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2010届“六校联考”统一考试理科数学试题 2009.9.4本试卷分第卷（选择题+填空题）和第卷（解答题）两部分第卷1至2页，第卷3至8页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共70分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则 ( )A. B. C. D. 2. 复数（）在复平面上所对应的点在第二象限上，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 3. 命题：“若，则”的逆否命题是 （ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，或，则4. 如左图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是 （ ） A B C D 5. 已知抛物线方程为，过该抛物线焦点且不与轴垂直的直线交抛物线于两点，过点,点分别作垂直于抛物线的准线，分别交准线于两点，那么必是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ） A锐角 B直角 C钝角 D 以上皆有可能6. 记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 （ ）种种种 种7. 设定义在上的函数，若关于的方程有3个不同实数解、，且，则下列说法中正确的是：( )A . B . C . D . 8. 对于任意实数，符号表示不超过的最大整数,例如：，那么 （ ）A B C D 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分请将答案填在答题卷恰当的位置.（一）必做题（913题）9. 设向量,若，则 ； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10. 某社会调查机构就某地居民的月收入0.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 2000 2500 3000 3500 4000月收入(元)频率/组距调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进？一步调查，则在（元）的月收入段应抽出 人11的展开式中，常数项为 ；（用数字作答）12. 将这个自然数任意分成组,每组两个数,现将每组的两个数中任意一个记为,另一个数记为,按右框图所示进行运算(注：框图中每次“输入”为同一组的值，且每组数据不重复输入.)，则输出的最大值为 ; 13. 已知函数的一个零点为，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则 ；的取值范围是 . (二)选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. 已知参数方程，（参数），则该曲线上的点与定点的距离的最小值是 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 15. 如图，是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若， ，且,则 第II卷三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及单调递增区间；（）已知，且，求的值17. （本题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，. （）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望18. （本题满分14分）如右图所示,在直角坐标系中,射线在第一象限,且与轴的正半轴成定角,动点在射线上运动,动点在轴的正半轴上运动,的面积为.（）求线段中点的轨迹的方程;（）是曲线上的动点, 到轴的距离之和为,设为到轴的距离之积.问:是否存在最大的常数,使恒成立?若存在,求出这个的值;若不存在,请说明理由.19. （本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，, 底面, ,为的中点，为的中点.（）证明：直线平面；（）求异面直线与所成角的大小； （）求点到平面的距离.20. （本题满分14分） 已知函数图象上一点处的切线方程为(）求的值；（）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数21. （本题满分14分）已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线 上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，, . 设点的坐标为，.（）试用表示，并证明； （）试证明，且（）；（）当时，求证： （）. .六校联考理科数学参考答案及评分标准一选择题答案: 二填空题答案：（一）必做题（913题）9. 10. 11. 12. 13. ; . (注：第一空2分，第二空3分.)(二)选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. 15. 三解答题16（本题满分12分）解：（） 3分 4分（注：每个公式1分） 所以最小正周期为： 6分由，得 7分函数的单调增区间为 8分（）由，得 9分，或，即或 11分， 12分17. （本题满分12分）（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知 4分（2）可取 5分， ；8分 故的分布列为 10分 答：的数学期望为 12分18. （本题满分14分）解：（1）射线. 1分设（），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则， 3分又因为的面积为，所以； 4分 消去得点的轨迹的方程为：（）.7分（2）设，则， 8分 所以 9分 令则，所以有， 11分则有：当时，所以在上单调递减， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以当时， 13分所以存在最大的常数使恒成立. 14分19. （本题满分14分）方法一（综合法）（1）取中点，连接，又 2分4分（2） 为异面直线与所成的角（或其补角），作连接5分6分, ，7分, 8分所以 与所成角的大小为9分（3）,点和点到平面的距离相等，连接,过点作于点, 10分又 ,线段的长就是点到平面的距离. 11分， 12分，所以点到平面的距离为14分（方法不唯一，可酌情相应给分）方法二(向量法)作于点P,如图,分别以所在直线为轴建立坐标系. , 1分(1)设平面的法向量为,则 2分即 ， 取,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 4分(2)设与所成的角为, 5分 ， 7分 , 即与所成角的大小为. 9分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (3)设点到平面的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得. 13分所以点到平面的距离为 14分20（本题满分14分）解：（），且 2分解得 3分（），令，则，令，得（舍去）在内，当时， 是增函数；当时， 是减函数 5分则方程在内有两个不等实根的充要条件是6分即 8分（），假设结论成立，则有 9分，得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10分由得， 11分即，即令，（)， 12分则0在上增函数， ， 13分式不成立，与假设矛盾 14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21. （本题满分14分）解：（）点的坐标满足方程组，所以, 1分解得： ，故， 2分因为，所以故，故.3分（）由已知，即：， 4分所以因为，所以. 5分下面用数学归纳法证明（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，成立；假设当时，有成立，（）则当时， 6分 所以 7分 所以当时命题也成立，综上所述由，知（）成立.8分(注：此问答题如：只是由图可知，而不作严格证明，得分一律不超过2分)（）当时， ()，9分 所以.10分 因为，所以当时，由（）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以有.12分 又因为， 所以，13分故有： .14分
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