第35届全国中学生物理竞赛模拟试题及详解答案

1 第 3 5 届 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 模 拟 试 题 2 全国中学生物理竞赛 模拟试题 1 第 34届全国中学生物理竞赛 模拟 试题 时间 180 分钟 满分 320 分 2017 6 8 一 40分 四个等值电阻 R 四个电容值 C 1 F的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来 如图所示 各电池的电压 为 U1 4V U2 8V U3 12V U4 16V 他们的内电阻均可忽略 1 求每个电容器的电压和电量 2 若 H点与 B点短路 求电容器 C2上的电量 解析 1 将电容器视为断路 电路可等效为如图所示的电路 则电路中的电流为 411 34U U VI RR 取 C点电势为零 则等效电路图中各点电势为 0C 1 4GCUV 7HGIR V 10EHIR V 4 6AEUV 3BAIR V 考虑到 7H V 则 D点电势为 3 5DHUV 考虑到 3B V 则 F点电势为 2 5FBUV 则各电容器电压和电量分别为 1 1C F GUV 61110CQ CU C 2 5C E FUV 6225 10CQ CU C 3 5C C DUV 6335 10CQ CU C 4 1C D AUV 64410CQ CU C 2 将 B H短路后电路如图所示 此时流过 U1的电流为 11 22UVI RR 流过 U4的电流为 44 82UVI RR 则 1 2BCI R V 2410EB I R U V 2 10FBUV 则电容器 C2两端电压为 2 0C E FU 故带电量也为零 即 2 0Q 二 40 分 在半径 R 2m 孔径 d 10cm 的凹面镜的焦点位置上 垂直于其对称轴 主光轴 放一块圆形屏幕 使平行于轴的所 有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕 试求圆形屏幕 的直径 如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅有原来的 1 8 试问有多少部分的光能达到在同样位置的屏幕上 解析 1 考察入射点为 P 的光线 反射光线交主轴与 A点 光路如下图所示 O为球面圆心 F为焦点 U1 U4 R R R A B C E G H R U1 U4 R R R A B C E G H R I1 I4 U1 U2 U3 U4 R R R R C1 C2 C3 C4 A B C D E F G H 全国中学生物理竞赛 模拟试题 2 则 OPA 为等腰三角形 有 2 cos 2 cosOP ROA 随入射角 增大 反射光线与主轴焦点离焦点 F 越远 光线越接近圆形屏幕 边缘 则入射角满足 sin 2dR 的光线即为边界光线 此时有 sin 0 025 2dR 2c o s 1 s in 0 9 9 9 6 8 7 4 5 22 s in c o sta n 2 0 0 5 0 0 4 6 9 32 c o s 1 则圆形屏幕的直径为 52 c o s t a n 2 2 c o s 1 t a n 2 3 1 3 1 022RdD R R d m 2 设变化之后的屏幕 直径为 8DD 能到达屏幕的光 直径为 d 则有 2 c o s 1 ta n 2 2 c o s 1 ta n 2 8RdRd 考虑到 sin 2dR 则有 2 sindR 则上式变换为 6 2 c o s 1 t a n 2 2 s i n 1 9 5 6 1 0 将 2cos 1 sin 2 222 s in c o s 2 s in 1 s inta n 2 1 2 s in 1 2 s in 代入上式可 化简为 2 6 22 s in 1 1 s in 1 9 5 6 1 01 2 s in 解上式可得 sin 0 0125 2dR 即 0 05dm 则能到达屏幕的光占总入射光的比例为 2 1 4Sd 即有 1 4 的光能到达圆形屏幕 三 48 分 在 xOy平面内分布着某种透明光学材料 已知折射率 n n r r 为点到原点的距离 在距离原点 r0处的 A点有一 点 光 源 若从此光源发出的光在材料中沿着以原点 O为焦点的圆锥曲线传播 已知该圆锥曲线的离心率为 e 焦准距为 p 试求折射率 的分布规律 n r 已知 n r0 n0 解析 考察相邻的两微元薄层间的折射如图所示 由折射定律得 1 1 2sin sinnn 由正弦定理得 2 21 sin sinrr 不难看出 光线刚进入球 体后在各层上满足 sinnr 定 值 考虑到 sinnr 定 值 可类比角动量守恒 即 n类比动量 p mv 则光线路径可视为质量为 m的粒子的轨迹 O即为有心力的力心 则粒子的动能为 2 2k nE m 考虑有心力为引力和斥力的两种情况 若为引力则 粒子的势能可表示为 p kE r 当 e1 时 圆锥曲线为双曲线 设其实长轴为 A 则有初始条件可知总能量为 2 0 022 n k km r A 解上式可得 200 0 2 Ar nk m A r 则其任意状态的总能量势能可表示为 2 2 2 0 0 0 0 002 2 2 2 n A r n r nm m A r r m A r 解上式可得 22 00 0 2 2 A r rnnA r r 考虑到其半长轴为 2 1epA e 则上式可变换为 2 0220 2 0 2 1 2 1 ep r e rnn ep r e r 当 e 1 时 圆锥曲线为双曲线 设其实长轴为 A 则有初始条 件可知总能量为 2 0 0 02 nkmr 解上式可得 2002rnk m 则其任意状态的总能量势能可表示为 2200 0n rn m mr 解上式可得 2200rnnr 若为斥力则粒子的势能可表示为 p kE r 此时圆锥曲线必定为双曲线 总能量为 2 0 022 n k km r A 解上式可得 200 0 2 Ar nk m r A 则其任意状态的总能量势能可表示为 2 2 2 0 0 0 0 002 2 2 2 n A r n r nm m r A r m r A 解上式可得 22 00 0 2 2 r A rnnr A r 考虑到其半长轴为 2 1epA e 则上式可变换为 2 0220 2 0 2 1 2 1 ep r e rnn ep r e r 四 40分 频率为 0的光子具有惯性质量 m 此质量由光子的能量决定 在此假定光子的引力质量等于惯性质量 从一颗星球向 外发射光子逃逸引力时 便会损失能量 已知 eH 的静质量为 m0满足 20 3752m c MeV 玻尔能级为 2 213 6n ZE eVn 确定下列问 题 1 初始时频率为 0的光子从质量为 M 半径为 R的星球表面到达无穷远时 它的频率增量 为 则当 0 时 20 0 1c o s 2 0 0 0 0 1c o s 2 0 0 4Ay t x t x x44 时 20 0 1 c o s 2 0 0 4 4 0 0 1 c o s 2 0 0 4 4 0 0 1 c o s 2 0 0 4 8 44By t x t x t x x44时 B A两列波的相位差为 1 4 8 1 244xx 两列波叠加后加强 不符合题意 当 x 0 时 B A两列波的相位差为 2 4 0 1 044xx 两列波叠加后加强 不符合题意 当 0 x 44时 B A两列波的相位差为 3 4 0 1 04 4 2x x x 令 3 1 0 2 1 2 xk 可解得 4 22xk 考虑到 k取整数且 0 x 44 可知 x 2m 6m 10m 14m 18m 22m 26m 30m 34m 38m 42m处的点静止 六 32 分 有一均匀的长为 l 的麦秆 开始处于水平位置 中点被支撑着 它可以绕轴在竖直平面内自由转动 不计空气阻力和 轴上阻力 有一蜘蛛以竖直向下的速度 v0落下 并且落在麦秆中心和端点之间的中点处 蜘蛛的质量与麦秆的质量相等 当蜘蛛停 落于麦秆后 立刻沿麦秆向端点爬行 使麦秆的转动角速度保持不变 试求 v0的最 小 值 假定麦秆转到竖直位置时 蜘蛛离开麦秆 落 下 试画出蜘蛛在空间的爬行路线 解析 设麦秆和蜘蛛的质量均为 m 麦秆转动角速度为 则碰撞前后瞬间角动量守恒有 220 1 4 1 2 4llm v m l m 可解得 0127vl 设 t时刻蜘蛛距离麦秆中心为 x 则有转动定理可知 Mdt dJ 考虑到角动量为 JI 且 保持不变 则有 2 2d J d I d m x m x d x x A B 全国中学生物理竞赛 模拟试题 5 将力矩 cosM mgx t 代入可知 cos 2mgx td t m xdx 可化简为 2cos tdt dx g 两边同时积分 0 4 2costx ltdt dxg 可得 2 sin42lgxt 图像如图所示 由题意可知 在竖直位置即 2t 时有 2lx 即 24 2 2l g l 将 0127vl 代入上式可得 0 762glv 七 48分 如图所示 在竖直放置的气缸内有一质量为 M的活塞 活塞面积为 S 在活塞上放一质量为 m的物体 活塞与气缸间 无摩擦 大气压强为 P0 平衡时活塞到底部的距离为 l 今将活塞下压一定距离 d后释放 认为气体的状态变化为等温变化 且认 为 d l 在活塞的上升过程中物体与活塞分离 分离后物体竖直上抛 活塞上下振动 求物体与活塞分离后 上升的高度及物体与活 塞分离后活塞的振动振幅 解析 设气体初态压强为 P1 体积为 1V Sl 有初态活塞受力平衡可知 01 P S M m g PS 可得 10 M m gPP S 设活塞上升 h距离后 此时物体未与活塞分离 气体压强为 P2 此时气体体积为 2 V S l d h 由玻意耳定律可知 1 1 2 2PV PV 可解得 21lPPl d h 考虑到 dl hl 则上式可近似为 2 1 1 0 1 1 l d h d h M m gP P P Pl d h l l S 以活塞和物体整体为研究对象 其所受合外力为 2 0 0 dhF P P S M m g P S M m g l 由动量定理可知 Fdt M m dv 将 dhdt v 代 入上式可得 0 dhP S M m g d h M m v d vl 两边积分可得 2 0 2 P S M m gv d h hM m l 物体与活塞分离时满足 2 0 0 1 d h M m gP P PlS 可解得 2 0 M m glhd P S M m g 则此时活塞与物体的速度为 2 2 2 2 2 02 02 2 2 0 2 P S M m g d M m g lP S M m gv d h hM m l P S M m g M m l 则物体上升的最大高度为 2 2 2 2 22 02 0 2 2 P S M m g d M m g lvH g g P S M m g M m l l 4 x t 全国中学生物理竞赛 模拟试题 6 物体与活塞分离后受力可表示为 20 F P P S Mg 将 20 1 d h M m gPPlS 代入上式可得 0 0 P S M m g dF h m g P S M m gll 即活塞做简谐振动 恢复系数为 0 P S M m gK l 令 0F 可得 0 0 m glhdP S M m g 此为该简谐振动的平衡位置 设活塞简谐振动的振幅为 A 则其总能量可表示为 2 2 22 2 01 1 1 2 2 2K A M v K h h 可解得 22 2 2 22 2 0 20 M M M m gA v h h d lK M m P S M m g 八 36 分 一个实心圆柱形导体和一个空圆柱形导体共轴放置 其间为真空 内圆柱半径为 a 外圆柱半径为 b 如图所示 外 圆柱 相对于内 圆柱 有正电位 U 故称阳极 在讨论的空间范围内可以存在一匀强磁场 磁感应强度为 B 方向与柱体中心轴平行 垂直于纸面向外 不考虑导体的感应电荷 若将电子从内柱面放出 电子的质量为 m 电量为 e 讨论下列问题 1 在 B 0 和电子初速度为零的条件下 若不考虑相对论效应 则 电子到达外圆柱内壁时的速度为多大 若 考虑相对论效应 呢 以下各问不考相对论效应 2 若 两柱面之间电压为零 电子以径向初速度 v0从内柱面射出 当磁场超过一个临界值 Bc时 电子将不 能到达阳极 则 Bc为 多少 3 在电场力作用下电子向外圆柱面运动 磁场对电子的作用可使电子获得相对于圆柱中心轴的非零角动量 L 试导出角动量 L 随时间的变化率 L t 进而证明这一表达式意味着 2 L kBer 是一个不随电子运动而变化的守恒量 式中 k是一个无量纲的常数 r是从 柱体 中心轴到电子所在位置的矢径 试确定 k是多少 4 设一电子无 初速度释放后 不能到达阳极 它与 柱体 中心轴的最大距离为 rm rm b 试求电子的最大速度 的大小 5 匀强磁场为 B0时 电子不能到达阳极 则 B0为多少 6 加热内圆柱体 使电子从内圆柱逸出时 其初速度在磁场方向分量为 vB 在径向分量为 vr 逆时针角向分量为 v 在这种情 况下 计算电子刚好到达阳极时的临界磁场 Ba是多少 解析 1 不考虑相对论效应 设电子到达外圆柱内壁时的速度为 v 由动能定理得 212mv eU 可解得 2eUv m 若考虑相对论效应 则有 2 2 2 21 mc mc eU vc 可解得 2 2 21 mcvc mc eU a b B A K 全国中学生物理竞赛 模拟试题 7 2 设电子运动轨迹半径为 R 则由几何关系可知 22a R R b 将 0 C mvR eB 代入可得 0222 C bmvB e b a 3 设电子沿径向的速度为 vr 则有 212 r eBrrLM ev Br eBr t t t 上式可改写为 212 0L eBr t 即 212L eBr 在运动中保持不变 即 12k 4 已知初始时刻电子角动量为零 则有 221122mmeBa m r v eBr 可解得 22 2m meB r av mr 5 若电子刚好不能到达阳极 则有 rm b 2eUv m 将 rm和 v代入 221122m C meB a m r v eB r 可解得 22C b mUB b a e 6 设电子刚好到达阳极时在纸面内的速度为 v 其必定与外圆柱内壁相切 由动能定理可知 2 2 2 2 211 22B B rm v v m v v v e U 由 3 可知 221122aam v a e B a m v b e B b 联立两式可解得 2222 armb e U aB v v ve b a m b