现代控制理论第13章线性系统的经典辨识方法.ppt

第四篇系统辨识 概述 在实际工程问题中 为了设计和分析一个控制系统 或者为了分析一个对象的动态性质 都必须知道系统或对象的数学模型及其参数 在前面讨论线性系统理论 最优控制理论和最优估计理论时 假定系统的数学模型是已知的 显然 对于自动控制系统的设计研究工作来说 建立对象的数学模型是必不可少的 有的系统的数学模型可用理论分析方法 解析法 推导出来 例如飞行器运动的数学模型 一般可根据力学原理较准确地推导出来 但是 当考虑飞行器运动模型的参数随飞行高度和飞行速度变化时 为了实现对飞行器运动的自适应控制 就要不断估计飞行器在飞行过程中的模型参数 有些控制对象 如化学生产过程 由于其复杂性 很难用理论分析方法推导数学模型 只能知道数学模型的一般形式及其部分参数 有时甚至连数学模型的形式也不知道 因此提出怎样确定系统的数学模型及其参数的问题 即所谓的系统辨识问题 既然有的系统很难用理论分析方法推导出数学模型 只有求助于试验方法 通过试验或系统的运行 得到有关系统模型的信息 经过计算处理 可得系统的数学模型 粗略地讲 系统辨识就是通过试验或运行所得数据 估计出控制对象的数学模型及其参数 较准确地说 系统辨识是根据对已知输入量的输出响应的观测 在指定的一类系统范围内 确定一个与被辨识系统等价的系统 系统辨识的大致过程是 选定和预测被辨识系统的数学模型的类型 试验设计 选择试验信号 记录输入和输出数据 如果系统是连续运行的 不允许施加试验信号 则只好利用正常的运行数据来辨识 参数估计 选择估计方法 根据测量数据估计数学模型中的未知参数 模型验证 验证所确定的模型是否恰当地表示了系统 如果所研究的系统模型合适 则系统辨识到此结束 否则 必须改变系统的模型结构 并且执行 到 直到获得一个满意的模型为止 事实上 为了得到辨识系统的数学模型 往往需要把理论分析方法和系统辨识方法有机地结合起来 例如 通过对被辨识系统工作原理和动态过程的初步分析 用解析大致推导或估计出被辨识系统数学模型的结构型式 甚至包括某些参数及其变化范围 然后用系统辨识的方法将未知部分辨识出来 实践证明 这各互相结合的方法 在工程设计中是最行之有效的 被辨识系统的数学模型 可以分成参数和非参数模型两类 参数模型是由传递函数 微分方程或差分方程表示的数学模型 如果这些模型的阶和系数都是已知的 则数学模型是确定的 采用理论推导的方法得到的数学模型一定是参数模型 建立系统模型的工作 就是在一定的模型结构条件下 确定它的各个参数 因此 系统辨识的任务就是选定一个与实际系统相接近的数学模型 选定模型的阶 然后根据输入和输出数据 用最好的估计方法确定模型中的参数 非参数模型是脉冲响应函数 阶跃响应函数 频率特性表示的数学模型 在这些数学模型中没有明显的参数 非参数模型可通过实验获得 而参数模型又可从非参数模型得到 例如 可从脉冲响应或频率特性 用最小二乘法拟合的方法 得到传递函数 由于非和模型是通过实验获得的 因此事先不需要对模型结构作任何假定 对任何复杂结构的系统都可用非参数模型 为了减小计算量 在选择数学模型时 应使模型的阶尽量低一些 参数尽量少一些 但是 必须保证这个模型能准确地描述系统 对于参数模型的参数估计问题 由于参数估计方法不同 可分为离线辨识和在线辨识两种模式 关于离线辨识 是在系统模型结构和阶数确定的情况下 将全部输入 输出数据记录下来 然后用一定的辨识方法 对数据进行集中处理 得到模型参数的估计 关于在线辨识 它的参数估计也是在系统模型结构和阶数确定的情况下进行的 当获得一批输入 输出记录数据之后 用一定的辨识方法进行处理 得到模型参数的估计值 然后 随着新的输入 输出数据的到来 用递推算法不断修正参数的估值 假如这种递推估值过程进行得很快 那么就有可能获得一定精度的时变系统的参数估值 这种能力称为在线实时辨识 在实现自适应控制的过程中 所进行的参数辨识一定是在线辨识 例如在进行导弹的转弯控制 本篇主要讨论 线性系统的经典辨识方法 最小二乘法辨识 极大似然法辨识 离线辨识和在线辨识各有其特点 离线辨识的参数估计精度高 但要求计算机的储存量大 在线辨识的参数估计精度稍差 计算机的储存量小 第十三章线性系统的经典辨识方法 线性系统的经典辨识包括频率响应法 阶跃响应法和脉冲响应法 其中用得最多的是脉冲响应法 这是因为脉冲响应容易获得 只要在系统的输入端输入单位脉冲信号 则在输出端可得脉冲响应的方法不影响系统的正常工作 实际上 用工程的方法产生理想的脉冲函数是难以实现的 所以在辨识中不用脉冲函数作为系统的输入信号 而用一种称之为M序列的伪随机信号作为试验信号 再用相关处理测试结果 可很方便地得到系统的脉冲响应 因此脉冲响应法得到广泛的应用 第一节脉冲响应的确定方法 相关法 伪随机测试信号是六十年代发展起来的一种用于系统辨识的测试信号 这咱信号的抗干扰性能强 为获得同样的信号量 对系统正常运行的干扰程度比其他测试信号低 目前已有用来做这种试验的专用设备 如果系统设备有数字计算机在线工作 伪随机测试信号可用计算机产生 实践证明 这是一种很有效的方法 特别对过渡过程时间长的系统 优点更为突出 用伪随机测试信号和相关法辨识线性系统时 可获得系统的脉冲响应 本节讨论相关的原理 一个单输入单输出的线性定常系统的动态特性 可用它的脉冲响应函数描述 如图13 1所示 设系统的输入为 输出为 则可用下式表示 设是均值为零的平稳随机过程 则也量均值为零和平稳随机过程 13 1 对于时刻 系统的输出可写为 以乘上式等号两边 再取数学期望 得到 即 式中 设 则 式 13 2 就是著名的维纳 霍夫方程 这个方程给出输入的自相关函数 输入与输出的互相关函数和脉冲响应函数之间的关系 如果已知和 便可确定脉冲响应函数 这是一个解积分方程的问题 一般说来 这个积分方程是很难的 13 2 如果输入是白噪声 则可很容易求脉冲响应函数 这时的自相关函数为 根据维纳 霍夫方程可得 或 13 3 这说明 对于白噪声输入 与只差一个常数倍 这样 只要记录与之值 并计算它们的互相关函数 可立即求得脉冲响应函数 用白噪声辨识系统的模型方块图如图13 2所示 当是均值为零的白噪声 具有各态历经时间性 观测时间充分大时 和的互相关函数可按下式求得 如果对和进行等间隔采样 可得序列 设采样周期为 有 13 4 则 这里 表示两个数值的采样间隔内的周期个数 而前面的连续公式中的是两个数值的采样时间间隔 如果在系统正常运行时进行测试 设正常输入信号为 由引起的输出为 13 5 13 6 13 7 系统的输入由正常输入和白噪声两部分组成 输出由和组成 模拟方块图如图13 3所示 由于和不相关 故与也不相关 积分器的输出为 相关法的优点是不要求系统严格地处于稳定状态 输入的白噪声对系统正常工作的影响不大 对系统模型不要求验前知识 相关法的缺点是噪声的非平稳性分影响辨识的精度 以及要求较长的观测时间等 实际上 白噪声只不过是一个数学上的 抽象 在自然界中严格的白噪声是不存在的 只能产生近似的白噪声 在数字计算机上产生的伪随机二位式序列具有白噪声的特性 是一种近似的白噪声 这种伪随机二位式序列称为M序列 在相关法中用M序列和为测试信号 第二节伪随机二式序列 M序列的产生及其性质 一 伪随机噪声 设是以T为周期的白噪声 即在时间内是白噪声 在此时间外仍是以T为周期重复的白噪声 显然 它的自相关函数为 其周期也为T 常称这种周期性白噪声为伪随机噪声 用伪随机噪声输入被辨识的线性系统 自相关函数和互相关函数如下 式中 13 8 上式表明 仅需计算一个周期的积分 若把式 13 2 改写为 则 则 13 10 13 9 由上式可知 适当选择T 使脉冲响应函数在时衰减到零 那么 于是有 13 11 由此可得结论 若是以T为周期的白噪声 T大于衰减到的时间 则可根据式 13 9 求得 再代入式 13 3 求得系统的脉冲响应 二 离散二位式白噪声序列 由于离散白噪声比连续的白噪声容易产生 所以在系统辨识试验中常用离散的白噪声序列 设随机序列 如果它们的均值为零 方差相同 且互不相关 即 则此随机序列称为离散白噪声序列 如果这个序列中的每个随机变量只有1或 1两种状态 则称此随机序列为离散二位式白噪声序列 当序列充分长时 即N充分大时 离散二位式白噪声序列具有以下三个概率性质 概率性质1 在序列中1出现的次数与 1出现的次数几乎相等 概率性质2 在序列中总的游程个数平均为个 1的游程与 1的游程大约各占一半 即大约为个 N为奇数 表示序列的个数 概率性质3 对于离散二位式无穷随机序列 它的相关函数为 若干个1 或若干个 1 的连续排列称为 游程 一个游程中含有1或 1的个数称为游程长度 例如 一个周期长为15的二位式序列1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 游程总数为8 其中的游程长度为1的共有四个 占总游程数的1 2 游程长度为2的有两个 占总游程数的1 4 游程长度为3和4的都只有一个 各占总游程数的1 8 其中1与 1的个数分别为8和7 只相关1 概率性质2也可以详细地说成 长度为1的游程个数约占总游程数的1 2 长度为2的游程个数占总游程数的1 4 长度为的游程个数占总游程个数的 等等 三 M序列的产生方法 离散二位式随机序列是按照确定的方式产生的 实际上是一种确定性序列 由于它的概率性质与离散二位白噪声序列的三条概率性质相似 故称为伪随机序列 伪随序列有很多种 下面只介绍M序列 用线性反馈移位寄存器产生M序列 移位寄存器以0和1表示两种状态 当移位脉冲输入时 每位的状态 0或1 移到下一位 最后一位 即n位 移出的状态为输出 为了保持连续工作 将移位寄存器的状态经过适当的逻辑运算后 反馈到第一位去作为输入 例如前面所述的周期长度为15的伪随机序列 若将其 1 变为 0 可得到111100010011010 它是由图13 4所示的四级移位寄存器网络产生的 其条件是寄存器的初始状态不全为 0 这个电路的四级寄存器为其中的状态作模2相加 即10 1 01 1 11 0 00 0 然后反馈到的输入端 如果所有寄存器初始状态都是1 第一个移位脉冲输入 使四个寄存器的状态变为0111 第二个移位脉冲输入 则寄存器的为0011 一个周期的变化规律为1111 初态 0111 0011 0001 1000 0100 0010 1001 1100 0110 1011 0101 1010 1101 1110 1111 一个周期中产生15种不同的状态 如果取的状态作为输出的伪随机信号 则这个随机序列为111100010011010 如果一个四级移位寄存器以的状态作模2相加 反馈到的输入端 如图13 5所示 设所有寄存器的初始状态为1 则一个周期内四个寄存器的状态变化规律为1111 初态 0111 0011 1100 1111 共产生六种不同状态 比较上面两种线路可知 由于反馈逻辑运算不同 两者获得的输出序列不相同 前者的周期长度是15 后者的周期长度是6 需要指出 各级寄存器的初始不能全为 0 四级移位寄存器输出序列的最大周期长度 等于所能出现的各种组合状态 各级都是0的组合状态除外 共有组合状态 15种 也即输出序列的最大周期长度等于15 如果一个移位寄存器的输出序列的周期长度达到最大周期长度 这个序列称为最大长度二位式序列或M序列 如果输出序列的周期比最大周期长度小 就不是M序列 级移寄存器产生的序列的最大周期长度为 M序列的相关函数为 上式的证明见下面 当N很大时 M序列的相关函数与离散二位式白噪声序列的相关函数相接近 故可用它作为测试信号 如果线性系统输入连续型白噪声 输入与输出的互相关函脉冲响应函数只差一个常数倍 为了利用这一简单结论 需将对时间离散的M序列改造成对时间连续的二电平M序列 仍然由线性反馈移位寄存器产生M序列 若多位寄存器的输出状态是1 电平取 若输出状态是0 电平取 通常取电压作为电平 表示幅值 设每个基本电平延迟的的阻力N 随机序列的周期T NA 例如 对于M序列 111100010011010 相应的二电平序列一个周期的图形如图13 6所示 四 二电平M序列 移位脉冲间隔A是不变的 电平绝对值也不变 它在每次脉冲开始时变号或不变号 由于上述M序列中1的数目比0的数目多一个 因此在一个序列周期中电平为的脉冲数比电平为的脉冲数多1个 所以在一个周期内 电平为的脉冲数为 电平为的脉冲数为 一个周期序列的数学期望 直流电平 为 13 14 13 15 下面不加推导地给出二电平M序列的自相关函数 如图13 7所示 13 16 是周期性变化的 周期为 当很小时 由图13 7可知 式 13 16 所示的可以近似看成强度的脉冲函数和常值两部分组成 即 由式 13 16 如果 则可得如式 13 13 所示的M序列的自相关函数 13 17 五 二电平M序列的功率谱密度 对式 13 16 求富氏变换 可得二电平M序列的功率谱密度为 式中为狄拉克函数 为基频 当时 下降3dB 即近似地下降3dB 的图形如图13 8所示 从式 13 18 可看出 M序列的功率谱密度与成正比 与序列长度N成反比 在序列周期一定条件下 与采样周期成反比 第三节用M序列辨识线性系统的脉冲响应 利用M序列 由维纳 霍夫程可得 则 13 19 13 20 上式中右边第二项不随而变 记为常值 则 因此 如果已经得到了曲线 如图13 9所示 则将向上平移距离 即得到与成比例的曲线 因为已知量 故可得曲线 13 21 13 22 现在计算 设线性系统输入为二电平M序列 输出信号是平稳随机过程 且具有各态历经性 则互相关函数 对 采用阶梯近似 步长为 则 13 23 因为M序列 其值为 故令为正时取 为负值时取 即 式中sign表示符号函数 于是 因此 只要有了和曲线 根据式 13 23 和式 13 25 改变值 便可求出曲线 13 24 13 25 为了提高的计算精度 可以多测几个M序列的周期 例如 测试个周期 则 按照上面的算法 对应于不同的值 每次只能计算出脉冲响应的一个离散值 如果需要算N个离散值 则要求计算N次才能获得的N个离散值 13 26 13 27 下面推导计算的N个离散值的计算公式 由连续的维纳 霍夫方程 13 2 可得离散的维纳 霍夫方程 式中 为了书写方便 在式 13 28 中 表示 表示 则得 13 28 13 29 设 则根据式 13 29 可得 13 30 13 31 因此 通常 求逆矩阵很麻烦 但是对M序列来说 计算比较容易 由于值为根据式 13 16 得二电平M序列的相关函数为 13 32 13 33 因此式 13 30 中的矩阵为 这个一个N阶方阵 其逆矩阵为 13 34 13 35 把式 13 35 代入式 13 32 得 由式 13 26 可用下式表示 13 36 即 13 37 式中 参照上式 可写成下面形式 13 38 式中 于是 由式 13 36 可得 用M序列做试验时 利用式 13 39 在计算机上离线计算 一次可求系统脉冲响应的N个离散值 这种算法的缺点是数据的存储量大 为了减小数据的存储量 可采用递推算法 下面介绍递推算法 13 39 设进行了次观测 由次观测值得到的用来表示 则 13 40 上式为互相关函数的递推公式 可根据过去的数据求得及新的观测数据及 按式 13 40 递推地算出 由式 13 36 得 考虑到式 13 40 得到脉冲响应的递推公式 即 13 41 按递推公式 13 41 进行计算 可从及新的观测数据得到 所以 利用式 13 41 可对脉冲响应进行在线辨识 随着观测数据的增加 的精度不断增加 最后 应用前面的分析结果 归纳出用M序列辨识线性系统脉冲响应的步骤 二电平M序列是线性反馈移位寄存器的输出 可从计算机直接获得 也可以事先将M序列存入控制计算机 试验时逐步给出 M序列的一些参数 如和必须事先选定 这是试验前应做的准备工作 具体步骤如下 估计系统过渡过程时间和最高工作频率 或截止频率 使M序列的有效频带覆盖辨识系统的重要工作频区 应满足 选择M序列的参数 一般选取 则 13 42 13 43 如果选得太大 则由图13 7可见 的三角形底部太宽 M序列与周期白噪声的自相关函数相差悬殊 如选得太小 当值受到信噪比或线性范围的限制 T一定时 则由式 13 18 可知 的幅值太小 若系统频带较宽 则M序列在主要频区内有效功率下降 在可能的情况下 适当加大a 可进一步减少 以提高M序列的有效频带宽度 通常基本电平的幅值的大小 可以根据被辨识系统的线性范围和允许的信噪比来确定 若取得大一些 抗干扰性能增强一些 但选得过大 会造成系统的非线性失真 例13 1设被辨识系统的 试求M序列的和N值 解由式 13 42 和式 13 43 取 应当指出 对于那些较小的被辨识系统 如飞行器 若按上述方法选择和N值 可能N值太小 如果选 由式 13 43 在这种情况下 可以提高N值 若选 M序列的一个周期为 例如 被辨识系统的 由式 13 42 可得 另外 考虑到数字计算机的采样速率比较高 数字计算机的步长可能会小于M序列的步长 这时可令 式中 取正整数 对于动态响应比较快的被辨识系统 适当提高N值 取 在计算互相关函数时 可以得到更多的被辨识系统输出信号的采样值 从而更充分地反映输出响应的基本特征 提高辨识精度 用电子计算机产生M序列或者把储存在控制机内存的M序列逐步输出 计算互相关函数 由求系统的脉冲响应函数 采用M序列辨识系统的优点是 第一 试验可以在正常工作状态下完成 不需要断开系统 第二 测量时可以避免其他噪声的影响 第四节由脉冲响应求传递函数 一 连续系统传递函数 任何一个单输入 单输出系统都可用差分方程表示 如果系统输入为函数 则输出为脉冲响应函数 因函数只作用于时刻 而在其它时刻系统的输入为零 系统从时刻起有响应 若采样间隔为 设系统用下列阶差分方程来表示 式中为待定的个常数 13 44 根据式 13 44 时间依次延迟 可写出个方程 联立求解上述个方程 可得差分方程的个系数 任何一个线性定常系统 若其传递函数的特征方程的根为 则其传递函数可用下列分式表示 设为待求的系统传递函数 其中和为待求的个未知数 求式 13 45 的拉氏反变换 可得脉冲响应函数 就是说 线性系统的脉冲响应函数可用一组指数函数的线性组合来表示 13 45 13 46 下面写出时刻的脉冲响应函数 将式 13 44 中的换成 并将式 13 46 和式 13 47 代入其中 得 13 47 13 48 要使上式成立 应令各方括弧内之值为零 即 令 则个方括号可用一个式子表示 即 设 则有 13 49 13 51 13 50 13 52 下面求 根据式 13 46 式 13 47 和式 13 51 可得 解上述方程组可得 把求得的和代入式 13 45 便得所求的系统传递函数 例13 2设原系统具有三阶传递函数 其脉冲响应为 设采样间隔的前4个值如下所示 0 01 02 03 00 00 19240 21220 1762 相应的联立方程为 解之得 按式 13 50 得 解之得 则系统极点为 因此脉冲响应为 令和1 得 解之得 因而所求的传递函数为 所求得的传递函数与真实传递函数非常接近 二 离散系统的脉冲传递函数 设系统脉冲传递函数为 根据脉冲传递函数的定义可得 式中为采样间隔 因而有 13 54 将式 13 54 左边的分母的多项式人分别乘其等号的两边得 令上式等号两边同次项的系数相等 当的次数从0至 可得下列矩阵方程 当的次数从至 可得 13 55 13 56 上式左边由组成的方阵为Hankel矩阵 其秩为 所以方程 13 56 有解 可求得脉冲传递函数中分母的各未知数 把求得的代入式 13 55 可求得脉冲传递函数分子中的各未知系数 从而得到脉冲传递函数 已知离散系统的传递函数 脉冲传递函数 可利用采样系统理论中有关变换方法 设 代入表达式 经过换算也可求得连续系统的传递函数 例13 3若已知线性系统为三阶 即结构参数 设采样间隔为0 05s 系统的脉冲响应的采样值为 试求系统的传递函数和 解设脉冲传递函数的形式为 将至的数值代入式 13 56 得 解上式后得 把上述的至及代入式 13 55 解得 于是脉冲传递函数为 的三个特征值为 对应于的特征值 由可直接解出 利用变换求出