,22)各项均为正数的数列,且对满足的正整数都有m,n,p,q都有(1)当时,求通项；(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数,使得对于每个正整数n,都有类型12 数列中的数学归纳法数学归纳法是数学证明中的常用方法，适用于猜想证明和数列不等式的证明，在直接求解或者利用放缩法证明存在困难时，常可使用数学归纳法进行证明。例21（2008，天津，理，22）在数列中，数列的前n项和Sn满足为的等比中项，（）求的值；（）求数列的通项公式；数列经典综合题等差数列与等比数列综合题例1 等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）求3，求 例2 在正项数列中,令.（）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；（）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；例3 已知是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由.例4 已知数列an的首项（a是常数），（）（）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件例5 设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，.()求数列an的通项公式；()若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式；()设cn=n(3-bn)，求数列cn的前n项和Tn.例6 已知数列中，且对时有（）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）记，求数列的前n项和例7 设数列满足且（）求的值，使得数列为等比数列；（）求数列和的通项公式；（）令数列和的前项和分别为和，求极限的值例8 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，例9 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 例10 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。（4） 点列综合题例11 设曲线上的点为过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，Pn，Qn+1，已知，设（1）求出过点P0的切线方程；（2）设求的表达式；（3）设求例12 已知点满足：，且已知 （1）求过点的直线的方程； （2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；（3）求点的极限位置。例13 如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .() 写出；()求出点的横坐标关于的表达式；()设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.例14 ABC中，|AB|=|AC|=1，P1为AB边上的一点，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4 （1）令BPn为xn，寻求BPn与（即）之间的关系。 （2）点列是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由； （3）若，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。例15 已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.例16 数轴上有一列点P1，P2，P3，Pn，已知当时，点Pn是把线段Pn 1 Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，Pn Pn + 1的长度分别为a1，a2，a3，an，其中a1 = 1（1）写出a2，a3和an（，）的表达式；（2）证明a1 + a2 + a3 +an 2，），在这些点中是否存在两个点同时在函数的图像上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由例17 在直角坐标系中，有一点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，Pn(an，bn)，对每一个正整数n，点Pn在给定的函数ylog3(2x)的图像上.而在递增数列an中，an与an+1是关于x的方程4x28nx4n210（nN*）的两个根（）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（）记cn3，nN*.证明3；例18 已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、Bn(n,yn)（nN）顺次为一次函数图像上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、An(xn,0)（nN）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0a1），对于任意nN，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。求数列yn的通项公式，并证明yn是等差数列；证明xn+2-xn为常数，并求出数列xn的通项公式；在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。三、数列与向量交汇的综合题例19 =, =,（1）求证：为等差数列； (2) 若,问是否存在, 对于任意（），不等式成立.例20 在直角坐标平面中，已知点，其中n是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，An为An1关于点Pn的对称点. （1）求向量的坐标； （2）对任意偶数n，用n表示向量的坐标.四、数列与函数交汇的综合题例22 已知函数（）。（）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；（II）在数列中，（），求数列的通项公式。例23 二次函数 （1）求并求的解析式； （2）若求数列并求 （3）若求符合最小自然数n例24 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为求证：点的纵坐标是定值；若数列的通项公式为，求数列的前m项的和例25 设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1fn(x)，an =（nN*）.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若，Qn=（nN*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.例26 已知函数，数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。 （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。例27 函数的定义域为R，且 （）求证：； （）若上的最小值为，试求f(x)的解析式； （）在（）的条件下记试比较与 的大小并证明你的结论例28 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且 （1）若k=1，求数列的通项公式； （2）项m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求来源:学&科&网例29 已知函数，为函数的导函数（）若数列满足：，（），求数列的通项；（）若数列满足：，（）.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；.当时， 求证：例30 已知,其中,设,.(I) 写出;(II) 证明:对任意的,恒有.五、数列与不等式交汇的综合题例31 已知数列满足.(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;(2)若,求证：对任意都成立；(3)若,求证：对任意都成立.例32 设数列的前项和为，。（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；（2）设数列的前n项和为，求证：；（3）是否存在自然数n,使得？若存在，求出n例33 已知数列中，当时，其前项和满足，（1） 求的表达式及的值；（2） 求数列的通项公式；（3） 设，求证：当且时，。例34 已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；(3) 求证：，（）例35 数列：满足() 设，求证是等比数列；() 求数列的通项公式; （）设,数列的前项和为,求证: 例36 给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差例37 已知数列an满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若数列是等比数列. （）求数列an的通项公式； （）求证：当k为奇数时，； （）求证：例 38 如图，把正分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等设点A为第一行，BC为第n行，记点A上的数为，第i行中第j个数为若（1）求；（2）试求第n行中第m个数的表达式（用n、m表示）；（3）记，求证：例39 已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，.（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围.例40 已知正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。（）求数列的通项公式；（）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围。例41 已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论例42 已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.例43 已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；（3）记，数列的前项和为，求证：.例44 已知数列,（）求数列的通项公式（）当时,求证:（）若函数满足： 求证：例45 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式； （2）设bn=2nf(n)，Sn为bn的前n项和，求Sn； （3）记，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围.例46 (2009陕西卷理) 已知数列满足， .猜想数列的单调性，并证明你的结论；（)证明：。 例47 已知函数（I）求（II）已知数列满足,求数列的通项公式;() 求证:.例48 过点P（1，0）作曲线的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，。依此下去，得到一系列点M1，M2，Mn，设它们的横坐标a1，a2，an，构成数列为。 （1）求证数列是等比数列，并求其通项公式； （2）求证：； （3）当的前n项和Sn。例49 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。例50 已知数集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，() 求第n个集合中最小数an的表达式； （）求第n个集合中各数之和Sn的表达式； （）令f(n)= ，求证：2例51 首项为正数的数列满足 （I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围.例52 各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项 （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有例53 设 . 记，. 证明：.例54 已知数列满足，满足 ，证明： 。证明：记 ，则 。例55 设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：六、数列与概率统计交汇的综合题例56 为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视情况，得到频率分布直方图,如图4，.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项（）求等比数列的通项公式;（）求等差数列的通项公式；（）若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小.例57从原点出发的某质点M, 按向量=(0,1)移动的概率为,按向量=(0,2)移动的概率为,设可达到点(0,n)的概率为Pn,求： (1).求P1和P2的值. (2).求证:Pn+2=Pn+Pn+1. (3).求Pn的表达式. 七、分段数列综合题例58 数列an的首项a11，且对任意nN，an与an1恰为方程x2bnx2n0的两个根.()求数列an和数列bn的通项公式；()求数列bn的前n项和Sn.例59 数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.例60 数列 ()求并求数列的通项公式；()设证明：当例61 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈（）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项； 八、信息迁移题例62 设同时满足条件：；(是与无关的常数)的无穷数列叫“特界” 数列.（）若数列为等差数列，是其前项和，求；（）判断（）中的数列是否为“特界” 数列，并说明理由.