全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ A ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_7_对.第二试 （A）一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.解 （1）易求得点的坐标为，设，则，.设P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OAOBOCOD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即. 又，所以，解得. 二（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，FAB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以.连接D、D，则D、D分别是ADC和BDC的平分线，所以DCDADCDB45，故D90，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. 解 因为BN是ABC的平分线，所以.又因为CHAB，所以，因此. 又F是QN的中点，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. 又，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.解法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ A ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_7_对.第二试 （A）一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.解 （1）易求得点的坐标为，设，则，.设P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OAOBOCOD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即. 又，所以，解得. 二（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，FAB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以.连接D、D，则D、D分别是ADC和BDC的平分线，所以DCDADCDB45，故D90，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. 解 因为BN是ABC的平分线，所以.又因为CHAB，所以，因此. 又F是QN的中点，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. 又，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.解法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.