小学数学奥数基础教程(五年级)-20.doc

小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共30讲多边形的面积我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：正方形面积=边长边长=a2，长方形面积=长宽=ab，平行四边形面积=底高=ah，圆面积=半径半径=r2，扇形面积=半径半径圆心角的度数360在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。例1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）2=6（厘米）。两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。102+62-（10102）-（10+6）62=38（厘米2）。例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。例3如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。分析与解：a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为20a2和20b2。因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有20a2+20b2=140，10（a+b）=140，a+b=14（厘米）。在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。下面再看一例。例4如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。分析与解：想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米2）。同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。所以三角形DEF的面积等于203+10=70（厘米2）。例5一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米2，求剩下的长方形的面积。分析与解：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为1510=150（厘米2）。因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于（甲+丙）+（乙+丙）= 甲+乙+丙）+丙= 1725+150= 1875（厘米2）。所以原正方形的的边长等于187525=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于7575-1725=3900（厘米2）。例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。分析与解：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于（14+10）2=12。因为绿：红=A黄，所以绿黄=红A，A=绿黄红 =121220=7.2。正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。 练习201.等腰直角三角形的面积是20厘米2，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。2.如左下图所示，平行四边形ABCD的周长是75厘米，以BC为底的高是14厘米，以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。3.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米2，正方形水池的面积是多少平方米？4.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2，梯形的上底长是多少厘米？5.如下图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？6.一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？7.如下图所示，四边形ABCD的面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，F，G，H，连结E，F，G，H。问：得到的新四边形EFGH的面积是多少？练习201.10厘米2。提示：右图中四个小三角形的面积都相等。2.280厘米2。解：14BC=16CD，所以BCCD=1614=87。因为BC+CD=752=37.5，所以平行四边形ABCD的面积等于1420=280（厘米2）。3.64米2。提示：右图中每个小矩形的宽是2，面积是804，所以水池的边长是8042-2=8（米）。4.4厘米。提示：见左下图。上底=287=4（厘米）。5.6。提示：如右上图，SACF=SBCF，SBFD=SEFD=SCFE。6.51厘米2。解：左下图阴影部分即为增加部分，如右下图重新拼合，所得阴影部分的长为（282+3）厘米，宽为3厘米，面积为（282+3）3=51（厘米2）。7.5。提示：连结AF和AC（见右图）。容易求出SEBF=2SABC。同理可求出SHDG=2SADC。所以SEBF+SHDG=2SABCD。同理可知SEAH+SGCF=2SABCD，所以S EFGH=SEBF+SHDG+SEAH+SGCF+S ABCD=5S ABCD=5。三、应用题1、一块三角形地，高是36米，底是18米，共收小麦777.6千克，平均每平方米收小麦多少千克？2、一块平行四边形的麦地，底是450米，高是86米，这块地共有多少公顷？如果平均每公顷收小麦86000千克，这块地共收小麦多少千克？3、一块梯形钢板，上底长0.7米，下底长0.8米，高1.4米，如果每平方米钢板重23.5千克，这块钢板重多少千克？4、一块红布长30米，宽1.5米，用它做两条直角边都是5分米的直角三角形小旗，可以做多少面？5、有一块三角形菜地，共0.28公顷。这块地的底边长70米，高是多少米？6、一台收割机的作业宽度为1.5米，工作时的牵引速度为每小时6.4千米，按这样计算，收割24000平方米小麦，共需要几小时？7、一个果园的形状是梯形。它的上底是160米，一底是180米，高是50米。如果每棵树占地10平方米，这个果园共有果树多少棵？8、科技小组制作飞机模型，机翼的平面图是由两个完全相同的梯形组成的。这个梯形的上底是48毫米，下底是100毫米，高是250毫米。这个机翼的面积是多少？9、华光农场有一块1.4公顷的稻田。去年早稻12.74吨，收晚稻13.72吨。今年每公顷收水稻21.5公顷，今年比去年每公顷增产多少公顷？