高中数学等差数列与等比数列的性质及应用.doc

题目 第三章数列等差数列与等比数列的性质及其应用高考要求 (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳 1一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数3等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式4等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=5等差中项公式：A= （有唯一的值）6等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)7等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=8等比中项公式：G= （ab0，有两个值）9等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列10等差数列an中，若m+n=p+q，则11等比数列an中，若m+n=p+q，则12等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列14两个等比数列an与bn的积、商、倒数的数列anbn、仍为等比数列15等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列16等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (因为其公比为0,对于公比为负的情况不能包括)19an为等差数列，则 (c0)是等比数列20bn（bn0）是等比数列，则logcbn (c0且c1) 是等差数列题型讲解 例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d0)根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),解得 所以例2 设各项均为正数的数列an和bn满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项an,bn 解: 依题意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn为正数, 由得 , 代入并同除以得: , 为等差数列 b1 = 2 , a2 = 3 , , ,当n2时,又a1 = 1,当n = 1时成立, 例3在等比数列an的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q解：an为等比数列 a1an=a2an-1 由a1an=128 ， a1+an=66 且 a1最小得a1=2 ，an=64解得解得n=6,n=6,q=2例4 已知：正项等比数列an满足条件： ； ；求的通项公式解：易知 ，由已知得 ， 得 ，即 ， 得 ，即 ， 即，即 例5在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am, am+2, am+1成等差数列 （）写出这个命题的逆命题；（）判断逆命题是否为真，并给出证明解：（）逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若am, am+2, am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 （）设an的首项为a1，公比为q 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ,2q2q1=0 ,q=1或q=当q=1时，Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，Sm+Sm+12 Sm+2, Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=时,Sm+Sm+1=2 Sm+2 , Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题例6 在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,bn使这n+2个数成等差数列记An = a1a2a3an , Bn = b1+b2+b3+bn 求数列An和Bn的通项;当n7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论解: 1,a1,a2,a3,an , 2成等比数列, a1an = a2an-1 = = akan-k+1 = =12 = 2A2n = (a1an)( a2an-1)(akan-k+1)(an-1a2)(ana1) = 2n 1,b1,b2,b3,bn ,2成等差数列, b1+ bn = 1+2 = 3 ， , , 要比较An与Bn的大小,只需比较A2n与B2n的大小,也即比较当n7时,的大小,当n = 7时, ,当n = 7时, 经验证: n = 8 , n = 9时,均有命题成立猜想当n7时有,用数学归纳法证明： () 当n = 7时, 已验证, 命题成立 () 假设n = k ( k7) 时,命题成立,即又当k7时,有k2 2k + 1, 这就是说,当n = k + 1时, 命题成立 根据() (),可知命题对于都成立 故当n 7时,An Bn 例7 n2( n4)个正数排成n行n列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等已知a24=1,求S=a11 + a22 + a33 + + ann 解: 设数列的公差为d, 数列(i=1,2,3,n)的公比为q则 = a11 + (k-1)d , akk = a11 + (k-1)dqk-1依题意得:,解得:a11 = d = q = 又n2个数都是正数, a11 = d = q = , akk = ,两式相减得:例8 已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和解决本题的关键在于由条件得出递推公式小结：1 等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量: a1,d(或q),n,an,Sn“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法2列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段3解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用学生练习 1数列1,1/3,1/7,1/16,1/31,的一个通项公式为an= 答案：1/(2n1) ;2数列a,b,a,b,的一个通项公式an= 答案：(a+b)+(1)n1(ab) ;3数列an的前n项之和为Sn=3+2n,则其通项公式为an= 答案：;4数列an满足a1=1,an=an1/2+1 (n2),求其通项公式答案：21/2n15数列an中，已知a1=c,an+1=pan+q, (p1),求an的通项公式答案：（略）6数列an满足a1=1/2,a1+a2+an=n2an,求an答案：a1+a2+an=n2an，a1+a2+an1=an1 an/an1=(n1)/(n+1)取n=2,3,4,n代入上式，各式相乘得：an/a1=（注意上述变形方法，一个式子可以变化成无穷多个式子，这就是函数思想）7数列an的前n项之和Sn和第n项an之间满足2lg=lgSn+lg(1an),求an和Sn答案：原式可以变为(Snan+1)2=4Sn(1an)a1=1/2,可以变为(Sn1+1)2=4Sn(1+Sn1Sn)(Sn1+1)24Sn(Sn1+1)+4Sn2=(Sn1+12Sn)2=0Sn1+1=2SnSn=Sn1/2+1/2, 如果有常数x，使得Sn+x=(Sn1+x)/2,比较原式可得：x/2=1/2x=1, Sn1=(Sn11)/2Sn=(S11) =,从而an=SnSn1=,另解：直接由原式移项配方可得：Sn(1an)2=0Sn=1an, Sn1=1an1两式相减得：an=SnSn1=an1an(适合n=1)an=an1/2,an为等比数列，an=点评：以上两种解题的思路有所不同，第一种方法是从an转向Sn,第二种方法是从Sn转向an8数列an与bn的通项公式分别为an=2n,bn=3n+2,它们的公共项从小到大排成的数列是cn,写出cn的前5项；(2)证明cn是等比数列答案：(1)cn的前5项为8,32,128,512,2048;设am=bp=cn,则cn=2m=3p+2am+1=2m+1=2(3p+2)=3(2p+1)+1, am+1不在cn中，而am+2=2m+2=4(3p+2)=3(4p+2)+2是bn中的项，即cn+1=4cn cn是公比为4的等比数列9如图：一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1),而后它接着按图所示的方向在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么1999秒时，这个粒子所处的位置为 答案：选择粒子到达对角点时的总时间为分析对象设粒子到达第n个正方形的对角点所用的总时间为an,则有an+1=an+(n+1)+1+n=an+2(n+1),a1=2a2=a1+4a3=a2+6a4=a3+8an=an1+2n以上各式相加可得：an=n(n+1),比较an与1999列式：n(n+1)=1999,当n=44时，an=1980,当n=45时，an=20701999,因此粒子走到第44个对角点(44,44)后，在向左走19秒(经过奇数对角点后向下，经过偶数对角点后向左)，即(25,44)本题的解题关键是构造数列，找出数列的递推式10一楼至2楼共n级台阶，上楼梯可以一步上一级台阶，也可以一步上两级台阶，问从一楼上到2楼共有多少种不同的走法？答案：设从一楼到第k级台阶共有ak种走法，则有关系式：a1=1,a2=2, ak+2=ak+1+ak,（这是一个Fibonacci数列）假设存在两个常数p,q，使得ak+2+pak+1=q(ak+1+pak)设bk=ak+1+pak, 便有bk=b1qk1, 即 ak+1+pak=(a2+pa1)qk1 用方程思想，假设有这样的p,q，则有：解得：p=,q=,或p=,q=将上述两组数据分别代入ak+1+pak=(a2+pa1)qk1式，可得：上述两式子相减得：课前后备注