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绝密启用前揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：棱锥的体积公式：其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则中元素的个数为A8 B7 C6 D52已知复数，则在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限3“”是 “”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为A. B. C.2 D. 5不等式组表示的平面区域的面积为A. 7 B.5 C. 3 D.146设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A.若；B.若；C.若；D. 若；7将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A. 48 B. 24 C. 20 D. 128非空数集如果满足：；若对有，则称是“互倒集”.给出以下数集： ； ； ； .其中“互倒集”的个数是A.4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9已知，若，则的值为 10已知函数的图象经过点，则其反函数的解析式= 11在ABC中，的对边分别为，若，则_ 12某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 （记，结果用含的代数式表示）13已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长 为 . 15（几何证明选讲选做题）如图1，BE、CF分别为钝角ABC 的两条高，已知则BC边的长 为 图1三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为.（1）求的值； （2）若，求的值.17.(本小题满分12分)图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图. 图2 （1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的数学期望 （图中纵坐标1/300即，以此类推） 图318（本小题满分14分）如图4，已知中，平面，、分别是、的中点（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥B-CDFE的体积V；（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值图419. (本小题满分14分) 已知为数列的前项和，（），且 （1）求的值； （2）求数列的前项和； （3）设数列满足，求证：20. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足， ，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设直线与曲线有唯一公共点，且与直线相交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数，其中,（e2.718） （1）若函数有极值1，求的值； （2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数一、选择题：CBBD ACBC解析：7. 不同的摆法种数为:或8. 集合，当时为空集；集合即，故集合是互倒集；对于集合当时，当时，显然非互倒集；对于集合，且，故集合是互倒集.二、填空题：9. ；10. ；11.；12.；13. 3；14. ；15.解析：12.所求概率.13.由得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令得，故数列是首项，公比的等比数列，又，所以.15依题意得，因BEACFA得,所以 三、解答题：16解：（1）由得-2分（2）解法1：由 得 -3分 ， -4分-6分-8分 -10分-12分17解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示： -3分 -7分（2）设表示事件“此人于当月日到达该市”（ =1,2，10）.则（ =1,2，10）-8分依题意可知，的所有可能取值为0,1,2且P(=0)= P(A5)+P(A6)=, -9分P(=1)= P(A1)+P(A4)+P(A7)+P(A10)=，-10分P(=2)= P(A2)+P(A3) +P(A8)+P(A9) =，-11分所以的数学期望-12分18.（1）证明：AB平面BCD，平面 ，-1分又， ， 平面，-2分又E、F分别是AC、AD的中点，-3分EF平面ABC又平面BEF，平面BEF平面ABC-4分（2）解法1：由（1）知EFCD-5分 -6分-8分.-8分（3）解法1：以点C为坐标原点，CB与CD所在的直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图示，-9分则,-10分设平面BEF的一个法向量为，由得令得，-12分是平面BCD的法向量，设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为，则, 所求二面角的余弦值为-14分19.解：（1）由和可得 -2分（2）解法1：当时，由得，-4分-6分数列是首项，公差为6的等差数列，-7分-8分（3）证明：-10分-11分-13分命题得证-14分20.解：(1)设,由得,-1分又，, , .-3分由得即，曲线的方程式为.-5分（2）解法1：由曲线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设，-6分又设点，由直线与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，由得，-7分直线的方程为，-8分令得，点的坐标为，-9分-10分点在以为直径的圆上，-12分要使方程对恒成立，必须有解得，-13分在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为-14分21.解：（1），-1分若，则对任意的都有，即函数在上单调递减，函数在上无极值；-2分若，由得，当时，当时，即函数在单调递减，在单调递增，函数在处有极小值，.-4分（2）解法1：函数=在区间上为减函数且当时，在上恒成立在上恒成立，-5分设，则-7分当时，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，-8分当时，.-9分（3）证法1：由（2）知，当时，,，-10分对任意的有，-12分，即-14分
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