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研究生课程进修班试卷封面姓 名： 单位： 专 业： 考试科目： 考试分数： 年 月 日东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表课程名称 姓 名 单位 专 业 年 月 日 题 号分 数签 名12345678910总 分评阅教师签字： 年 月 日现代数学与中学数学考试卷一、(10分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例（1） （2） 解：（1）错 1,x0例如f(x) g(x)-2x,h(x)x-1,x0（2）正确(gf)oh(x)(gf)(h(x)f(h(x)g(h(x)foh(x)goh(x)二、（10分） 若函数在点可导，计算（1） （2） 解：（1）原式= 三、（10分） 求一函数，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。 解：根据题意可设，切点坐标为则，故，所以 四、（10分）证明：若，则 五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面与平面所围成的锥体的体积。c2y2b2z2c2x2a2z2答：任取z(0,c)，过点(0,0,z)作垂直于z轴的平面，截面为椭圆，其方程为 1，c 0 abc20 c2abz2 ，z2dz ，c 椭圆面积S(z) ， VS(z)dz abc. 六、（10分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。解：(1)甲中1次乙中0次的概率为：p120.3(10.3)(10.6)20.0672；(2)甲中2次乙中1次的概率为：p20.30.320.6(10.6)0.0432；(3)甲中2次乙中0次的概率为：p30.30.3(10.6)20.0144；所以甲比乙投中次数多的概率为：P0.06720.04320.01440.1248七、（10分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到，则，这里就是这种物质致癌的概率。试导出的最大似然估计值的计算公式。答：设事件A发生的概率P(A)p，定义随机变量 1，若在一次试验中事件A发生， X 0，若在一次试验中事件A不发生.则，XB(1,p),它的分布律为：P(Xx)px(1p)1-x，x0,1.n现有样本X1,X2,Xn，故似然函数为i1nnxipxi(1p)1-xi p i=1 (1p)i1nxii1L(p) (xi)pn(nxi)(1p)ni1i1它的对数为：L(p) 似然方程 ，1pi1(nxi) nxindpdL(p)i1p似然方程为 0，X5则方程的解 p .八、（10分） 甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？解：(1)可以相信甲的说法。(2)对甲的说法产生很大怀疑用的是最大似然法。九、（10分） 用选主元素的Gauss消元法求解请指明消元、回代过程。解：如果从第二个方程中减去第一个方程的倍，再从第三个方程减去第一个方程的倍，则得等价方程组：x2x3 13，3x12x2x3 39，x2x3 8，(1e) 其中第二、三个方程中变元x1已被消去了。类似地，从方程组(1e)的第三个方程中减去第二个方程的倍，即可消去(1e)中第三个方程的变元x2，最后得到与原方程组等价的如下方程组3x12x2x3 39，x3 .x2x3 8，(1f)方程组(1f)很容易求解，可按如下方式进行。由(1f)的第三个方程直接解出x3 ，将其代入(1f)的第二个方程可解出x2 ，最后将x3, x2共同代入(1f)的第一个方程解出x1 。十、（10分） 使用二分法求解于1,2内的根，二分3次即可。解：令f(x)x22， f(1)1210，f(2)420，f(x)在区间1,2上存在零点， (1)、取区间1,1.5，f(1)0，f(1.5)0， f(x)在区间1,1.5上存在零点，(2)、取区间1.25,1.5，f(1.25)0，f(1.5)0， f(x)在区间1.25,1.5上存在零点，(3)、取区间1.375,1.5，f(1.375)0，f(1.5)0， f(x)在区间1.375,1.5上存在零点，方程x220在区间1,2上的根近似为1.375.
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