上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题.doc

上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题 （本试卷满分150分 考试时间120分钟） 2012.1考生注意：1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3 可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1设为虚数单位，若复数（）的实部与虚部相等，则实数的值为 .2. 函数的定义域为 .3. 若二项式的展开式中，的系数为，则常数的值为 .4. 若关于的一元二次方程两根异号，则实数的取值范围是 .5. 若，则关于的不等式组的解集为 .6. 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 种.（结果用数值表示）7. 函数在闭区间上的最小值为 .8. 已知向量、的夹角为150，则= .9. 已知圆锥侧面积为cm2，高为cm，则该圆锥底面周长为 cm.10.已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则= .11.已知为锐角，为钝角，则的值为 .12.从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为 .13.记，已知函数是偶函数（为实常数），则函数的零点为 .（写出所有零点）14.已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则的取值集合是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分15下列命题正确的是 ( )（A） , 则()（B） 若数列、的极限都不存在，则的极限也不存在（C） 若数列、的极限都存在,则的极限也存在（D） 设，若数列的极限存在,则数列的极限也存在16. 若、为锐角的两内角，则点是( )(A)第一象限的点 (B)第二象限的点 (C)第三象限的点 (D)第四象限的点17若、都是复数，则“”是“” 的( )(A) 充要条件 (B) 既非充分条件又非必要条件(C) 充分而非必要条件 (D) 必要而非充分条件18若，则，满足的条件是( ) (A)且 (B) 且或且(C) 且， (D) 且三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.（1）已知、为正实数，.试比较与的大小，并指出两式相等的条件；（2）求函数，的最小值.PDCBA20(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥的底面梯形中，.又已知平面，.求：（1）异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥的体积；21(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分. 某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足. 地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求：（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=）22 (本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分. 已知且，数列是首项与公比均为的等比数列，数列满足（）.（1） 求数列的前项和；（2） 如果对于，总有，求的取值范围.23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数，.（1）求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；（2）当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值；（3）对于，研究函数的图像与函数的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.参考答案1； 2； 3 2；4； 5； 68647； 81； 91014； 11 ； 1213； 141518 C D C B19（1）作差比较：-=.4分所以，.6分当时，两式相等. 8分（2）解法1：.3分当，即时，函数取得最大值25. 6分解法2：，令，则,设，则，化简并变形得；因为， 3分当且仅当时等号成立，且时递增，时递减，或时，所以，当即时取得最大值25。 6分PDCBAEF20（1）连接，过点作交于点，因为，所以，从而，2分解法1：延长至，使得，则且，.5分PDCBAEFxzy在中，.8分所以，异面直线与所成角的大小为.9分解法2：建立如图所示的空间直角坐标系.则.所以，5分设异面直线与所成角的大小为，则.8分所以异面直线与所成角的大小为.9分（2）底面梯形面积为.四棱锥的体积为底面积高，3分所以，四棱锥的体积为.6分21（1）地铁营运第年的收入，2分根据题意有：，4分解得9年. （或者，解得10年）答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金. 6分（2）市政府各年为1公里地铁支付费用第1年：；第2年：；.第年：.2分年累计为：，4分将代入得，亿. 8分答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为一公里地铁共支付19541135元费用. 9分22（1）由已知有，.2分所以，5分所以，因为，所以.8分（2）即.由且得.2分所以或3分即或对任意成立，5分而，且，所以或.8分23（1）函数图像的对称轴为.因为在闭区间上是单调函数，所以或.故或. 4分（2）当时，； 当时，； 当时，. 2分所以，分段讨论并比较大小得，当时，有最大值4. 6分（3）公共点的横坐标满足.即是方程=的实数解.设，则直线与有公共点时的横坐标与上述问题等价.当或时，；解方程即，得，；1分当时，.解方程即，得或；2分研究结论及评分示例：（满分6分）结论1：无论取何实数值，点必为两函数图像的公共点. 1分结论2：（对某些具体的取值进行研究）. 2分当时，两图像有一个公共点；当时，公共点有2个，坐标为、；当时，公共点有2个，坐标为、.（对每一个具体的取值，结论正确给1分，总分值不超过2分）结论3：当时，公共点有3个，坐标为、. 4分结论4：叙述完整，结论正确，给满分.具体包括下面几个方面：当时，公共点有2个，坐标为、；当时，公共点有2个，坐标为、.当时，公共点有1个，坐标为.当时，公共点有3个，坐标为、. 6分