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已知：.（1）求; （2）判断此函数的奇偶性; （3）若，求的值.答案：（1）因为所以=（2）由，且 知 所以此函数的定义域为：（-1，1）又由上可知此函数为奇函数.（3）由知得 且 解得 所以的值为：来源：09年湖北宜昌月考一题型：解答题，难度：中档已知函数满足且-1，1时，则与的图象交点的个数是： A3 B. 4 C. 5 D. 6答案：B来源：题型：选择题，难度：中档阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右)上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是。这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。从的定义可得下列性质：与有关的另一个函数是，它的定义是- , 称为的“小数部分”，这也是一个很常用的函数。 问题根据上文可知：的取值范围是 ； -5.2=_；问题求的和。答案：问题：的取值范围是 0 , 1 5.2 = 6 问题： 原式 =9 来源：1题型：解答题，难度：较难定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)= f(x)+ f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+ f(y) (x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)= f(x)+ f(-x)，又f(0)=0，则有0= f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立命题意图与思路点拨：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖来源：1题型：解答题，难度：较难设x，y，zR+，且3x= 4y= 6z。(1)求证：；(2) 比较3x，4y，6z的大小答案：（1）证明：设3x= 4y= 6z=k （k0），则 （2）同（1），；，又x，y，zR+ 既k1 3x4y6z来源：1题型：解答题，难度：较难已知函数对任意实数x都有，且当时，。当时，求的表达式。证明是偶函数。试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。答案： f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有4个实根来源：题型：解答题，难度：较难若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f -1(x)在(-,+ )上也是增函数。答案：设x1x2, 且y1=f -1(x1), y2=f -1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2。即y=f -1(x)在(-,+ )递增。来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档已知函数，当点M（x，y）在的图象上运动时，点N（）在函数的图象上运动.（）求的解析式；（）若函数的极小值为4，求函数的单调区间；（）若在时，恒成立，求参数a的取值范围.答案：（）.（）的单调递增区间为，单调递减区间为.（）.来源：题型：解答题，难度：较难设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0ab, f(a)=f(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b4.答案：证明：（1）依题设，有|lga|=|lgb|，又ab，故lga=-lgb，可得ab=1，从而0a11，故g(b)=b3-3b2-b-1=0 若1b3，则g(b)=b2(b-3)-(b+1)0.仍与式矛盾。综上所述，可知3b0，即+-a，设g(x)= +，因为g(x)在（-,+）递减，所以当x1时，g(x)-a恒成立等价于g(1)-a, 即+-a，化简得-a，所以a的取值范围是a来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？答案：方程等价于. x2+2(a-1)x+a2=0. =4(1-2a) 0，所以a1) 当a时，无解，（2）当a=时，x=不符方程。（3）当a时，x1,2=1-a. 若a=0，则满足方程的解为x1=0, x2=2.）当0a0, x10且，有2个根。）当a0时，x2=1-a-a且。综上所述，当a时无解，当0a0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。答案：由对数性质知，原方程的解x应满足.若、同时成立，则必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 当k=0时，无解；当k0时，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，则k21，所以0k0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.答案：由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档对于正整数a, b, c(abc)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.答案：由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又abc，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档设p, qR+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。答案：令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+记x=，则1+x=x2，解得又0，所以=来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。(1)函数是否属于集合？说明理由；(2)设函数，求的取值范围；(3)设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。答案：(1)若，在定义域内存在，则，方程无解，。 (2)，时，；时，由，得。 (3)，又函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，则，其中。，即。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：中档设aR，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。答案：原方程等价于。即等价于。 令 y1=-x2+5x-3, y2=a, 问题转化为求抛物线弧y1=-x2+5x-3=（1x0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1）求f(x)的反函数f -1(x)；（2）若f -1(n)(nN+)，求a的取值范围。答案：（1）由知得ay=x+，所以两式相加，得x=(ay+a-y)，所以f-1(x)= (ax+a-x).因为x1, 所以0, x+1.所以当0a1时，f-1(x)的定义域为0，+）。（2）当nN+，故n0，由（1）可知，在f-1(n)中a1，由f-1(n)得，解之得an3n. 所以a1，所以1a3.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档（a1b0）（1）求的定义域；（2）判断在其定义域内的单调性；（3）若在（1，）内恒为正，试比较a-b与1的大小答案：（1）由，x0定义域为（0，）（2）设，a1b0在（0，）是增函数（3）当，时，要使，须，a-b1来源：题型：解答题，难度：中档已知:lg2=0.3010，lg3=0.4771，求:650是几位数答案：650是39位数 来源：题型：解答题，难度：中档（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。答案：（1）易知x(2, 6), y. 原方程可变为lg(6-x)=lg2y，由此得y=(x-6)2. 注意到y，故函数y=f(x)=(x-6)2, x(2, 5) (5, 6)，其中图象是抛物线的一部分。（2）当直线y=ax+经过点A（2，8）时，a=，当直线y=ax+经过点B时，a=0，故当0a时与抛物线的AB弧恰有一个公共点。同理，当a0,函数f(x)=()(e是自然对数的底,e2.718)是奇函数.(1) 求a的值;(2) 求f(x)的反函数f -1(x).答案：(1)解法1f (x)是奇函数,f (x)= f (x),即()=(), (a21)(exex)=0,a21=0,a0,a =1.解法2f (x)是R上的奇函数,f (0)=a=0, a0,a =1. 经验证知当a =1时, f (x)是奇函数.(2)由(1)知y=f (x)= (ex),e2x2yex1=0,f (x)的反函数为f 1(x)=l n(y+)(xR).来源：题型：解答题，难度：中档若函数为奇函数，（1）确定的值；（2）（文科）求函数的值域；（3）（理科）若，求的取值范围.答案：（1）因函数的定义域由奇函数的定义，可知而， （6分）（2）（文科），或即函数的值域 （文12分）（3）（理科），由可知 即从而 或 或 （理12分）来源：08年高考武汉市联考一题型：解答题，难度：中档已知a1, b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).答案：ab=(a+b),(a-1)(b-1)=1,故原式为0.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：容易f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y1及u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，试确定所有这样的函数f(x).答案：令x=y1, u=v=，得 f(xk)kf(x). 令y=xk, r=，则f(y) f(yr), 即由，可得f(x)kk=f(x). 令f(e)=c1，由f(x)=f(elnx)=f(elnx)lnr=f(e) =c.另一方面，设f(x)=c(c1)，由柯西不等式得(ulnx+vlny) =1,所以=，即f(xuyv) f(x)f(x).综上所述，f(x)=(c1).来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难已知f（x）=。是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：定义域为R的奇函数；在1，+）上是减函数；最小值是1。若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由。答案：f（x）是奇函数 f（0）=0 得q=1 （1分）又f（x）=f（x） = 即（x2+1）2p2x2=（x2+1）2m2x2 p2=m2 若p=m，则f（x）=0，不合题意。故p=m0 f（x）= （5分）由f（x）在1，+）上是减函数，令g（x）=1=1在1，+）上递增，在（，1也递增，只有m0时，在1，+）上g（x）递增，从而f（x）递减。 （7分）x=1时，在（，1上取得最大值2，此时由f（x）的最小值为1得g（x）的最大值为3。 1=3 得m=1， （10分）从而p=1存在p=1，q=1，m=1。 （12分）来源：题型：解答题，难度：中档对于任意nN+(n1)，试证明：+=log2n+log3n+lognn。答案：证明：首先考察等式右端，其形式启发我们设，（k2, k3, knN），于是等式右端= k2+k3+kn。再研究等式左端，作集合Am=1, 2, , (m=2, 3, , n)，易见Am中有个元素。因为1Am (m=2, 3, , n)，所以1在所有Am中出现了n-1次；又2Am (m=2, 3, , k2)，即2在这些集合中出现了k2-1次；n在这些集合中出现了kn-1次。这样，A2，A3，An的元素个数之和是(n-1)+(k2-1)+(kn-1)=k2+k3+kn，即+= k2+k3+kn。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难已知函数是奇函数。求m的值；判断在区间上的单调性并加以证明；当时，的值域是，求的值。答案：解：（1）m=13分（2）上是减函数；7分当0a1时，要使的值域是，则，；而a1，上式化为 （10分）又当x1时，. 当.因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式，当且仅当时成立.12分.14分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数（1）当时，求函数的定义域；（2）当上的最小值，并求出当时对应的实数a的值.答案：解：（1）当，解得为函数的定义域4分（2）设单调递减；单调递增，单调递增6分 8分当10分若若12分注：单调性的证明也可用定义证明。来源：题型：解答题，难度：中档已知函数（1）若1是关于x的方程的一个解，求t的值；（2）当时，解不等式；（3）若函数在区间上有零点，求t的取值范围.答案：（1） 1是方程f(x)-g(x)=0的解，loga2=loga(2+t)2,(2+t)2=2 又t+20 t+2= t=. （2）t=-1时，loga(x+1)loga(2x-1)2 又0a0 x x解集为：x| （3）解法一：F(x)=tx2+x-2t+2 由F(x)=0得：t=且-1x2） t=设U=x+2 ( 1U4且U2) 则 t=令= 当时，是减函数，当时，是增函数， 且 . 且4. 4-0或04-, t的取值范围为：.解法二：若t=0,则F(x)=x+2在上没有零点.下面就t0时分三种情况讨论： 方程F(x)=0在上有重根x1=x2， 则=0，解得：t= 又x1=x2=，t=.F(x)在上只有一个零点，且不是方程的重根，则有F(-1)F(2)0解得：t1 又经检验：t=-2或t=1时，F(x)在上都有零点；t-2或 t1.方程F(x)=0在上有两个相异实根，则有：t0 t0 0 -1 或 -10 F(-1)0 F(2)0综合可知：t的取值范围为.来源：09年福建师大附中月考一题型：解答题，难度：较难解关于x的方程：loga(x2-x-2)=loga(x-)+1(a0且a1). 答案：解：原方程可化为loga(x2-x-2)=loga(ax-2)2分 4分由得x=a+1或x=0,当x=0时，原方程无意义，舍去.8分当x=a+1由得 10分a1时，原方程的解为x=a+112分来源：题型：解答题，难度：中档已知函数 （1）求函数的定义域；（2）若是两个膜长为2的向量a，b的夹角，且不等式对于定义域内的任意实数x恒成立，求|a+b|的取值范围答案：（1）若原函数有意义，则故（2）因为故函数f（x）的最大值为恒成立，只需故故来源：1题型：解答题，难度：中档已知且,解关于的不等式.答案：原不等式等价于2分即4分8分当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.12分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数f(x)是y=1(xR)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记 F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的解析式及定义域;(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直.若存在，求出A，B坐标;若不存在，说明理由.答案：.解: (1)由y=1，得:x=lg. f(x)=lg，由y=，得y+3=关于y=x1对称的曲线方程x1+3=，得y=g(x).4分F(x)=lg+，定义域(1，1).6分(2) 设F (x)上不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)连线与y轴垂直，设1x1x21，则有y1=y2，又y1y2=F(x1)F(x2)=lg+=lg()+. 10分由1x1x21，1，1，x1x20，(x1+2)(x2+2)0，lg()0，y1y2.不存在直线AB与y轴垂直. ( F(x)在(1，1)上单调递减) 14分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数y=lg(x2+2x+a)（1）若函数定义域为R，求a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求a的取值范围；（3）若函数的值域为0，+，求a的取值范围.答案：解：（1） （2） （3）来源：题型：解答题，难度：较难已知函数答案：首先由在1，上递增。若a1，则若得来源：09年甘肃兰州月考一题型：解答题，难度：中档已知定义在R上的偶函数y=在上单调递减，且，则满足0，故-1xx1. 利用图象可知，满log2x=2-x的x值应是（1，2）内的某个值。来源：08年数学竞赛专题四题型：填空题，难度：中档函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.答案：由-8x-1或1x8.来源：08年数学竞赛专题四题型：填空题，难度：中档读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 .若函数对定义域中的x总有是偶函数；函数的图象关于直线x=2对称；函数的图象关于直线对称；函数的反函数的图象关于点（2，1）中心对称.答案：来源：题型：填空题，难度：中档函数f(x)=的值域为_。答案：。令x-1=t，则f(x)=, t，而g(t)=t+在上是减函数，所以当t时，5t+. 所以来源：08年数学竞赛专题四题型：填空题，难度：中档已知函数f(x)=3x的反函数是f -1(x),且f -1(6)=a+1，则函数y=3 ax (x0,2)的值域为_答案：1，4（提示：f-1(x)=1og3x,f 1 (6)=1og36=a+1,a=1og32,y=3ax=3 log32x = (3log32)x=2x,x0,2,值域为1，4）来源：题型：填空题，难度：中档函数的单调递增区间是_。答案：（-1，0. 函数化为y=，定义域为（-1，1），其单调递增区间为（-1，0。来源：08年数学竞赛专题四题型：填空题，难度：中档方程的解_.答案：2 来源：04年上海春季题型：填空题，难度：中档已知不等式x2-logmx0在x时恒成立，则m的取值范围是_.答案：m. 由题设x20)的图象，显然当两个图象关于点是一个极端位置，此时logm，得出m=, 于是从图象上可看出当m时，符合要求。来源：08年数学竞赛专题四题型：填空题，难度：中档如果log2log(log2x)= log3log(log3x)= log5log(log5z)=0，那么将x, y, z从小到大排列为_.答案：zxy. 由对数性质得x=2, y=3, z=5，利用幂函数的单调性，比较x, y, z的大小，由x6=(2)6=23=8，y6=(3)6=32=9，所以xy.由x10=(2)=25=32，z10=(5)10=52=25，所以zx，因此zxy.来源：08年数学竞赛专题四题型：填空题，难度：中档
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