高一下学期集体备课之三角函数.doc

教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于 轴正半轴 3“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角 或 可以简记成 4由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1 角有正负之分 如：a=210 b=-150 g=-6602 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080）3 还有零角 一条射线，没有旋转三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 390 -330是第象限角 300 -60是第象限角 585 1180是第象限角 -2000是第象限角等四、关于终边相同的角 1观察：390，-330角，它们的终边都与30角的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与 个周角的和 390=30+360 -330=30-360 30=30+0360 1470=30+4360 -1770=30-5360 3所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和4例一 （P5 略）五、小结： 1 角的概念的推广 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2“象限角”与“终边相同的角”六、作业： P7 练习1、2、3、4 习题1.4 1正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（一） 教学目标：1掌握诱导公式及其推演时过程2会应用诱导公式，进行简单的求值或化简教学重点：理解并掌握诱导公式教学难点：运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式教学用具：三角板、圆规、投影仪教学过程：1设置情境我们已经学过了诱导公式一： ， ， ，（ ），有了它就可以把任一角的三角函数求值问题，转化为 间角的三角函数值问题那么能否再把 间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的 间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题2探索研究（1）出示下列投影内容设 ，对于任意一个 到 的角 ，以下四种情形中有且仅有一种成立 首先讨论 ，其次讨论 ， 以及 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定 为任意角（2）学习诱导公式二、三的推导过程已知任意角 的终边与单位圆相交于点 ，请同学们思考回答点 关于 轴、 轴、原点对称的三个点的坐标间的关系点 关于 轴对称点 ，关于 轴对称点 ，关于原点对称点 （可利用演示课件）图1由于 角的终边与单位圆交于 ，则 的终边就是角 终边的反向延长线，角 的终边与单位圆的交点为 ，则 是与 关于 对称的点所以 ，又因单位圆半径 ，由正弦函数、余弦函数定义，可得 于是得到一组公式（公式二） 我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点 ，角 的终边与单位圆相交于点 ，这两个角的终边关于 轴对称，所以 于是又得到一组公式（公式三） 【例1】求下列三角函数值：（1） （2） ； （3） ；（4） 解：（1） （2） （3） （4） 【例2】化简： 解： 原式 （3）推导诱导公式四、五请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导 ， 与 的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到： 由此可得公式四、五 公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式概括如下： ， ， ， 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀【例3】求下列各三角函数：（1） ； （2） 解：（1） （2） 观察以上的解题过程，请同学们总结，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤学生回答后老师总结得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤： 运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化 到 的角为 到 间的角，再求值的过程3演练反馈（投影仪）（1）已知 ，求 的值（2）已知 ，求 的值（3）已知 ，求 的值参考答案：（1）若 为象限角，则 若 为象限角，则 （2） （3） 4本课小结（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）大（角）变小（角）（一直）变到 之间（能查表）（2）变角是有一定技巧的，如 可写成 ，也可以写成 不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“ ”，求未知角“ ”，可把 改写成 课时作业：1已知 ， 是第四象限角，则 的值是（ ）A B C D 2下列公式正确的是（ ）A B C D 3 的成立条件是（ ）A 为不等于 的任意角 B锐角C D ， 且 4在 中，下列各表达式为常数的是（ ）A B C D 5化简（1） （2） 6证明恒等式参考答案：1A； 2D； 3D； 4C； 5（1）0，（2） ；6左 右 下学期 4.5 正弦、余弦的诱导公式46两角和与差的正弦、余弦、正切（第一课时）（一）教具准备直尺、圆规、投影仪（二）教学目标1掌握 公式的推导，并能用赋值法，求出公式 2应用公式 ，求三角函数值（三）教学过程1设置情境上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系本节开始讨论两个角的三角函数，已知任意角 的三角函数值，如何求出 ， 或 的三角函数值，这一节课我们将研究 、 2探索研究（1）公式 、 推导请大家考虑，如果已知 、 ，怎样求出 ？是否成立生：不成立， ， 等式就不成立师：很好，把 写成 是想应用乘法对加法的分配律，可是 是角 的余弦值，并不是“ ”乘以 ，不能应用分配律事实上如果 都是锐角，那么总有 考虑两组数据 ， 这时 ， 而 ， 这时 ， 而 从这组数据我们发现不能由 、 直接得出 师：如果我们再算出 ， ，试试看能否找到什么关系生： ， ， ， ，而 ， ， ， ， 而 由（1）、（2）可得出， 师：这位同学用具体的例子得到的一个关系式：只有通过严格的理论证明才行下面给出证明：为了证明它，首先给出两点间的距离，图1(也可以利用多媒体课件演示)考虑坐标平面内的任意两点 ， 过点 分别作 轴的垂线 ， ，与 轴交于点 ， ；同理 ，那么 ， ，由勾股定理 ，由此得到平面内 两点间的距离公式师：（可以用课件演示）如右图2，在直角坐标系 内作单位圆 ，并作出角 、 与 请同学们把坐标系中 ， ， ， 各点的坐标用三角函数表示出来 生： ， ， ， 师：线段 与 有什么关系？为什么？ 生：因为 ，所以 师：请同学们用两点间的距离公式把 表示出来并加以整理 展开并整理，得 所以 （记为 ） 这个公式对任意的 ， 均成立，如果我们把公式中的 都换成 ，又会得到什么？ 生： 即 （记为 ） （2）例题分析 【例1】不查表，求 及 的值 因为题目要求不查表，所以要想办法用特殊角计算，为此 化成 ， 化成 ，请同学们自己利用公式计算 注：拆角方法并不惟一事实上，如果求出 ，那么 ，再者， 也可写成 ，甚至 等均可以 【例2】已知 ， ， ， ，求 的值 分析：观察公式 要算 应先求出 ， 解：由 ， 得 又由 ， 得 【例3】 不查表，求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） 解：（1） （2） （3） 【例4】 证明公式： （1） ；（2） 证明：（1）利用 可得 （2）因为上式中 为任意角，故可将 换成 ，就得 即 练习（投影、学生板演） （1） （2）已知 ， ，求 解答： （1）逆用公式 （2）凑角： ， ，故 说明：请同学们很好体会一下，上述凑角的必然性和技巧性，并能主动尝试训练，以求熟练。 3演练反馈 （1） 的值是（ ） A B C D （2） 等于（ ） A0 B C D2 （3）已知锐角 满足 ， ，则 为（ ） A B C 或 D ， 参考答案：（1）B； （2）B； （3）A 4总结提炼 （1）牢记公式“ ”结构，不符合条件的要能通过诱导公式进行变形，使之符合公式结构，即创造条件用公式 （2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系，如已知角 、 的值，求 ，应视 、 分别为已知角， 为未知角，并实现“ ”与“ ”及“ ”之间的沟通： （3）利用特值代换证明 ， ，体会 的强大功能 （四）板书设计 1平面内两点间距离公式 2两角和余弦公式及推导 例1 例2 例3例4 练习反馈 总结提炼