吉林大学硕士研究生入学考试数学分析高等代数试题.doc

吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、若函数在上可积，则在也可积；2、若级数收敛，则级数也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列的上、下极限都存在；5、区间上的连续函数必能达到最小值；6、在整个实轴上是一致连续的；7、若函数沿着任何过原点的直线连续，则在连续；8、若函数在点取极小值，则；9、若，则在点取极大值；10、向量场是无源场。二、（共20分）填空题1、设，则grad；2、设，则div；3、设,则rot；4、设s表示单位球面，则第一型曲面积分；5、数列的下极限为；三、（共20分）计算下列极限1、；2、；3、；4、。四、（共20分）判断下列级数的敛散性1、；2、，其中五、（10分）设函数在两次连续可微，满足且。证明：存在使得。六、（10分）计算第二型曲线积分其中为单位圆周，方向为顺时针方向。七、（10分）证明，对任意，都有八、（10分）设均为常数，且对任意都有证明：九、（10分）证明，不存在上的正的可微函数，满足十、（10分）试构造区间上的函数序列，具有如下性质：（1）对每个n，是上的正的连续函数；（2）对每个固定的，；（3）高等代数与空间解析几何卷一、（共32分）填空1、平面上的四个点在同一个圆上的充要条件为。（要求用含有的等式表示）；2、设方阵只与自己相似，则必为；3、设为可逆矩阵，则直线与直线的位置关系为。（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；4、设为四阶正方矩阵，其中均为四维列向量；，且线性无关。求线性方程组的通解；二、（16分）求二次曲面的主方向；三、（17分）设为n维欧式空间，与为中向量，线性无关，且对任意的均有。证明，必有上的正交变换，使得四、（17分）设为数域上的n维向量空间，均为上的线性变换，且满足。证明：五、（17分）设为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵，使得为正定矩阵。六、（17分）设为数域上的2n维向量空间，为上的线性变换，且。证明，存在的一个适当基底及形矩阵，使得在该基底下恰好对应矩阵。七、（17分）设为实数域上的全体n阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，为上的线性变换，且对任意的，。1、求的特征值；2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明恰为的所有特征子空间的直接和。八、（17分）设为n阶实方阵，若对任意的均有，则称为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵必为可逆矩阵。吉林大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、函数在任何有限区间上都是可积的；2、若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛；3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；4、有界数列的上、下极限都存在；5、连续函数一定是有界函数；6、在整个实轴上是一致连续的；7、若函数在处的两个偏导数，则在连续；8、在内有无穷多个极大极小值点；9、若，则在点必取极大值或极小值；10、向量场是无源场。二、（共20分）填空题1、设，则grad；2、设，则div；3、设,则rot；4、设s表示单位球面，则第一型曲面积分；5、数列的上、下极限的和为；三、（共20分）计算下列极限1、；六、（10分）计算第二型曲面积分其中为球面的内侧。吉林大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、二、3、4、，为椭圆，周长为a。三、1、设于上二次连续、可微，存在不低于整数的常数，使得。记，证明：存在使2、和皆为区间上的连续函数，在上二次连续，其中为常数。证明（1）、时，于一致收敛。（2）、满足3、在上具有连续的一阶导数。求证：4、证明：在上不一致收敛，且5、在上具有连续的一阶导数，又，证明：高等代数与空间解析几何卷一、1、 求点到平面的距离。2、 求曲面在点处的切平面。3、 写出内积、外积和混合积的定义。4、 设为在有理数域上大于1的多项式，给出的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。5、 在复数域上，当取何值时，多项式有重因式。6、 ，求正交矩阵P及对角矩阵D，使得7、 8、 是实数域上三元列向量空间，为n阶正定矩阵。定义，则当满足什么条件时，为欧式空间。9、 当为何值时，5个平面经过一条直线。10、 求上的线性变换，使二、1、 设为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数，使得都是整数，证明：是整数多项式。2、 在曲线的充要条件是，其中是向量的长度，是向量的方向余弦。3、 是数域上的向量空间，是上的线性变换，记：，当且仅当是的特征子空间。4、 假设是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵，使得。5、 设是数域上的阶矩阵构成的向量空间，是的极小多项式，令，证明：（1）是的子空间，而且（2）不可约，则的每个非零元素都是可逆矩阵。