行测概率问题详细总结.doc

概率论及应用数理统计基础概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于0和1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。10.2.1古典概率所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)。规定P(A)0，P() = ，而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：W1。满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。在古典概型中，设其样本空间所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N 。10.5（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球。（3）一次取球：从袋中任取3个球。在以上取法中均求A=恰好取得2个白球的概率。W解：（1）有放回取球N = 888 = 83 = 512（袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等） （先从三个球里取两个白球，第一次取白球有5种情况，第二次取白球还有五种情况，第三次取黑球只有三种情况）， 。 6 = = 336， ，故 。 7 = 8 W（2）无放回取球N（3）一次取球， ，故 古典概率具有下面的性质。B，则P(B -A)=P(B若Al )-P(A)。即差的概率等于概率之差。B，则P(A)P(B )。即概率的单调性。若AlP(A)1，对任意事件A，P(l )=1-P(A)。对任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。l10.6设A，B，C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)=0.125，求A，B，C至少有一个发生的概率。AB，故0P(ABC)P(AB)解：由于ABC = 0，从而P(ABC) = 0。所求概率为 P(BC)- P(AC) - P(AB) -C) = P(A) + P(B) + P(C) BP(A + P(ABC)10.2.2条件概率在实际问题中，常常需要计算在某个事件B已发生的条件下，另一个事件A发生的概率。在概率论中，称此概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，简称为A对B的条件概率，记为P(A P(A)。设A、B为两个事件，且P(B)| B)。一般地，因为增加了“事件B已发生”的条件，所以P(A | B) 0，则称 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为 。再看一下乘法公式：设有事件A和B，若P(A) 0或P(B) 0，由概率得P(AB) = 1)-P(A)P(B | A)，或P(AB) = P(B)P(A | B)。再看n个事件的情况，设有n个事件A1，A2，An，若P(A1A2An 1)。事实上，由事件的包含关系-0，则有P(A1A2An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P(An | A1A2An 有P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3).P(A1A2An1)0，故公式右边的每个条件概率都是有意义的，于是由条件概率定义可得。10.7甲、乙和丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个难题签，按甲先、乙次及丙最后的次序抽签。求甲抽到难题签、甲和乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙和丙都抽到难题签的概率。解：设A，B和C分别表示甲、乙和丙各抽到难题签的事件，则有，。在概率中，还经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常需把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果，这就需要用到全概率公式。在很多实际问题中若事件A发生的概率的计算比较困难，则可利用全概率公式转为寻求划分B1，B2，Bn及计算P(Bi)和P(A | Bi)的问题。10.8盒中有12只新乒乓球，每次比赛时取出3只，用后放回，求第3次比赛时取到的3只球都是新球的概率。解：设A表示第3次比赛取到3只新球的事件，Bi (i = 0,1,2,3)表示第2次取到i只新球的事件，由 ， ，得 。10.9某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0.10.20.40.20.1概率01234现进行抽样检验，从每批中随机抽取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率。解：设A表示一批产品通过检验的事件，Bi (i = 0,1,2,3,4)表示一批产品中含有i件次品，则由 ， ， ， ， ， ， ， ，得。10.2.3贝叶斯公式的一个划分，且 ，则W的事件，B1，B2，Bn为W设A为样本空间 。这一公式称为贝叶斯公式。若把A视为观察的“结果”，把B1，B2，Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并做出了“由果溯因”的推断。10.10设某工厂甲、乙和丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%和20%。且各车间的次品律依次为4%，2%和5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，问该产品是由哪个车间生产的可能性大？解：设A表示产品为次品的事件，B1，B2，B3分别表示产品有甲、乙和丙车间生产的事件，则由 ， ， ， ， ，得 于是有；。 可知该产品是由甲车间生产的可能性最大。10.2.4事件的独立性及贝奴里实验设事件A，B满足 ，则称事件A，B是相互独立的。若事件A，B相互独立，且 ，则有 ，在实际问题中，常常不是根据定义来判断事件的独立性，而是由独立性的实际含义，即一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率来判断两事件的相互独立性。假设在相同条件下进行n次重复试验，并且每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；同时在每次试验中，A发生的概率均一样，即 ；而各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概率模型，或称为n重贝努里试验。在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。若 表示n重贝努里试验中A出现k(0kn)次的概率， ， ，则n重贝努里试验A中出现k次的概率计算公式为 ， 。10.11一大楼有5个同类型的独立供水设备，调查表明，在任意时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，（1）恰有两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有三个设备被使用的概率是多少？（3）至多有三个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？解：在同一时刻观察5个设备，它们工作与否是相互独立的，故可视为5重贝努里试验，p = 0.1，q = 10.1 = 0.9，于是可得（1） 。（2） 。（3） 。（4） 。10.2.5离散型随机变量及其分布为了使各种不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等工具引进概率论，需引入随机变量的概念。设试验的样本空间为，在上定义一个单值实函数X = X(e)，e，对试验的每个结果e，X = X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，所以X = X(e)的取值也是随机的，称此定义在样本空间 上的单值实函数X = X(e)为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示。通俗地讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。下面看一下离散型随机变量的几个重要分布。1两点分布如果随机变量X为0时概率为q，为1时概率为p，并且q = 1 - p，0 p B(1,P)。1，则称X服从参数为p的(0-1)两点分布，简称为两点分布，记为X2二项分布如果随机变量X的分布律为 ，k = 0, 1, 2n，其中0 p )l(p0，则称X服从参数为的泊松分布，记为X )。lP(或者X)且已知PX = 1 = PX = 2，求PX =l(p10.13设X 4。)，即X的分布律为PX = k = ，k = 0，1，2，于是有 ， ，由PX = 1 = PX = 2可得方程l(p解：由于X (2)于是p = 2，0（弃去）。所以Xl2。解得l = l，即2 查表0.0902。10.2.6连续型随机变量及其分布所谓连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的，设F(x)为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f (x)使得对任意实数X，有 ，则称X为连续型随机变量，f (x)为X的概率密度。对于概率密度，有一个重要的结果： 。10.14一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为 某仪器内装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为 ，令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，则 ，服从二项分布。于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率 。1均匀分布如果随机变量X的概率密度为 ，则称X在区间a，b上服从均匀分布，记为XUa，b；其分布函数为 。10.15某公共汽车从上午7：00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7：00，7：15，7：30，时刻有班车到达此车站，如果某乘客是在7：00至7：30间等可能地到达此车站候车，问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则XU0，30，即其概率密度为f (x) =，于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为p10X15或25X30 = p10X15 + p25X30= 。2指数分布l如果随机变量X的概率密度为 ，其中 )，其分布函数为 。l的指数分布，记为XE(l0，则称X服从参数为 =l10.16设随机变量X服从参数为 0.015的指数分布。（1）求px 100。（2）若要使pX x 100 = （2）要pX 0 0.1，即 。取对数，便得0.015x 2)的正态分布，记为XN(s，m0)为常数，则称X服从参数(2)。s，m2 = 1的正态分布N(0，1)为标准正态分布，其概率密度为s = 0，m称 ；分布函数为 （其值有表可查）。10.17从某地乘车前往火车站，有两条路可走。（1）走市区路程短，但交通拥挤，所需时间X1N（50，100）。（2）走郊区路程长，但意外阻塞少，所需时间X2N（60，16）。若有70分钟可用，应走哪条路线？解：走市区及时赶上火车的概率为，走郊区及时赶上火车的概率为P0X270= (2.5) =F (12.5) = F(2.5) F= 0.9938，故应走郊区路线。如果还有65分钟可用，情况又如何呢？同样，走市区及时赶上火车的概率为P0X165 (1.25) = 0.8994，此时便应改走市区路线。F 而走郊区及时赶上火车的概率便为P0X265=本讲自测 1取数问题。从0,1,9共10个数字中随机不放回的接连取4个数字，并按其出现的先后次序排成一列，求下列事件的概率：（1）4个数排成一个偶数；（2）4个数排成一个4位数；（3）4个数排成一个4位偶数。2为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b，每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为0.92，系统b的有效概率为0.93，而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85。试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b失灵情况下，系统a有效的概率。3某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？4设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数=3的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于90的概率使用户得到及时服务。公务员考试行测判断推理讲解：概率问题概率题是公务员考试行测数量关系模块中数学运算计数问题中的重要题型之一。但是，在2009年国家公务员考试行政职业能力测验中，概率题却“改头换面”，以与在运算计数问题模块完全不同的表现形式出现在了判断推理模块中。面对这样的题型，很多考生无从下手，觉得没有思路。下面，国家公务员网将以2009年国家公务员考试第92题为例，揭开概率题在国家公务员考试行测判断推理模块中的神秘面纱，帮助各位考生捋顺概率类题目的做题思路，快解准确这类考题。【原题】有三个骰子，其中红色骰子上2、4、9点各两面；绿色骰子上3、5、7点各两面；蓝色骰子上1、6、8点各两面。两个人玩掷骰子的游戏，游戏规则是两人先各选一个骰子，然后同时掷，谁的点数大谁获胜。那么，以下说法正确的是？（2009年国家公务员考试行政职业能力测验真题-92题）A.先选骰子的人获胜的概率比后选的骰子的人高B.选红色骰子的人比选绿色骰子的人获胜概率高C.获胜概率的高低于选哪种颜色的骰子没有关系D.没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高【解析】首先：捋顺题干信息。三个骰子：红色骰子（2、4、9）；绿色骰子（3、5、7）；蓝色骰子（1、6、8）。问那种颜色的骰子获胜的概率大。其次：任选两种骰子进行比较。例如红色骰子（2、4、9）与绿色骰子（3、5、7）比较。23；25；2743；45；4793；95；97通过比较可以得出：红色骰子胜出的概率是4/9，绿色骰子胜出的概率是5/9。因此绿色骰子的获胜概率大于红色骰子。同理将红色骰子（2、4、9）与蓝色骰子（1、6、8）比较，绿色骰子（3、5、7）与蓝色骰子（1、6、8）比较，可以得出：红色骰子的获胜概率大于蓝色骰子；蓝色骰子的获胜概率大于绿色骰子。综上得出，绿色红色；红色蓝色；蓝色绿色。先选的人肯定吃亏，因为总能找出概率比先选的大的骰子，A错误；红色骰子比绿色骰子获胜概率低，因此B错误；获胜概率的高低肯定与骰子的颜色有关系，因此C错误；没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高，因此D对。【总结】首先，概率问题放在判断推理模块考查，与其在运算计数问题模块考查相比，运算难度相对较低；其次，需要掌握基本的概率运算公式，比如，概率=满足条件的情况数总情况数。例如红色骰子与绿色骰子比较时，“总情况数”是9；针对于红色骰子的点来说，比绿色骰子的点大的情况为“满足条件的情况数”，即4次；因此红色骰子胜出的概率为4/9。针对绿色骰子的点来说，比红色骰子的点大的情况为“满足条件的情况数”，即5次；因此绿色骰子胜出的概率是5/9。因为5/94/9，由此可知绿色骰子的获胜概率大于红色骰子。最后，在做这类题目时，一定首先捋顺题干信息，戒骄戒躁，相信胜利一定属于你！公考行测：数量关系之简单概率问题www.gwy114.net |时间:2009-04-09 | 点击率:2675次 【大 中 小】【打印】简单概率问题 1. 随机事件基本概念 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2.古典概型 古典概型的概率公式(有时也叫等可能事件的概率公式)：P(A)=A所包含的基本事件的个数/总的基本事件个数。 注意在利用等可能事件的概率公式解题时，首先要确定试验中各基本事件出现的机会是均等的。同时还要注意分析题中条件，以便于确定基本事件的个数。【例题1】 将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?( )。 A. 12 B. 13 C. 14 D. 23 【解析】硬币投掷两次一共可能的情况有：（正，正）（正，反）（反，正）（反，正），那么有一次为正且有一次为反的概率为24= ,选A。 【例题2】 在箱子中有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数X ,然后再放回箱子中；第二次再从箱子中抽取一张卡片，记下它的读数Y,试求X+Y是10 的倍数的概率。【解析】先后两次抽取卡片，第次都有110这10 种结果，帮有序实数对(X,Y)共有10X10=100个。因为X+Y是10的倍数，它包含下列10个数对：(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4，6)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(8，2)、(9,1)、(10,10)，故X+Y是10 的倍数的概率为P=10/100=1/10.【例题3】向假设的三个军火库投掷一个炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025；其余两个各为0.1，只要炸中一个，别两个也要爆炸。求军火库发生爆炸的概率。【解析】设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件 ，于是P(A)=0.025，P(B)=P(C)=0.1。又设D表示军火库爆炸这一事件，则有D=A+B+C。其中A、B、C是互斥事件，因为投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上的军火库。所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225 。出自公务员百事通编辑：晴歆公务员考试行测数量关系冲刺：几何概率2011-01-05 08:40 华图网校点击: 287 次公务员考试行测数量关系冲刺：几何概率编辑推荐 2011年国家公务员考试成绩 查分系统 2011年国家公务员考试面试名单 调剂名单 2006-2010年国家公务员面试真题 面试热点 2011国家公务员职位面试分数线 面试课程例题：甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？ （2010年4月25日联考第10题）A. 37.5B. 50C. 62.5D. 75这是几何概型中一道典型的会面问题。几何概型是在古典概型的基础上进一步发展起来的，是等可能事件的概念从有限到无限延伸，它们之间的主要区别就是，几何概型中等可能事件是无限多个，而古典概型中等可能事件只有有限多个。在古典概型中，因为基本事件是有限个，由古典概型的计算公式，只要知道所求事件包含的基本事件个数再除以总的基本事件个数就可以了；而在几何概型中，由于基本事件是无限多个，解题就相对来说比较困难了，但是近几年来的省考中已经考了不少几何概型，因此华图教育特别提示考生引起足够重视。下面华图教育就先大家介绍一下几何概型。一、几何概型的定义：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域的概率与的面积成正比，而与的形状、位置无关，即则称这种模型为几何概型。几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比。二、几何概型的特点是：（1） 无限性：在每次试验中，可能的出现的结果有无穷多个；（2） 等可能性：在每次试验中，每个结果出现的可能性相等。三、例题详解【例1】公交车每隔10分钟来一辆。假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站，试求乘客候车时间不超过3分钟的概率。解：从前一辆开出起计算时间，乘客到达车站的时刻t可以是0，10）中的任何一点，即G=t0t10，由假定，乘客到达时刻t均匀地分布在G内，故问题归结为几何概型，设表示“乘客候车不超过3分钟”的事件，则=t0t3【例2】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。解：设=等待的时间不多于10分钟.事件恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内。【例3】（会面问题）甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内， 在预定地点会面。 先到的人等候另一个人， 经过时间 t（ tT ） 后离去。设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两人能会面的概率。解：从0点开始计时，设两人到达的时刻分别为x，y，则G=（x，y）0xT，0yT假定两人到达时刻是随机的，则问题归结为几何概型，设A表示“两人能会面”事件，则=（x，y）0xT，0yT，x-yt （图中的阴影部分），则注：开头的题目，只需将数据应用到这个公式里，答案选D。概率题是公务员考试行政职业能力测验考试数量关系模块中数学运算计数问题模块重要题型之一，本文中华图公务员考试辅导专家李委明老师通过2009年浙江省公务员考试行政职业能力测验真题中的“牛奶糖概率”问题详细阐释了条件概率题的解题公式及其运用。【原题】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？（2009年浙江省公务员考试行政职业能力测验真题-52题）A. 1/3 B.1/4 C. 1/5 D. 1/6华图答案C华图解析小孙任意取出两颗糖有以下六种情况：“巧果、巧奶1、巧奶2、果奶1、果奶2、奶1奶2”。其中有五种情况满足“其中一颗是牛奶味”这个条件，而要另外一颗也是牛奶味，只有“奶1奶2”这一种情况，所以概率为1/5。这是一道典型的条件概率题，下文中华图公务员考试研究中心李委明老师将通过上例来进一步阐述条件概率题的解题公式及其运用。题型类型：条件概率。条件概率的公式：P(AB)“B成立时，A也成立”的概率P(AB)/P(B)“A和B都成立”的概率“B成立”的概率上述例题要问的是：“其中一颗是牛奶味”时，“另一颗也是牛奶味”的概率套用公式“其中一颗是牛奶味，并且，另一颗也是牛奶味”的概率“其中一颗是牛奶味”的概率前者等于1/6，后者等于5/6，所以答案就是1/5(这个应该很容易算了)李老师关于此题的三个说明：1、上面这个只是为了消除分歧严格按公式来计算，实际考试的时候简单数数就能出来，“其中一颗是牛奶味”明显有5种情况，“两颗都是牛奶味只有1种情况”直接得到1/52、很多说是1/3，这是错的，题目只有这样问才是1/3，“口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶的。小孙任意从口袋里连续取出两颗糖，他看了看后说，第一颗是牛奶味的，问小孙取出的第二颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？”这个才是很多人说的1/3，解起来就很简单，第一颗是牛奶味的，第二颗还有三种选择，只有一种满足条件，所以是1/3。按照我上面给的公式也可以。“第一颗是牛奶味”时，“第二颗也是牛奶味”的概率“第一颗是牛奶味，并且，第二颗也是牛奶味”的概率“第一颗是牛奶味”的概率(1/6)(1/2)=1/33、还有一个重要的概念必须澄清，也是考生容易出问题的地方，在计算简单概率的时候，我们用到的基本公式：概率满足条件的情况数总情况数。在这里数“情况数”的时候，如果遇到有像这个题目里说的“两颗都是牛奶味”的情况数，我们数情况就应该特别注意了。虽然我们应该认为这两颗牛奶糖是相同的，而事实上我们要分情况来看：如果是计算排列组合的时候确实应该视为相同（就是说如果问你从这四颗糖里拿出两颗，有几种情况，答案就是4种：巧果、巧牛、果牛、牛牛）；但是如果是计算概率的时候数有多少种情况，就一定必须把两颗牛奶糖视为不同的（就是说在用概率公式“概率满足条件的情况数总情况数”里的“总情况数”就是6而不是4：巧果、巧牛1、巧牛2、果牛1、果牛2、牛1牛2”，这是古典概率的定义里就给出来的，有兴趣的可以翻翻高中课本，里面有要求用到“概率满足条件的情况数总情况数”的时候，要求这些“情况”都必须是等概率的，也就是说即使东西给的是相同，计算也应该编号视为不同情况。