资源描述
列方程解应用题第1节 、方程解一般应用题1、 粮仓里的大米运走18吨后又运来22.5吨，现在粮仓里一共有大米40.5吨。粮仓里原来有大米多少吨？2、图书室科技书的本数比文艺书的3倍少75本, 科技书有495本。文艺书有多少本？3、列方程，并求出方程的解：一个数的4倍减去3.6与2的差是10。求这个数。一个数的8倍比它的3倍多105，这个数是多少？4、五年级同学做红花，一班做40朵，比二班做的2倍少32朵。二班做多少朵？5、有18米布，正好裁成5件大人衣服和4件儿童衣服。每件大人衣服用布2.4米，每件儿童衣服用布多少米？6、校园里的龙眼树和芒果树共有72棵，龙眼树的棵树是芒果树的2倍。龙眼树和芒果树各有多少棵？7、甲、乙两城相距320千米，一辆摩托车与一辆大客车同时从两城相对开出，2.5小时后两车相遇。摩托车平均每小时行50千米，大客车平均每小时行多少千米？ 第2节 、方程解典型应用题例1、甲、乙、丙三个班共有151人，甲班比乙班多6人，乙班比丙班多5人，三个班各有多少人？【分析与解】一般的和差问题研究两个量之间的关系，而此题牵涉到三个未知量，所以我们采用方程进行解答就比较方便了。设丙班有个人，则乙班有人，从而甲班有人，（未知数的设置：一般设小不设大，目的是尽量避免在方程中出现减法和除法）根据三班总人数为151人，的方程： 例2、两个车间共有工人94人。因工作需要临时从一车间调46人到二车间工作，这时一车间比二车间少12人。原来一车间和二车间各有工人多少？【分析与解】注虽然经过调动之后，一车间与二车间人数都会发生变动，但是要注意的一点就是：两个车间总人数不变，因此可以采用还原的思路进行解答。设现在一车间有人，则二车间现在有，根据总人数不变，即有方程： +=94例3、哥哥与弟弟共同做了96朵纸花，如果哥哥给弟弟8朵，则两人做的花就同样多，哥哥与弟弟原来各做了多少朵？弟弟哥哥82朵8朵8朵【分析与解】要正确解答此题，那么我们就要搞清楚哥哥与弟弟到底相差多少朵？（很多同学想当然说哥哥比弟弟多8朵，对吗？）在此，不妨借用线段图来进行理解“如果哥哥给弟弟8朵，则两人做的花就同样多”通过右图，我们就会得出哥哥实际上比弟弟多出朵，所以设弟弟原有朵，则哥哥原来有+朵，得方程 +=96例4、人民公园运来3种鲜花共1350棵，其中芍药花是月季花的2倍，牡丹花是芍药花的3倍。求运来的三种鲜花各有多少？【分析与解】以月季花作为标准，设为棵，则芍药花为2朵，牡丹花为32朵，得方程 +2+32=1350例5、甲、乙、丙三数之和为146，甲数是丙数的5倍，比乙数少25.求甲、乙、丙各是多少？丙【分析与解】甲如图所示，以丙作为标准，设丙有，25乙则甲为6，乙为6+25，即得方程： +6+6+25=146剪去18米例6、有两根同样长的绸带，第一根剪去18米，第二根剪去4米，剩下的第二根是第一根剩下长度的3倍，求原来两根绸带各有多少米？剪去4米【分析与解】通过线段图展示，我们发现剩下两根绸带相差米，同样根据还原思想抓住现在的3倍关系进行未知数设置，设第一根剩下米，则第二根剩下3米，得方程 3-=18-4巩固练习和倍问题：知道两个数的和以及两个数之间的倍数关系，求这两个数的应用题称之为和倍问题。基础应用:1、甲乙两个人做一批零件共664个，已知甲做的比乙做的多2倍，甲乙各做零件多少个？2、商店运回白糖和红糖共127袋，白糖比红糖的5倍还多7袋，运来白糖、红糖各多少袋？3、甲乙两人共制作1000个零件，甲做140个，乙做200个后，甲剩下的任务是乙剩下任务的2倍。甲乙原来各自应完成多少个零件？提高应用:1、甲乙丙三个数的和是146，甲数是丙数的5倍，比乙数少25.甲乙丙三个数各是多少？2、中国人民解放军在某次战事任务中派出三个作战梯队共450人，第三梯队人数是第一梯队人数的4倍，第二梯队比第一梯队多90人，问：三个梯队各有多少人？3、549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？ 差倍问题指的是知道两个数的差以及二者之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题基础应用：1、某次野外战事演练，蓝方兵团人数比红方兵团多出210人，蓝方兵团的人数是红方兵团人数的3倍，问：两个兵团各有多少人？2、超市运来梨子和苹果，已知梨子的重量比苹果的重量的2倍多95千克，梨子比苹果1455千克，两种水果各运来多少千克？3、音像店有两个柜台，甲柜台的光盘比乙柜台的光盘少120张，如果两个柜台各卖出164张，则剩下的乙柜台是甲柜台的3倍，原来甲乙柜台各有光盘多少张？提高应用：1、两支同样长的铅笔，第一支用去14厘米，第二支用去2厘米，第二支的长度是第一支的3倍，两支铅笔原来长多少厘米？2、学校阅览室有两个书柜，A书柜中的书本是B书柜的3倍，从A借出170本，从B借出10本，这时A、B两个书柜剩下的书正好相等，问：两个书柜原来有书本各多少？3、三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？ 和差问题和差问题是已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题基础应用:1、买一件上衣和一条裤子共用去1000元，一件上衣比一件裤子贵150元，裤子和上衣各多少元钱？2、甲乙两人步行，同时同向出发，经过8分钟，甲比乙多行40米；如果两人由同地背向而行，5分钟后两人相差175米，问:两人的速度各是多少？3、水果店有苹果和香蕉共500前克，如果苹果卖出150千克，香蕉买进50千克，这样，苹果比香蕉还多40千克，问：原来苹果和香蕉各有多少千克？提高应用:1、“辽宁号”航母带编甲乙两个作战分队共94人，因部署需要临时从甲分队调人到乙分队，这时甲分队比乙分队少12人，原来两个分队各有多少人？2、中国人民解放军计划向钓鱼岛派遣三个班共151人，甲班比乙班多6人，乙班比丙班多5人，三个班各有战士多少人？3、四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？第三节、方程应用之年龄问题【知识概述】 解年龄问题，一般要抓住以下三条规律：（1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的；（2）随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；（3）随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。【典型例题】例1、妈妈今年 43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？【分析与解】第一问：解：设年后妈妈的年龄是女儿的3倍，则年后妈妈的年龄为（43+）岁，女儿年龄为（11+）岁，则有方程 （43+）=（11+）3 43+ =113 + 3 43+ =33 + 3 43-33 = 3 - 等号两边有未知数的方程，解法要点：1、 能计算的一定要先计算2、 移项：把未知数与未知数放在同一边，常数（已知数）与常数放在另一边（a） 小的往大的一边移动（b） 一道等号另一边，一定要记得变换符号无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差43-11=32（岁）解：当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄为（43-11）（3-1）=16（岁）16-11=5（岁）说明那时是在5年后。同样道理，由11-（43-11）（5-1）=3（年）答：3年前妈妈年龄是女儿的5倍。解：设当妈妈的年龄是女儿的3倍的时候，女儿的年龄为岁，则那一年妈妈的年龄为3岁，根据年龄差不变，则有方程 3-=43-11例2、今年父亲的年龄是女儿的4倍，3年前父亲和女儿年龄的和是49岁。父亲、女儿今年各是多少岁？设今年女儿的年龄为，则今年父亲的年龄为4；因此3年之后父亲的年龄为（4+3）岁，女儿的年龄为（+3）岁，即得方程： （4+3）+（+3）=49【分析与解】从3年前到今年，父亲、女儿都长了3岁.解：今年父女的年龄之和为49+32=55（岁）55 （4+1）11(岁)11444(岁)例3、陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”问王老师今年多少岁？【分析与解】我们先要明白：如果我比你大a岁，那么“当我像你这么大时”就是在a年前，“当你像我这么大时”就在a年后。这样便可根据题意画出下图：解:从图上可看出，a 13，进一步推算得王老师今年29岁。例4、今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？【分析与解】在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为213（份）。解:由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为:55(3+2)3=33(岁)。答：哥哥今年33岁。例5、哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？【分析与解】由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“45”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“9728”岁。解：由“和差问题”解得，兄（9728）（45）248（岁）妹（9728）（45）2=39（岁）答：哥哥今年48岁，妹妹今年39岁。例6、1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？【分析与解】如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示。解：父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2612（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由1段12岁=2段3岁，推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9436（岁），他出生于1994361958（年）。【我能行】 1. 兄弟二人的年龄之和是25岁，四年后,哥哥比弟弟大5岁, 今年哥哥（ ）岁, 弟弟（ ）岁.2. 今年甲的年龄是乙的年龄的3倍，三年后甲比乙大4岁,今年甲（ ）岁,乙（ ）岁.3. 哥哥与弟弟三年后年龄之和是27岁, 弟弟今年的年龄等于两人的年龄差, 问兄（ ）岁, 弟（ ）岁.4. 小红今年10岁, 她爸爸今年36岁,小红（ ）岁, 爸爸的年龄正好是小红的3倍.5. 小刚今年12岁,妈妈今年40岁,（ ）年后妈妈的年龄正好是小刚的3倍 .6. 父亲今年49岁,儿子今年21岁,（ ）年前父亲的年龄是儿子的5倍 .7. 小明今年14岁, 奶奶今年74岁, 奶奶（ ）岁时,正好是小明的7倍 .8. 奶奶今年66岁, 孙女今年10岁,（ ）年后奶奶的年龄是孙女的5倍 .9.小红、小丽2年前年龄和是23岁, 小红今年的年龄等于两人的年龄差, 今年小红（ ）岁, 小丽（ ）岁 .10.小刚5年前的年龄等于小红5年后的年龄, 小刚今年是小红年龄的3倍, 小刚与小红今年的年龄分别是（ ）岁和（ ）岁 .11 小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁, 小刚5年后的年龄等于小明3前的年龄, 求小刚、小明今年的年龄是多少?【我试试】 1. 父亲比儿子大27岁, 4年后父亲的年龄是儿子的4倍, 那么儿子今年多少岁？2. 现在母女年龄和是48岁, 3年后母亲年龄是女儿年龄的5倍, 那么母女今年各有多少岁？3. 叔叔比红红大19岁, 叔叔的年龄比红红的年龄的3倍多1岁, 叔叔和红红各有多少岁？4. 弟弟今年8岁, 哥哥今年14岁, 当二人年龄之和是50岁时, 弟弟和哥哥各有多少岁？5. 1992年, 妈妈52岁,儿子25岁, 哪一年妈妈的年龄是儿子的4倍？第4节 、方程应用之盈亏问题【知识阐述】以一定人数去平均分一定数量的物品，每个人少分则物品有余，每个人多分则不足，平均分时出现盈（有余）、亏（不足）或尽（刚好分完）几种情况。凡是研究这一类算法的问题都叫做盈亏问题。盈亏问题的基本解题思路：一盈一尽：人数=盈数（初分得的数-再分的数）一亏一尽：人数=亏数（初分得的数-再分的数）一盈一亏：人数=（盈+亏）（初分得的数-再分的数）两次皆亏：人数=（大亏-小亏）（初分得的数-再分的数）两次皆盈：人数=（大盈-小盈）（初分得的数-再分的数）例1、三（3）班数学期中考试数学平均分时91.2分，后来发现小军的成绩是69分，而误算成96分，重新计算后，平均分是90.7分。这个班有学生多少人？ 【分析与解】题目当中人数不知道。分析数量关系式：开始，根据平均数的定义，克制全班总分可以表示为 开始总分=； 后来实际总分= 开始总分 - 后来实际总分=96 - 69综合得 - =96 - 69只有全班人数不知道，故可设全班有人，即得方程 - = 96 - 69例2、某厂计划生产一批零件，如果每小时生产240个，最后可以多生产360个，如果每小时生产185个，最后比计划少生产135个，问：计划生产这批零件多少个？【分析与解】通过审题，发现无论每个小时生产多少个零件，两种情况所用时间是相等的。第一种情况下，计划的个数可以表示为 （个） 第二种情况下，计划的个数可以表示为 （个）有计划个数不变得=故，可设加工时间为小时，则得方程 = （两边有未知数，怎么解？）例3、小华家买来许多苹果和橘子，橘子的个数是苹果的3倍，如果每人分2个苹果，还多1个苹果；如果每个人分8个橘子，还差5个橘子。小华家有多少人？买来苹果和橘子各多少个？【分析与解】此题数量关系比较复杂，在此，我们可以通过表格分析法进行种类人数每人分的个数总数苹果？2个橘子？8个由上表，结合橘子总数为苹果总数的3倍可得： （） 3 = 故可设共有人，则得方程： （） 3 = 小贴士：在用方程处理和差、以及和差倍数问题的时候，可以借助线段图来帮助理解数量关系；而在处理盈亏问题的时候，则可以采用表格分析的形式进行理解。在建立等式的时候，重点抓“相等”、“相差”、倍数关系、以及前后不会发生变化的量。课堂练习1、农民去植树，如果每个人挖5个坑，还有3个坑没有挖，如果其中2人各挖4个坑，其余人各挖6个坑，就恰好挖完所有的坑，农民一共要挖多少个坑？2、某小学六（5）班分成若干组，组织课外活动，若每组4人，则还有5人不能够参与；若每组6人，则少了15人共分多少组，问六（5）共有几人？3、小红拿着一根绳子测量一棵树的树干周长，将绳子3折后，围了一圈多出3分米，将绳子4折后，围一圈差7分米，问：绳长树干周长各是多少？ 4、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强到学校的路程是多少米？5、筐中梨是桃的2倍，今分给幼儿，每个人分5个桃，最后余下15个桃，每个人分14个梨，则梨最后不足30个，问：幼儿、桃、梨各多少？6、旅行者行一段路，如果每小时走5千米，则最后余下8千米，如果每小时行7.5千米，则比路长多12千米。问：旅行者预定的时间和原速度以及路长各是多少？7、铺一段河堤，如果每天铺260米，则最后超出规定的堤长600米，如果每天铺300米，则最后比规定的堤长多出1800米，问：所铺河堤是多长？8、在桥上用绳子测桥高，将绳子对折后垂到水面上余8米，三折后垂到水面余2米，桥高和绳子长各多少？9、 以绳测湖深，2折入湖底，水上余绳1.5米，如果3折入湖底，则绳长还差5米，问：湖水多深？10、某招待所开会，每个房间住3人，则多26人，每个房间住4人，则还多13人，如果每个房间住5人，会是什么情况？11、学生去划船，如果5只船上每船坐3人，其余4人坐一船，则有5人无船可坐，如果有4只船上每船坐6人，其余3人坐一船，则最后空着一只船无人坐，问：共有多少人，船多少只？.第5节 方程应用之鸡兔同笼鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？【知识阐述】“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路。在考虑问题的时候，应该试着发现一些题目中隐含的条件，比如说：鸡和兔各有一个头，但是，鸡有2只脚，兔有4只脚，这样的话，每增加一只鸡，脚的总数就会减少2只，通过这样的考虑，我们就可以使问题简单化。 对于特定问题，可以利用假设的方法来计算，比如将所有的动物假设为兔，然后通过“每只兔脚数-每一只鸡的脚数”这个差额来计算鸡或兔的数量同样地，我们可以这样来处理得失问题（合格产品与不合格产品）、考试问题（做对得失与做错扣分）等等推广的鸡兔同笼问题。鸡兔同笼的变化也是很多的，无论如何，有一个式子始终是成立的： 鸡数兔数总数或者 合格产品数不合格产品数产品总数 做对的题目+做错的题目（有时还要+没有做的题目）题目总数这是我们能够处理这种问题的根本。【典型例题】例1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？【分析与解】 常用方法有两种，方程和算术法解：方法一： 我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是：2442122（只）在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数：1228834（只）答：有兔子34只，鸡54只.方法二：解：设有鸡x只，则兔有88-x只，可得方程：2x4(88x)2442x3524x2442 x108x54885434（只）答：有兔子34只，鸡54只.例2、鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问：鸡、兔各有多少只？【分析与解】 考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加562=28（只）鸡，这样一来，鸡、兔共有107+28=135（只），鸡脚、兔脚一样多，利用和倍问题：解： 兔 135（2+1）=45（只） 鸡 1354528=62（只）答：鸡有62只，兔有45只。例3、甲、乙两人进行数学比赛，规定答对一题，甲得5分，乙得6分，；答错一题，甲扣2分，乙扣3分。两人各算了10道题，共对了15道题，且甲比乙多得19分。问甲、乙各做对几道题？【分析与解】假设甲都答对了，也就是说甲答对了10道题，则乙答对了：15-10=5（道），这样的话，甲比乙多得：510 -（65-35）=35（分），比实际还要多得：35-19=16（分），这就说明，甲答对的比实际多，乙答对的比实际少。所以，需要对甲、乙答对的题数进行调整：乙答对一道题而甲答错一道题，两个人的分数差就会减少：6+3+5+2=16（分）解： 乙答对的题数 5+1616=6（道）甲答对的题数 156=9（道）答：甲做对9道题，乙做对6道题。例4、有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色的或红色的，若有14人穿的是蓝色上衣、白色裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣、黑裤子的学生有多少人？【分析与解】上衣只有两种颜色，裤子也只有两种颜色。解：穿白裤子的人数 5031=19（人）已知有14人穿色上衣、白裤子，所以，穿红色上衣、白色裤子的人：1914=5（人） 已知18个人穿红色上衣，所以，穿红色上衣、黑色裤子的人：185=13（人） 答：穿红色上衣、黑色裤子的人有13人。例5、今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？【分析与解】4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，代入计算即可解：（254-86）（4-3）=14（岁）1998年兄年龄是14-4=10（岁） 父年龄是（25-14）4-4=40（岁）因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 （40-10）（3-1）=15（岁） 这是2003年.答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.【我能行】1 鸡兔同笼，头共20个，足共62只，求鸡与兔各有多少只？ 2小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问，小刚买回这两种邮票个多少张？各付出多少元？3. 在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一题得2分，答错一题要倒扣一分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问，他答错了几题？4. 小东妈妈从单位领回奖金400元，其中有2元、5元、10元人民币共80张，且5元和10元的张数相等，试问，这三种人民币各有多少张？【我试试】1一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？ 2小华买了2元和5元纪念邮票一共34张，用去98元钱。求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少张？3. 东风小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？4.某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个的话不但不给运费还要陪成本7元，运后结算时，运输队共得1350元的运费。问、共损坏了多少只暖瓶？5、 某人要到60千米外的农场去，开始他以每小时5千米的速度步行，后来一辆18千米/时的拖拉机把他送到农场，总共用了5.5小时，问：他步行了多远？6、小兔子采蘑菇，晴天每天采20个，雨天每天采12个，它一共采112个，平均每天采14个，问：这几天有几天是雨天？
展开阅读全文