高一平面向量概念及线性运算.doc

年级高一学科数学内容标题平面向量概念及线性运算编稿老师褚哲一、学习目标1. 了解向量产生的物理背景，理解共线向量,相等向量等概念，理解向量的几何表示；2. 掌握向量的加法，减法，数乘的运算，并理解其几何意义；3. 能由数的运算律类比向量的运算律，并结合图形验证相关的运算律，强化对知识的形成过程的认识，并正确表述探究的结果；4. 通过学习向量的线性运算，初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.二、重点、难点重点：1. 向量的概念,，相等向量的概念和向量的几何表示；2. 向量的加法，减法，数乘运算的运算法则及其几何意义.难点：1. 对向量概念的理解；2. 对减法定义的理解及正确运用法则，用运算律进行向量的线性运算，利用向量方法解决几何问题.三、考点分析向量的线性运算是向量的基础部分，考查时主要以选择题、填空题的形式出现，侧重考查向量的基本概念、向量运算的关系；在解答题中侧重考查向量与其他章节的综合，预计高考中向量的内容所占的比重仍较大.一、平面向量的基本概念1. 向量既有大小、又有方向的量叫做向量.注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可.2. 向量的表示（1）用一个小写字母表示向量，如a，b等.（2）用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为，注意起点写在前面、终点写在后面.3. 向量的模向量的大小，称作向量的长度（或称模），记作.注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小.4. 零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.注：0；零向量的方向是任意的.5. 单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.6. 基线通过有向线段的直线，叫做向量的基线.7平行向量如果向量的基线相互平行或重合则称这些向量平行或共线，记作.注：规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有；由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上.8. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作.注：零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；反之不成立.9. 位置向量任给一定点O和向量，过O作有向线段=，则点A相对于点O的位置被向量唯一确定，这时向量叫做点A相对于点O的位置向量.二、向量的运算（一）向量的加法1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2. 三角形法则如图，已知向量a、在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a+，即 a+，此法则称为向量求和的三角形法则规定：a + 0 = 0 + a3. 平行四边形法则以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形，则以A为起点的对角线就是a与b的和.注：向量加法的三角形法则，既适用于两向量不共线，也适用于两向量共线而平行四边形法则只适用于两向量不共线，当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性因此两种法则都应熟练掌握.两个向量的和仍是一个向量.探究：1. 当向量a与b不共线时，的方向与a，b都不相同，且；2. 当向量a与b同向时，a，b都同向，且；3. 当向量a与b反向时，若，则的方向与相同，且；若，则的方向与b相同，且；若，则4. 向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.这种法则叫做向量求和的多边形法则.即5. 向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有，（2）向量加法的交换律和结合律（3）三角形不等式：对于任意两个向量，都有.（二）向量的减法1. 向量减法运算的几何意义如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作，则，即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量. 注：两个向量的差仍是一个向量；要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别；由向量的加、减法，可以得出两个常用的结论：首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和为，即：.平行四边形中，有，2. 相反向量定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作注：a与互为相反向量； （三）向量的数乘运算1. 向量的数乘：实数与向量的积是一个向量，它的长度与方向规定如下：；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反特别地，当时，.2. 向量数乘运算的运算律：设为实数，为向量，则有；（第一分配律）；（第二分配律）；特别地，有；注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量，以及任意实数，恒有.3. 平行向量的基本定理；如果a=b,则ab；反之,如果ab,且b0,则一定存在唯一一个实数,使a=b.单位向量：给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量,叫作向量a的单位向量.（四）轴上向量的坐标运算1. 轴；规定了方向和长度单位的直线叫做轴.如图所示.2. 轴上向量的坐标在轴l上取单位向量e,使e的方向与l相同，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe，x叫做a在l上的坐标.当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数；e叫做轴l的基向量.a叫轴l的轴上向量.小结；实数与轴上的向量建立起一一对应关系，于是可用数值表示向量.3. 轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.4. 轴上向量的坐标公式，数轴上两点间的距离公式公式（1）AB+BC=AC公式（2）AB=x2x1（轴上向量坐标公式）即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标公式（3）|AB|=|x2x1|知识点一：平面向量的基本概念例1. 给出下列命题：两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；若，则；若，则其中所有正确命题的序号为 .思路分析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，与起点、终点的位置无关，故不正确；当时，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故不正确；由，则，且与的方向相同；由，则，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故，是正确的；对于，当时，与不一定平行，故是不正确的.所以正确命题的序号为.解题过程：解题后思考：对向量的相关概念要充分理解.知识点二、向量的线性运算例2. 下列命题：如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与之一的方向相同；在中，必有；若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；若均为非零向量，则与一定相等.其中真命题的个数为（ ）个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3思路分析：假命题，当时，命题不成立.真命题. 假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有.假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为.解题过程：B解题后思考：对于，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.例3. 已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为，则向量等于（ ）A. B. C. D. 思路分析：如图所示，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为，结合图形有：解题过程：B解题后思考：灵活掌握向量加法、减法的三角形法则的应用，相等向量是指长度相等、方向相同的向量，与它的位置没有关系.例4. 在ABC中，ABc，ACb，若点D满足2，则（ ）A. b+c B. cb C. bc D. b+c思路分析：bc，（bc），+c+（bc）b+c解题过程：A解题后思考：向量的线性运算是以三角形为载体的，合理掌握向量加法、减法、数乘运算的几何表示.例5. 一辆汽车从点出发向西行驶了100公里到达点，然后又改变方向向西偏北走了200公里到达点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达点. （1）作出向量，；（2）求.思路分析：解答本题应首先确立指向标，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解.解题过程：（1）如图所示.（2）由题意易知，与方向相反，故与共线.又，在四边形中，且，四边形为平行四边形.故（公里）.解题后思考：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.知识点三、平面向量的共线定理例6. 如图所示，在的边上分别有一点M、N，已知，连结AN，在AN上取一点R，满足.用向量表示向量； 证明：R在线段BM上.思路分析：在三角形中合理运用向量的运算的三角形法则，而且可以把三点共线问题转化为向量共线问题.解题过程：， ， ， 又，. ， R在线段BM上.解题后思考：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.例7. 设两个非零向量a与b不共线，（1）若a+b，2a+8b，3（ab），求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线思路分析：利用向量共线定理可以处理平面中三点共线的问题解题过程：（1）a+b，2a+8b，3（ab），+2a+8b+3（ab）2a+8b+3a3b5（a+b）5.、共线又它们有公共点B，A、B、D三点共线（2）解答：ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b（a+kb），即ka+ba+kb，（k）a（k1）b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.解题后思考：向量的线性运算的结果还是一个向量，本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于的方程，用待定系数法解决问题. 知识点四、轴上向量的坐标运算例8. 选择题：（1）给出下列3个命题：单位向量都相等；单位向量都共线；共线的单位向量必相等其中正确命题的个数是（ ）个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（2）已知ae1+2e2，b3e14e2，且e1、e2共线，则a与b（ ）A. 相等B. 共线C. 不共线D. 不能确定（3）设a是任一向量，e是单位向量，且ae，则下列表示形式中正确的是（ ）A. B. aaeC. aae D. aae思路分析：根据单位向量以及轴上向量坐标运算的定义正确判断有关命题的对与错，主要考查对概念的正确理解.解题过程：（1）A；（2）B；（3）D解题后思考：单位向量与零向量是两个特殊的向量，它们之所以特殊，是因为它们的方向是任意的.平面向量的知识，要注意与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，以便站在新的高度来认识和理解向量.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（ ）A. |a|b|=|ab| B. |a|b|=|a+b|C. |a|+|b|=|ab| D. |a|+|b|=|a+b|2. 设四边形ABCD中，有，则这个四边形是（ ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形二、填空题3. 设为单位向量，若为平面内的某个向量，则=|；若与a0平行，则=|；若与平行且|=1，则=.上述命题中，假命题个数是_.4. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么O点的位置为_.5. 设为未知向量，、为已知向量，满足方程2-（5+3-4）+-3=0，则=_.（用、表示）6. 在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的=_（用a，b，c表示）.三、解答题7. 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：（1），（2），（3）.8. 如图，平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD3CN,设9. 设两个非零向量、不共线，如果（1）求证：三点共线. （2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值.10. 已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：.一、选择题1. C 2. C二、填空题3. 3个4. AD的中点5. 6. 三、解答题7. （1）原式= ；（2）原式= ；（3）原式= .8. 解： 9. 解：（1）证明：因为所以又因为得即又因为公共点所以三点共线； （2）解：因为共线，所以.设，所以 即10. 分析；构造三角形,利用向量的三角形法则证明.证明：如图，连接EB和EC ，由和可得， （1）由和可得， （2）（1）+（2）得， （3）E、F分别为AD和BC的中点，代入（3）式得，点拨；运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.