机械工程控制基础.doc

1.1.1 控制论控制：对对象施加某种操作，使其产生所期望的行为。控制三要素：被控对象、控制目标、控制装置人类一切实践活动的目的在于认识世界和改造世界，而客观世界是由大大小小、各式各样的系统所组成的。控制理论是研究各种系统的一般性共同控制规律的科学。对于一个被控系统，控制理论必须回答下列三个基本问题：1.系统能否被控制？可控性有多大？2. 如何克服系统结构的不确定性及干扰带来的影响？3. 如何具体找到和实现满足要求的控制策略？为了回答上述问题，首先要建立系统的数学模型。由于实际系统的复杂性，往往不能从基本的物理、化学和生物学定律直接推导出准确的数学模型，而必须利用系统的输入和输出数据做“反演”，这就形成了系统辨识理论。由于系统的许多状态变量无法直接测量且系统中常有随机噪声的干扰，这就发展了信号滤波理论。又由于许多系统的结构参数无法事先确定且随时间不断变化，这就产生了鲁棒和自适应控制理论。对于具有更大不确定性和复杂性的系统，还需要发展能更好地模仿人类智能的智能控制理论。为了得到具体的控制策略，需要动态全局优化的数学理论和方法，而为了真正实现这种策略，还必须借助于先进的计算手段和各种仪表与执行部件。自动控制经历了从古典控制理论到现代控制理论的转变。古典控制理论主要讨论单输入单输出线性系统，代表性的理论和方法包括Routh-Hurwitz稳定性判据，Nyquist分析、Bode图、Ziegler-Nichols调节律和Wiener滤波等。单复变函数论和平稳过程理论等是古典时期重要的数学工具。现代控制理论诞生的标志包括极大值原理，美国著名数学家Bellman的动态规划和Kalman的递推滤波以及状态空间模型的能控性、能观测性、反馈镇定等代数理论的出现等。近40年来，现代控制理论在工程技术需求和计算机发展的有力推动下得到了蓬勃发展，特别在非线性控制、分布参数控制、随机控制、稳健控制、自适应控制、辨识与滤波、离散事件动态系统等若干主要方向上取得了重要进展。1.1.2 机械工程控制论 机械制造技术发展的一个明显而主要的动向是越来越广泛而紧密地同信息科技交融，越来越广泛地引入控制理论。以机械工程技术为对象的控制论问题。机械工程的自动控制理论。机械工程控制论研究机械工程中广义系统的动力学问题。研究系统及其输入、输出三者之间的动态关系。(1) 系统(广义系统)：按一定的规律联系在一起的元素的集合。系统元素结构(1) 系统的性能不仅与系统的元素有关，而且还与系统的结构有关；（2）系统的内容比组成系统各元素的内容要丰富得多；（3）系统往往具有表现出在时域、频域或复域等域内的动态特性。 系统与外界的交互作用：输入(干扰)输出(响应)动力学问题系统在外界作用（输入或激励、包括外加控制与外界干扰）下，从一定初始状态出发，经历由其内部的固有特性（由系统的结构与参数所决定）所决定的动态历程（输出或响应）。这一过程中，系统及其输入、输出三者之间的动态关系即为系统的动力学问题。机械系统:以实现一定的机械运动、输出一定的机械能，以及承受一定的机械载荷为目的的系统，称为机械系统。对于机械系统，其输入和输出分别称为“激励”和“响应”。1.1.3 机械工程控制主要解决的问题(1) 当系统已定、输人(或激励)已知时，求出系统的输出(或响应)，并通过输出来研究系统本身的有关问题，即系统分析。(2) 当系统已定时，确定输入，且所确定的输入应使得输出尽可能符合给定的最佳要求，即最优控制问题。(3) 当输入已知时，确定系统，且所确定的系统应使得输出尽可能符合给定的最佳要求，即最优设计问题。(4) 当输出已知时，确定系统，以识别输入或输中的有关主信息，即滤波与预测问题。(5) 当输入与输出均已知时，求出系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，即系统识别或系统辨识问题。本课程主要以经典控制理论研究系统分析问题。1.2 机械工程系统中的信息传递、反馈以及反馈控制的概念控制论的核心内容是：通过信息的传递、加工处理和反馈来进行控制。信息：控制论把能表达一定含义的信号、符号、密码和消息等统称为信息。信息传递：指信息在系统及过程中，以某种关系动态地传递，亦称转换。反馈：系统的输出不断地，直接或间接地、全部或部分地返回，并作用于系统，其实质就是信息的传递与交互。外反馈：在自动控制系统中，为达到某种控制目的而人为加入的反馈，称为外反馈。 内反馈：在系统或过程中存在的各种自然形成的反馈，称为内反馈。它是系统内部各个元素之间相互耦合的结果。内反馈是造成机械系统存在一定的动态特性的根本原因，纷繁复杂的内反馈的存在使得机械系统变得异常复杂。自动控制：在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称为控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（通称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控量）自动地按照预定的规律运行。扰动 扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。 反馈控制 反馈控制是这样一种控制过程，它能够在存在扰动的情况下，力图减小系统的输出量与参考输入量（也称参据量）（或者任意变化的希望的状态）之间的偏差，而且其工作正是基于这一偏差基础之上的。在这里，反馈控制仅仅是对无法预计的扰动（既那些预先无法知道的扰动）而设计的，因为对于可以预计的或是已知的扰动来说，总是可以在系统加以校正的，因而对于他们的测量是完全不必要的。反馈控制系统 反馈控制系统是一种能对输出量与参考输入量进行比较，并力图保持两者之间的既定关系的系统，它利用输出量与输入量的偏差来进行控制。 图 21 热力系统的人工反馈在这里人起了控制器的作用，他希望使热水温度保持在给定温度上，为了测量热水的实际温度，在热水的输出管道内安装了一支温度计，温度计测得的温度就是系统的输出量。操纵者始终监视着温度计，当发现温度高于希望值时，就减少输送到系统中的蒸汽量，以降低其温度；当发现温度低于希望的温度时，操纵者就反向操纵蒸汽阀门，使进入系统的蒸汽量增大，以提高这一温度。图 22 热力系统的自动反馈控制大脑手调压器恒温箱眼睛实际温度期望温度温度计图 23 人工控制恒温箱系统功能框图加热电阻丝220V调压器热电偶给定信号比较电压放大器功率放大器执行电动机减速器u2u1+Du图 24恒温箱自动控制系统恒温箱自动控制系统工作原理：(1) 恒温箱实际温度由热电偶转换为对应的电压u2(2) 恒温箱期望温度由电压u1给定，并与实际温度u2比较得到温度偏差信号Duu1-u2(3) 温度偏差信号经电压、功率放大后，用以驱动执行电动机，并通过传动机构拖动调压器动触 头。当温度偏高时，动触头向减小电流的方向运动，反之加大电流，直到温度达到给定值为 止，此时，偏差u0，电机停止转动。给定信号电压功率放大器控制电机减速器调压器恒温箱(控制对象)热电偶u1u2Duuanvu温度t(被控量)扰动图 25 恒温箱自动控制系统功能框反馈控制系统的基本组成反馈控制系统是由各种结构不同的系统部件组成的。从完成“自动控制”这一职能看，一个控制系统必然包含被控对象和控制装置两个部分。控制装置由具有一定职能的各种基本元件组成的。在不同系统中，结构完全不同的元部件都可以具有相同的职能。组成系统的元部件按职能分类主要有以下几种。测量元件：其职能是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般再转换为电量。例如：测速发电机是用于检测电动机轴的速度并转换为电压；湿敏传感器是利用“湿-电”效应来检测湿度，并将其转换成电信号；电位器、旋转变压器、自整角机等是用于检测角度并转换为电压；热电偶是用于检测温度并转换为电压等。给定元件：其职能是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参据量）。比较元件：把测量元件检测的被控量实际值与给定元件给出的参据量进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。执行元件：直接推动被控对象，使其被控量发生变化。用来作为执行元件的有阀、电动机、液压马达等。校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，以改善系统性能。最简单的校正元件是由电阻、电容组成的无源或有源网络，复杂的则用电子计算机。图 26 反馈控制系统基本组成这是一个典型的反馈控制系统基本组成，图中用“”号代表比较元件，它将测量元件检测到的被控量与参据量进行比较，“”号代表两者符号相反，即负反馈；“+”号代表两者符号相同，即正反馈。信号沿箭头方向从输入端到达输出端的传输通路称前向通路；系统输出量经测量元件反馈到输入端的传输通路称主反馈通路。前向通路与主反馈通路共同构成主回路。此外，还有局部反馈通路以及由它构成的内回路。包含一个主反馈通路的系统称单回路系统；有两个或两个以上反馈通路的系统称多回路系统。（扰动）：一般，加到反馈控制系统上的外作用有两种类型，一种是有用输入，一种是扰动。有用输入决定系统被控量的变化规律，例如，参据量；而扰动是系统不希望有的外作用，它破坏有用输入对系统的控制。在实际系统中，扰动总是不可避免的，它可能作用于系统中的任何元部件上，可能同时受到几种扰动作用。电源电压波动，环境湿度、压力以及负载的变化。1.3 系统的分类及对控制系统的基本要求1.3.1 实际的控制系统根据有无反馈作用可分为三类：闭环控制和开环控制、半闭环控制系统1.3.1.1 闭环控制凡是系统输出信号对控制作用有直接影响的系统，都称为闭环系统。输入信号和反馈信号（反馈信号可以是输出信号本身，也可以是输出信号的函数或导数）之差，称为误差信号，误差信号加到控制器上，以减小系统的误差，并使系统的输出量趋于所希望的值。换句话说，“闭环”这个术语的涵义，就是应用反馈作用来减小系统的误差。图 27闭环控制系统的组成特点：输出端和输入端之间存在反馈回路，输出量对控制过程有直接影响。 闭环的作用：应用反馈，减少偏差。优点：精度高，对外部扰动和系统参数变化不敏感。缺点：存在稳定、振荡、超调等问题，系统性能分析和设计麻烦。 1.3.1.2 开环控制如果系统的输出量与输入量间不存在反馈的通道，这种控制方式称为开环控制系统。在开环控制系统中，不需要对输出量进行测量，也不需要将输出量反馈到系统输入端与输入量进行比较。 洗衣机就是开环控制系统的例子。浸湿、洗涤和漂清过程，在洗衣机中是依次进行的，在洗涤过程中，无需对其输出信号，即衣服的清洁程度进行测量。在任何开环控制中，系统的输出量都不被用来与参考输入进行比较，因此，对应于每一个参考输入量，便有一个相应的固定工作状态与之对应，这样，系统的精度便决定于校准的精度（为了满足实际应用的需要，开环控制系统必须精确地予以校准，并且在工作工程中保持这种校准值不发生变化）。当出现扰动时，开环控制系统就不能实现既定任务了，如果输入量与输出量之间的关系已知，并且不存在内扰与外扰，则可以采用开环控制。沿时间坐标轴单向运行的任何系统，都是开环系统。例如：采用时基信号的交通管制，就是开环控制的另一个例子。输入装置指令系统输入控制装置伺服驱动装置工作台工作台 位置系统输出图 28数控机床的开环控制系统框图图 29开环控制系统框图特点：系统仅受输入量和扰动量控制；输出端和输入端之间不存在反馈回路；输出量在整个控制过程中对系统的控制不产生 任何影响。 优点：简单、稳定、可靠。若组成系统的元件特性和参数值比较稳定，且外界干扰较小，开环控制能够保持一定的精度。缺点：精度通常较低、无自动纠偏能力。1.3.1.3 半闭环控制系统特点：反馈信号通过系统内部的中间信号获得。1.3.2 输出变化规律分类1.3.2.1 恒值控制系统系统输入量为恒定值。控制任务是保证在任何扰动作用下系统的输出量为恒值。如：恒温箱控制、电网电压、频率控制等。1.3.2.2 程序控制系统输入量的变化规律预先确知，输入装置根据输入的变化规律，发出控制指令，使被控对象按照指令程序的要求而运动。如数控加工系统。1.3.2.3 随动系统输入量的变化规律不能预先确知，其控制要求是输出量迅速、平稳地跟随输入量的变化，并能排除各种干扰因素的影响，准确地复现输入信号的变化规律。如火炮自动瞄准系统等。1.3.3 按系统中传递信号的性质分类1.3.3.1 连续控制系统系统中各部分传递的信号为随时间连续变化的信号。连续控制系统通常采用微分方程描述。1.3.3.2 离散（数字）控制系统系统中某一处或多处的信号为脉冲序列或数字量传递的系统。离散控制系统通常采用差分方程描述线性系统和非线性系统1.3.3.3 线性系统由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和均匀性性质，以线性微分方程来表述。1.3.3.4 非线性系统系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均匀性性质。用非线性微分方程来表述。1.3.4 对自动控制系统的基本要求对自动控制系统性能的基本要求可以归结为稳定性（长期稳定性）、准确性（精度）和快速性（相对稳定性）。l稳定性：对恒值系统要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。对随动系统，被控制量始终跟踪参据量的变化。稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。稳定性，通常由系统的结构决定与外界因素无关。l 快速性：对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。准确性：用稳态误差来表示。如果在参考书如信号作用下，当系统达到稳态后，其稳态输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。由于被控对象具体情况的不同，各种系统对上述三方面性能要求的侧重点也有所不同。例如随动系统对快速性和稳态精度的要求较高，而恒值系统一般侧重于稳定性能和抗扰动的能力。在同一个系统中，上述三方面的性能要求通常是相互制约的。例如为了提高系统的动态响应的快速性和稳态精度，就需要增大系统的放大能力，而放大能力的增强，必然促使系统动态性能变差，甚至会使系统变为不稳定。反之，若强调系统动态过程平稳性的要求，系统的放大倍数就应较小，从而导致系统稳态精度的降低和动态过程的缓慢。由此可见，系统动态响应的快速性、高精度与动态稳定性之间是一对矛盾。2 拉普拉斯变换的数学方法2.1 复数2.1.1 复数的定义形如的数称为复数。其中R表示实数的集合，(或)，x,y分别 称为z的实部和虚部，记作x=Re z, y=Im z共轭复数2.1.2 复数的四则运算设 ，复数的四则运算规则如下：，,上式的结果可以从两个角度来理解：(1) 利用实数的四则运算规则和即可得到这些结果。(2) 将以上结果当作运算的定义，则可以验证在这样的定义下，实数的四则运算规则如交换律、结合律、分配律等均对复数成立，且。2.1.3 复数的各种表示法r(1) 代数表示。即以上(2) 几何表示。几何表示实际上有两种，一是用xy平面上的点P来表示复数z，P的横坐标为x，纵坐标为y,这样复数与平面上的点是一一对应的，所以应该xy平面称为复平面；一是用矢量来表示复数(3) 三角表示。利用点P的极坐标，以及关系 (4) 指数表示.定义 模和辐角指数表示下的乘法和除法2.1.4 复变函数复变函数就是以自变量s为复数的函数，其函数值当然通常也是和复数。在线性控制系统中，通常遇到的复变函数是s的单值函数。零点极点2.1.5 初等单值函数常数幂函数多项式和有理分式指数函数三角函数2.2 拉普拉变换主要内容：1、拉普拉斯变换的定义2、拉普拉斯积分的收敛条件3、求拉普拉斯变换的方法4、拉普拉斯变换的性质在数学中，为了把复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取一种变换手段，例如数量的乘积或商可以通过对数变换变成对数的和或差，然后取反对数，即得原来数量的乘积或商。对数与指数的变换:为求乘积ab可先取对数 ln(ab)= lna+lnb 再取指数运算 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效。2.2.1 拉普拉斯变换定义：设有一时间函数f(t) 0, 或 0t单边函数其中，S=+j 是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。拉普拉斯反变换这是复变函数的积分拉氏变换和拉氏反变换可简记如下F(S)=Lf(t) ； f(t)=L-1F(s)三拉氏变换的收敛域： 例8-1-1 单边指数函数（其中a为复常数）当 0时，结果为有限值即具体的说,即Res- Rea=- Rea 0 有 Rea这时eat(t)的拉氏变换存在。我们称 Rea的s=+j的范围为该函数的拉氏变换的收敛域，一般而言，对一个具体的单边函数f(t)，并非所有的值都能使f(t)et绝对可积，即把能使用f(t)et绝对可积的s的范围称为单边函数f(t)的拉氏变换的收敛域。收敛域可以在s平面上表示出来，如下图。收敛坐标收敛轴s平面0oj收敛域2.2.2 典型时间函数的拉氏变换2.2.2.1 单位阶跃函数 10tf(t)单位阶跃函数2.2.2.2 斜坡函数(单位速度函数)10tf(t)单位速度函数12.2.2.3 单位加速度函数2.2.2.4 指数函数指数函数0tf(t)1（a为常数）（a为常数）2.2.2.5 正弦函数与余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sinwtf(t)=coswt-1由欧拉公式，有： 同理：函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到2.2.3 拉普拉斯变换的基本性质要点：微分定理，积分定理， 时域卷积定理假定以下需进行拉氏变换的函数，其拉氏变换都存在2.2.3.1 线性性质Laf1(t)bf2(t)=aLf1(t)bf2(t)若干个原函数的线性组合的象函数，等于各个原函数的象函数的线性组合。2.2.3.2 微分定理 设 Lf(t)=F(s)，则有证明： 其中 这是可以进行拉氏变换的条件，即f(t)乘上必衰减为零(t)才能绝对可积。于是有=SLf(t)-f(0-) 得证！f(t)的二阶导数的象函数，可重复利用微分定理=S sLf(t)-f(0-)- f/(0-)=S2Lf(t)-Sf(0-)-f/(0-)f(t)的n阶导数的象函数应为记入f(0-)到f(n-1)(0-)共n个原始值当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：例某动态电路的输入输出方程为原始值为r(0-)及r/(0-) ，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t)两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10反变换得 r(t)=L-1R(s)2.2.3.3 积分定理 设 Lf(t)=F(s)，则有 积分上限也应为0- 例根据单位阶跃函数的象函数确定的原函数解：（t）的象函数为 ，（t）的积分为单边倾斜函数，即 而 同理 进而有 ； 反过来有 2.2.3.4 时域位移定理 设 Lf(t)=F(s)，则有 Lf(t-t0)=F(s)此定理表明f(t)推迟t0出现则象函数应乘以一个时延因子2.2.3.5 时域卷积定理设 Lf1(t)=F1(s) Lf2(t)=F2(s)则有 Lf1(t)* f2(t)= F1(s) F2(s)例 图中，电压源为 ，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)解：令激励电压为单位冲激电压 (t)，则初值为+1 u(t)2 i(t)3 R4 L冲激响应电流为 h(t)= 零状态响应电流为卷积积分 i(t)=u(t)* h(t)=u(t)* 图进行拉普拉斯变换 Li(t)=U(s)H(s)=U(s)Lh(t)故 查表，得 2.2.3.6 初值定理 证明：初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。2.2.3.7 终值定理若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即存在。则证：即终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。例：已知Lf1(t)=F1(s) ，求f1()；Lf2(t)=F2(s)，求f2()解：2.2.3.8 周期函数的拉氏变换2.2.3.9 相似定理2.2.3.10 的拉氏变换2.2.3.11 的拉氏变换2.2.4 求解拉氏反变换的部分分式法 部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，p1，p2，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。 2.2.4.1 F(s)只含有不同的实数极点式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数实际常如下计算：例：求的原函数。解：即2.2.4.2 F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则： 式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。注意到：所以2.2.5 应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤(1) 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；(2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；(3) 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程例：设系统微分方程为 若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换： 即：对方程右边进行拉氏变换：从而：所以当初始条件为零时：q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 3 系统的数学模型 基本要求： （1）了解数学模型基本概念，能够运用力学、电学知识列写简单机、电元件及系统的微分方程式。 （2）掌握传递函数的概念、定义、性质及求法，典型环节传递函数及瞬态特性。（3）根据系统方程式绘制系统结构图。掌握串联、并联、反馈连接等效传递函数的求法；结构图等效变换原则，能用结构图简化方法求系统的传递函数。（4）理解控制系统开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数的意义。 重点： （1）建立简单机、电元件及系统的微分方程式、传递函数概念、典型环节传递函数。（2）结构图的绘制，结构图简化。（3）简单机、电系统传递函数求取方法。 元件和系统微分方程式的建立 列写闭环系统微分方程式的目的，是确定输出与输入或扰动量之间的函数关系。列写的一般步骤如下：(1) 分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间的关系，确定输出量及输入量。(2) 设中间变量，依据物理、化学等定律忽略次要因素列写微分方程式。(3) 消去中间变量，由高阶到低阶排列，将输出写在等号左边，输入写在等号右边的微分方程式，即是系统或元件的微分方程式或数学模型。 例 列写图所示RC无源网络的微分方程式 R i(t)ur(t) C uc(t)图 RC无源网络 (1) 确定电路的输入量和输出量。由电路可知，R、C为常量，依据实际工作情况确定ur(t) 为输入电压，uc(t) 为输出电压。 (2) 依据电路工作原理选电流i(t)为中间变量。依据电学定律列写方程式 。 （311） （312） (3) 消去中间变量 i(t) ，其目的是求出与的关系。由 （312） 式可得代入（311）得 （313） 令 TRC 时间常数。输入变量用x(t)表示；输出变量用y(t)表示，则x(t)=ur(t)、y(t) =uc(t),故 (313) 式为 由微分方程式可知，RC无源网络的瞬态数学模型是一阶常系数线性微分方程式。例312 设有一弹簧、质量、阻尼器机械系统，如图312所示，列写以外力f(t)为输入量，位移y(t)为输出量的运动微分方程式 m f(t) f(t) m a y(t) K B fK fB 图312 机械系统 图313 受力图取分离体分析受力如图313所示。依据牛顿定律可得 （314）式中 弹簧力； 阻尼力。弹簧力与物体位移成正比，即 （315）式中 弹簧刚度阻尼力与运动速度成正比，与运动方向相反，即 （316）式中 B 阻尼系数将式（35）和（36）代入（34）中，可得该系统的微分方程式： （317）若令 时间常数；时间常数。则（317）式可写成： （318）式中 （318）式表明弹簧、质量、阻尼器机械系统的瞬态数学模型，它是由二阶常系数微分方程式来描述的。 传递函数 传递函数定义定义：在初始条件为零时，线性系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为线性系统（或元件）的传递函数。传递函数是系统（或元件）数学模型的又一种表达形式，传递函数表示了系统把输入量变换成输出量的传递关系。它只和系统本身结构和参数有关，而与输入信号的形式无关。传递函数是研究线性定常系统的重要工具。系统的传递函数G（s）是复变量s的函数，又可用下式表示。 式中 分子多项式等于零时的根，称为系统的零点； 分母 多项式（或称特征方程式）等于零时的根，称为系统的极点； 系统增益。零、极点的数值完全取决于系数an,an-1a0及bm,bm-1,b0，即取决于系统结构参数。zi , pj可为实数，也可为复数，若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零、极点分布图。图中零点用“ ”表示，极点用“ ”表示。如图（331）所示。即为零、极点分布图也是系统的数学模型。 Im 2 1 -3 -2 -1 0 Re -1 -2 图331 零、极点分部图下面举例说明求取简单环节传递函数的方法。如例312 质量、弹簧、阻尼器机械系统运动微分方程式为初始条件为零时，拉氏变换为传递函数 典型环节的传递函数及其瞬态特性 (1) 比例环节比例环节（放大环节）输出量与输入量的关系为式中 环节的放大系数（常数）传递函数为 若忽略非线性和惯性，电子放大器，齿轮减速器，杠杆等均属于比例环节。(2) 惯性环节 自动控制系统中，经常包含有惯性环节，它具有一个储能元件。惯性环节的特点是，当输入x(t)作阶跃变化时，输出y(t)不能立刻达到稳态值，瞬态输出以指数规律变化。惯性环节的运动方程式为传递函数 式中 环节的时间常数； 环节的比例系数。 (3) 积分环节积分环节的微分方程式为积分环节的传递函数： 式中 时间常数。当输入为单位阶跃信号时，输出为输入对时间的积分，即 输出y(t)随时间呈直线增长， 在控制系统中，积分环节常被用来改善系统的稳定性。(4) 微分环节微分环节的特点是在瞬态过程中输出量为输入量的微分，其微分方程式为传递函数： 实用微分环节单位阶跃输入时，输出的拉氏变换为实用微分环节的单位阶跃响应为 （3319） 瞬态曲线及方框图如图339所示。 y(t) 1 X(s) Y(s) y(t)0 t (a) (b) 图339 实用微分环节在自动控制系统中微分环节常用来改善系统的瞬态性能，减小振荡，增加系统的稳定性。(5) 振荡环节振荡环节的特点，它包含两个独立储能元件并且能量可以相互转换。例如：弹簧、质量机械系统、电路，直流可控电动机等，都是二阶振荡环节。振荡环节微分方程式为 （3320）初始条件为零时的拉氏变换：传递函数： 令 无阻尼振荡角频率； ， 阻尼比 （3321）是振荡环节的两个重要参数。当时在单位阶跃输入作用下，输出的瞬态曲线及方框图如图3310所示。 y(t) 1 y(t) X(s) Y(s) t (a) (b) 图3310 振荡环节 系统结构图 系统结构图，就是将控制系统中所有的环节用方框图表示，并且按照在系统中各环节之间信号传递关系联接起来，便构成系统结构图。 用系统结构描述控制系统，有明显的优点； 可形象、明确地表达系统瞬态过程各环节的数学模型及相互关系。 便于模拟以及求取系统的中间变量。 结构图具有数学性质，可进行代算运算和等效变换是计算系统传递函数的有力工具。(1) 系统结构图绘制步骤1) 列写每个环节的运动微分方程式。2) 由微分方程式求出相应的传递函数。3) 依据传递函数画出相应的方框图。4) 按信号的传递关系将方框图适当地联接起来，便构成系统结构图。 系统传递函数控制系统的传递函数，在工程应用中，一般是利用结构图求取系统的传递函数。控制系统结构图的典型结构如图3511所示。 N(s) 扰动 X(s) E(s) + Y(s) - Xf(s) 图3511 控制系统结构图图中 X(s) 控制输入； N(s) 扰动输入； Y(s) 输出； E(s) 偏差信号； Xf(s) 主反馈信号。(1) 系统闭环传递函数令扰动为零,在初始条件为零时,系统输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，以表示： 式中 前向通道的传递函数。若反馈为单位反馈，即H(s)=1时，系统的闭环传递函数为(2) 系统开环传递函数扰动作用为零时。将主反馈信号在相加点之前断开。断开之后主反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比称为开环传递函数，以Gk(s)表示： 式中 。单位 反馈系统 时， 。开环传递函数是今后用根轨迹法和频率法分析系统的主要数学模型。(3) 误差传递函数扰动作用为零时，以偏差信号作为输出,信号为输入。依据传递函数定义。误差传递函数是稳态误差分析计算的主要数学模型。例 简化图3512（a）所示系统结构图，并求系统传递函数。 X(s) + Y(s) - -(a) X(s) Y(s) (b) X(s) Y(s) (c) 图3512 系统结构图这是一个无交叉多回路结构图，具有并、串联，局部反馈，主反馈系统。首先将并联和局部反馈简化如图（b）所示,再将串联简化如图（c）所示。系统开环传递函数为系统闭环传递函数为误差传递函数为4 系统的瞬态响应与误差分析5 系统的频率特性6 控制系统的计算机仿真与辅助设计