高中数学完整讲义-排列与组合7.排列组合问题的常用方法总结1.docx

排列组合问题的常用方法总结1知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称加法原理乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，做第个步骤有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称乘法原理加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素）排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示排列数公式：，并且全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示规定：组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示组合数公式：，并且组合数的两个性质：性质1：；性质2：（规定）排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！8错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型典例分析直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例1】 从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有人参加，交通和礼仪各有人参加，则不同的选派方法共有 【例2】 北京财富全球论坛期间，某高校有名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A B C D【例3】 在平面直角坐标系中，轴正半轴上有个点，轴正半轴有个点，将轴上这个点和轴上这个点连成条线段，这条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A个 B个 C个 D个【例4】 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？【例5】 一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球从口袋内取出个球，共有多少种取法？从口袋内取出个球，使其中含有个黑球，有多少种取法？从口袋内取出个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例6】 有名划船运动员，其中人只会划左舷，人只会划右舷，其余人既会划左舷也会划右舷从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例7】 若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A B C D【例8】 从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为_A B CD【例9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街条，东西向大街条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用步走完，则上楼梯的方法有_种【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例12】 设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为（ ）A B C D【例13】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 【例14】 从名男同学，名女同学中选名参加体能测试，则选到的名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有_种（用数字作答）【例15】 在的边上有四点，边上有共个点，连结线段，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）A B C D【例16】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ 、必须当选； 、都不当选； 、不全当选； 至少有2名女生当选； 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任【例17】 甲组有名男同学，名女同学；乙组有名男同学、名女同学若从甲、乙两组中各选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有（ ）A种B种C种D种【例18】 从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）A B C D【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）ABCD【例20】 要从个人中选出个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例21】 有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）A288种B72种C42种D36种【例23】 某班有名男生，名女生，现要从中选出人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于人的选法为（ ）A BC D【例24】 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个数字1不排在个位和千位数字1不在个位，数字6不在千位【例25】 甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，人的名次排列共有_（用数字作答）种不同情况【例26】 某高校外语系有名奥运会志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）A种B种C种D种【例27】 用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）A B C D【例28】 某电视台连续播放个不同的广告，其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A种 B种 C种 D种【例29】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_种（用数字作答）【例30】 从名男生和名女生中选出人，分别从事三项不同的工作，若这人中至少有名女生，则选派方案共有（ ）A种B种C种D种【例31】 甲组有名男同学，名女同学；乙组有名男同学、名女同学若从甲、乙两组中各选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有（ ）A种B种C种D种【例32】 将名大学生分配到个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种（用数字作答）【例33】 用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有（ ）A个 B个 C个 D个【例34】 一生产过程有道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等名工人中安排人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排人，则不同的安排方案共有（ ）A种B种C种D种【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A36 B42 C 48 D60【例36】 从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为_A B CD【例37】 名志愿者中安排人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）【例38】 给定集合，映射满足：当时，；任取，若，则有则称映射：是一个“优映射”例如：用表1表示的映射：是一个“优映射” 表1 表212323112343已知表2表示的映射：是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_【例39】 将个不同的小球全部放入编号为和的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有_种 【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10种B20种C36种 D52种【例41】 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？【例42】 正整数称为凹数，如果，且，其中，请回答三位凹数共有 个（用数字作答）【例43】 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A种B种C种D种【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_种（用数字作答）【例45】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）A种 B种 C种 D【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A种 B3种 C种 D种【例48】 袋中装有分别编号为的个白球和个黑球，从中取出个球，则取出球的编号互不相同的取法有（ ）A种 B种 C种 D种【例49】 现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A男生人，女生人 B男生人，女生人C男生人，女生人 D男生人，女生人【例50】 将个小球任意放入个不同的盒子中， 若个小球各不相同，共有多少种放法？若要求每个盒子都不空，且个小球完全相同，共有多少种不同的放法？若要求每个盒子都不空，且个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例51】 将个小球任意放入个不同的盒子中，每个盒子都不空，若个小球完全相同，共有多少种不同的放法？若个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例52】 四个不同的小球，每球放入编号为、的四个盒子中 随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ 四个盒都不空的放法有多少种？ 恰有一个空盒的放法有多少种？ 恰有两个空盒的放法有多少种？ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳个单位，若经过次跳动质点落在点处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共_种；若经过次跳动质点落在点处（允许重复过此点），其中，且为偶数，则质点不同的运动方法共有_种【例54】 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A50种 B49种 C48种 D47种【例55】 是集合到集合的映射，是集合到集合的映射，则不同的映射的个数是多少？有多少？满足的映射有多少？满足的映射对有多少？【例56】 排球单循坏赛，胜者得分，负者分，南方球队比北方球队多支，南方球队总得分是北方球队的倍，设北方的球队数为试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；证明：或；证明：冠军是一支南方球队【例57】 已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意设是的任意的一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）ABCD间接法（直接求解类别比较大时）【例58】 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例59】 从中取一个数字，从中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）A B C D【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥【例61】 设集合，集合是的子集，且满足，那么满足条件的子集的个数为（ ）A B C D【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）ABCD【例63】 某高校外语系有名奥运会志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）A种B种C种D种【例64】 对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称“与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组中有顺序“”，“”，其“顺序数”等于若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是，则的“顺序数”是_【例65】 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）A B C D【例66】 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）【例67】 设有编号为，的五个球和编号为，的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例68】 在排成的方阵的个点中，中心个点在某一个圆内，其余个点在圆外，在个点中任选个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）A个 B个 C个 D个【例69】 从甲、乙等名同学中挑选名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有人参加，则不同的挑选方法共有（ ）A种B种C种D种【例70】 若关于的方程组有解，且所有解都是整数，则有序数对的数目为（ ）A B CD【例71】 从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）A种 B种C种D种【例72】 甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有（ ）A种B种C种D种【例73】 ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的的子集个数为_【例74】 在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个【例75】 在的边上取个点，在边上取个点（均除点外），连同点共个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例76】 共个人，从中选名组长名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是（ ）A B C D【例77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）ABC D【例78】 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成_ _个三角形【例79】 从名奥运志愿者中选出名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）A种 B种 C种 D种【例80】 某校从名教师中选派名教师同时去个边远地区支教（每地人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（ ）ABCD【例81】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法有_种（用数字作答）