第33届全国物理竞赛复赛试题试题

1 第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 2016年9 月17 日 说明 所有解答必须写在答题纸上 写在试题纸上无效 一 20 分 如图 上 下两个平凸透光柱面的 半径分别为 1 R 2 R 且两柱面外切 其剖面 平 面 分别平行于各自的轴线 且相互平行 各 自过切点的母线相互垂直 取两柱面切点 O 为 直角坐标系 O XYZ 的原点 下侧柱面过切点 O 的母线为 X轴 上侧柱面过切点 O的母线为 Y 轴 一束在真空中波长为 的可见光沿 Z 轴负 方向傍轴入射 分别从上 下柱面反射回来的光线会发生干涉 借助于光学读数显微镜 逆着 Z 轴方向 可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X Y 平面的投影 1 R 和 2 R 远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙 空气折射率为 0 1 00 n 试推导第k 级亮纹在 X Y 平面的 投影的曲线方程 已知 a 在两种均匀 各向同性的介质的分界面两侧 折射率较大 小 的介质为光密 疏 介质 光线在光密 疏 介质的表面反射时 反射波存在 不存在 半波损失 任何情形下 折 射波不存在半波损失 伴随半波损失将产生大小为 的相位突变 b sin 1 xx x 当 二 20 分 某秋天清晨 气温为 4 0 C 一加水员到 实验园区给一内径为 2 00 m 高为 2 00 m的圆柱形不 锈钢蒸馏水罐加水 罐体导热良好 罐外有一内径为 4 00 cm 的透明圆柱形观察柱 底部与罐相连 连接 处很短 顶部与大气相通 如图所示 加完水后 加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜 不溶于水 与罐壁无摩擦 并密闭了罐顶的加水口 此时加水 员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为 1 0 0 m 1 从清晨到中午 气温缓慢升至 24 0 C 问此时 观察柱内水位为多少 假设中间无人用水 水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略 2 从密闭水罐后至中午 罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少 求这个过程中罐内空 气的热容量 2 已知罐外气压始终为标准大气压 5 0 1 01 10 Pa p 水在 4 0 C 时的密度为 33 0 1 00 10 kg m 水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为 41 3 03 10 K 重力加速度 大小为 2 9 80m s g 绝对零度为 273 15 C 三 20 分 木星是太阳系内质量最大的行星 其质量约为地球的 318倍 假设地球与木星均沿 圆轨道绕太阳转动 两条轨道在同一平面内 将太阳 地球和木星都视为质点 忽略太阳系内其 它星体的引力 且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略 已知太阳和木星质量分别为 s m 和 j m 引力常量为G 地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是 e r 和 j r 假设在某个时刻 地球与 太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为 这时若太阳质量突然变为零 求 1 此时地球相对木星的速度大小 ej v 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率 0 v 2 试讨论此后地球是否会围绕木星转动 可利用 1 中结果和数据 30 s 2 0 10 kg m 27 j 1 9 1 0 k g m 木星公转周期 j 12 y T 四 20 分 蹦极是年轻人喜爱的运动 为研究蹦极过程 现将一长 为L 质量为m 当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性 绳的一端系在桥沿 b 绳的另一端系一质量为M 的小物块 模拟蹦 极者 假设M 比m 大很多 以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和 蹦极者的重力向下拉时会显著伸长 但仍在弹性限度内 在蹦极者 从静止下落直至蹦极者到达最下端 但未向下拉紧绳之前的下落过 程中 不考虑水平运动和可能的能量损失 重力加速度大小为g 1 求蹦极者从静止下落距离 y yL 时的速度和加速度的 大小 蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限 2 求蹦极者从静止下落距离 y yL 时 绳在其左端悬点 b 处张力的大小 五 20 分 一种拉伸传感器的示意图如图 a 所示 它 由一半径为 2 r 的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕N 1 N 圈的一层细绳组成 绳柔软绝缘 半径为 1 r 外表面均匀涂有厚度为t 12 trr 电阻率为 的 石墨烯材料 传感器两端加有环形电极 与绳保持良好 接触 未拉伸时 缠绕的绳可视为N个椭圆环挨在一 起放置 该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹3 角为 见图 a 相邻两圈绳之间的接触电阻为 c R 现将整个传感器沿 塑料棒轴向朝两端拉伸 绳间出现n个缝隙 每个缝隙中刚好有一整圈绳 这圈绳被自动调节成由一个未封闭圆环和两段短直线段 与塑料棒轴线 平行 串接而成 见图 b 假设拉伸前后 1 r 2 r t均不变 1 求拉伸后传感器的伸长率 是传感器两电极之间距离的伸长与其原长之比 和两环形电 极间电阻的变化率 2 在传感器两环形电极间通入大小为I 的电流 求此传感器在未拉伸及拉伸后 在塑料棒轴线 上离塑料棒中点 O 距离为D D远大于传感器长度 的 P 点 图中未画出 处沿轴向的磁感应 强度 已知 长半轴和短半轴的长度分别为a和b的椭圆的周长为 3 2 ab ab 其中 0 b 六 20 分 光电倍增管是用来将光信号转 化为电信号并加以放大的装置 其结构如 图 a 所示 它主要由一个光阴极 n个倍增 级和一个阳极构成 光阴极与第 1倍增级 各相邻倍增级及第n倍增级与阳极之间均 有电势差V 从光阴极逸出的电子称为光 电子 其中大部分 百分比 被收集到第 1 倍增级上 余下的被直接收集到阳极上 每个被收集到第i倍增级 1 in 的电子在该电极上又使得 个电子 1 逸出 第i倍增 级上逸出的电子有大部分 百分比 被第 1 i 倍增级收集 其他被阳极收集 直至所有电子被 阳极收集 实现信号放大 已知电子电荷量绝对值为e 1 求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗 已知 1 1 n 2 为使尽可能多的电子从第i 倍增级直 接到达第 1 i 倍增级而非阳极 早期的光 电倍增管中 会施加垂直于电子运行轨迹 所在平面 纸面 的匀强磁场 设倍增级 的长度为a且相邻倍增级间的几何位置如 图 b 所示 倍增级间电势差引起的电场很 小可忽略 所施加的匀强磁场应取什么方 向以及磁感应强度大小为多少时 才能使 从第i 倍增级垂直出射的能量为 e E 的电子 图 b 4 中直接打到第 1 i 倍增级的电子最多 磁感应强度大小为多少时 可以保证在第 1 i 倍增级上至 少收集到一些从第i 倍增级垂直出射的能量为 e E 的电子 七 20 分 两根质量均匀分布的杆 AB 和 BC 质 量均为m 长均为l A端被光滑铰接到一固定点 即 AB 杆可在竖直平面内绕 A点无摩擦转动 开始时 C 点有外力保持两杆静止 A C 在同一水平线 AD 上 A B C 三点都在同一竖直平面内 ABC 60 某时刻撤去外力后两杆始终在竖直平面内运动 1 若两杆在 B 点固结在一起 求 i 初始时两杆的角加速度 ii 当 AB杆运动到与水平线 AD 的夹角为 时 AB 杆绕 A点转动的角速度 2 若两杆在 B 点光滑铰接在一起 即 BC 杆可在竖直平面内绕 B 点无摩擦转动 求初始时两 杆的角加速度以及两杆间的相互作用力 八 20 分 质子是由更小的所谓 部分子 构成的 欧洲大型强子对撞机 LHC 是高能质子 质子对撞机 质子束内单个质子能量为 7 0 TeV E 31 2 1TeV 10 GeV 10 eV 两束能量相同的 质子相向而行对撞碎裂 其中相撞的两个部分子 a b 相互作用湮灭产生一个新粒子 设部分子 a b 的动能在质子能量中所占的比值分别为 a x b x 且远大于其静能 1 假设两个部分子 a b 对撞湮灭产生了一个静质量为 2 s 1 0 TeV c m 的新粒子 S 求 a x 和 b x 的 乘积 ab x x 2 假设新粒子 S产生后衰变到两个光子 在新粒子 S静止的参考系中 求两光子的频率 3 假设新粒子 S产生后在其静止坐标系中衰变到两个质量为 2 A 1 0 GeV c m 的轻粒子 A 每 个 轻粒子 A再衰变到两个同频率的光子 求在这个坐标系中这两个光子动量之间的夹角 已知 sin 1 当 普朗克常量 34 6 63 10 J s h 电子电荷量绝对值 19 1 60 10 C e