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2010 年高考数学试题分类汇编 三角函数 2010 上海文数 18 若 的三个内角满足 则 ABCsin si5 13ABC ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 解析 由 及正弦定理得 a b c 5 11 13sin si5 13 由余弦定理得 所以角 C 为钝角02co2 2010 湖南文数 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 c a 则2 A a b B a b C a b D a 与 b 的大小关系不能确定 命题意图 本题考查余弦定理 特殊角的三角函数值 不等式的性质 比较法 属中档题 2010 浙江理数 9 设函数 则在下列区间中函数 不存在 4sin 21 fxx fx 零点的是 A B C D 4 2 0 0 2 4 解析 将 的零点转化为函数 的交点 数形结合可知答 xf xhxg 与12sin4 案选 A 本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点 突出了对转化 思想和数形结合思想的考察 对能力要求较高 属较难题 2010 浙江理数 4 设 则 是 的02x 2sin1x sin1x A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为 0 x 所以 sinx 1 故 xsin2x xsinx 结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相2 同 可知答案选 B 本题主要考察了必要条件 充分条件与充要条件的意义 以及转化思 想和处理不等关系的能力 属中档题 2010 全国卷 2 理数 7 为了得到函数 sin 2 3yx 的图像 只需把函数sin 6yx 的图像 A 向左平移 4个长度单位 B 向右平移 4个长度单位 C 向左平移 2个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 答案 B 命题意图 本试题主要考查三角函数图像的平移 解析 sin 6yx si2 1x sin 3yx sin 6x 所以将i2 的图像向右平移 4个长度单位得到 2 的图像 故选 B 2010 陕西文数 3 函数 f x 2sinxcosx 是 C A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 解析 本题考查三角函数的性质 f x 2sinxcosx sin2x 周期为 的奇函数 2010 辽宁文数 6 设 函数 的图像向右平移 个单位后0 sin 23yx 43 与原图像重合 则 的最小值是 A B C D 32343 解析 选 C 由已知 周期 24 2T 2010 辽宁理数 5 设 0 函数 y sin x 2 的图像向右平移 个单位后与原图 334 像重合 则 的最小值是 A B C D 3 23432 答案 C 命题立意 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性 考查了同 学们对知识灵活掌握的程度 解析 将 y sin x 2 的图像向右平移 个单位后为 3 34 所以有 2k 即4sin 2yx sin 2x 43 又因为 所以 k 1 故 所以选 C32k0 k 2010 全国卷 2 文数 3 已知 则2sin3 cos 2 x A B C D 5 195 解析 B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3 21cos 2 cos 1sin 9 2010 江西理数 7 E F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点 则 tanECF A 1627 B 3 C D 34 答案 D 解析 考查三角函数的计算 解析化应用意识 解法 1 约定 AB 6 AC BC 由余弦定理 CE CF 再由余弦210 定理得 4cos5ECF 解得 3tan 解法 2 坐标化 约定 AB 6 AC BC F 1 0 E 1 0 C 0 3 利用向量的夹角公式32 得 解得 4cos5ECF tan4ECF 2010 重庆文数 6 下列函数中 周期为 且在 上为减函数的是 42 A B sin 2 yx cos 2yx C D 解析 C D 中函数周期为 2 所以错误 当 时 函数 为减函数 4x 3 x sin 2 yx 而函数 为增函数 所以选 Aco 2010 重庆理数 6 已知函数 sin 0 2yx 的部分 图象如题 6 图所示 则 A 1 6 B 1 6 C 2 D 2 6 解析 2 T 由五点作图法知32 6 2010 山东文数 10 观察 由归纳推理可得 若定义在2 x 4 3 x cos inx 上的函数 满足 记 为 的导函数 则 R fxff gf g A B C D xx 答案 D 2010 北京文数 7 某班设计了一个八边形的班徽 如 图 它由腰 长为 1 顶角为 的四个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组 成 该八边形的面积为 A B 2sincos2 sin3cos C D 311 答案 A 2010 四川理数 6 将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度 再把所得各点sinyx 10 的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是w w w k s5 u c o m A B w w w k s 5 u c o msin 10yx i 2 5 C D 1sn0yx 解析 将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度 所得函数图象的解析式为siyx y sin x w w w k s 5 u c o m10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 sin 2 答案 C 2010 天津文数 8 为了得到这个函数的图象 只5yAsinxR6 右 图 是 函 数 在 区 间 上 的 图 象 要将 的图象上所有的点iR A 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短3 到 原来的 倍 纵坐标不变12 B 向左平移 个单位长度 再把所 得各点的横坐标伸长 到 原来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变6 12 D 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识 属于中等题 由图像可知函数的周期为 振幅为 1 所以函数的表达式可以是 y sin 2x 代入 0 可得 的 6 一个值为 故图像中函数的一个表达式是 y sin 2x 即 y sin2 x 所以只需将 y sinx x R 3 3 6 的图像上所有的点向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 6 12 温馨提示 根据图像求函数的表达式时 一般先求周期 振幅 最后求 三角函数图像进行平移变 换时注意提取 x 的系数 进行周期变换时 需要将 x 的系数变为原来的 2010 天津理数 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 23abc 则 A sin23siCB A B C D 006012015 答案 A 解析 本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用 属于中等题 由由正弦定理得 23cbcR 所以 cosA 所以 A 300 22 a3bc 332bc 温馨提示 解三角形的基本思路是利用正弦 余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算 2010 福建文数 2010 福建文数 2 计算 的结果等于 12sin 5 A B C D 1 332 答案 B 解析 原式 故选 B 2cos45 命题意图 本题三角变换中的二倍角公式 考查特殊角的三角函数值 2010 全国卷 1 文数 1 cs30 A B C D 32 123 1 C 命题意图 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 解析 1cos0s60cos62 2010 全国卷 1 理数 2 记 那么 8 ktan0 A B C D 2k 2k 21 21k 2010 四川文数 7 将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度 再把所得sinyx 10 各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是高 考 资 源 网 A B sin 10yx si 2 5 C D y 1sin 20 x 1sin 20yx 解析 将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度 所得函数图象的解析式为 y sin x w w w k s5 u c o m10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 sin 2 答案 C 2010 湖北文数 2 函数 f x 的最小正周期为3sin 24xR A B x C 2 D 42 答案 D 解析 由 T 4 故 D 正确 21 2010 湖南理数 6 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 则2ca A a b B a06 g x 2cos 1 全相同 若 则 的取值范围是 x 0 2 f 答案 3 解析 由题意知 因为 所以 由三角函数图象知 x 0 2 5x 6 的最小值为 最大值为 所以 的取值范围是 f x 3sin 6 sin 3f 3 2 2 2010 江苏卷 10 定义在区间 上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交点为 P 过点 P 20 作 PP1 x 轴于点 P1 直线 PP1 与 y sinx 的图像交于点 P2 则线段 P1P2 的长为 解析 考查三角函数的图象 数形结合思想 线段 P1P2 的长即为 sinx 的值 且其中的 x 满足 6cosx 5tanx 解得 sinx 线段 P1P2 的长为33 3 2010 江苏卷 13 在锐角三角形 ABC A B C 的对边分别为 a b c 则6cosaC tantCAB 解析 考查三角形中的正 余弦定理三角函数知识的应用 等价转化思想 一题多解 方法一 考虑已知条件和所求结论对于角 A B 和边 a b 具有轮换性 当 A B 或 a b 时满足题意 此时有 1cos3C 21costn2C 2tan 4 1tant2tanABC tantAB 方法二 26coscsbbCb 222236 abccab 2tantininosin 1sinsscsicoCBAABCA AB 2010 年高考数学试题分类汇编 三角函数 2010 上海文数 19 本题满分 12 分 已知 化简 02x 2lg costan1si lg cos lg 1sin2 2xxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 2010 湖南文数 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sinifxx I 求函数 的最小正周期 II 求函数 的最大值及 取最大值时 x 的集合 fx fx 2010 浙江理数 18 本题满分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1cos24C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解析 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 解 因为 cos2C 1 2sin2C 及 0 C 14 所以 sinC 104 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 得acsinAiC c 4 由 cos2C 2cos2C 1 J 及 0 C 得14 cosC 6 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 b 12 0 解得 b 或 26 所以 b b 6 c 4 或 c 4 2010 全国卷 2 理数 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边 上的一点 3BD 5sin13 3cos5ADC 求 命题意图 本试题主要考查同角三角函数关系 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用 考查 考生对基础知识 基本技能的掌握情况 参考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 点评 三角函数与解三角形的综合性问题 是近几年高考的热点 在高考试题中频繁出现 这类题型难 度比较低 一般出现在 17 或 18 题 属于送分题 估计以后这类题型仍会保留 不会有太大改变 解决此 类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求边角或将边角互化 2010 陕西文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 22ADC 1036912 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsiBAD AB 310ii6256ss45AD 2010 辽宁文数 17 本小题满分 12 分 在 中 分别为内角 的对边 BC abc ABC 且 2sin sin 2 sinAb 求 的大小 若 试判断 的形状 i1 解 由已知 根据正弦定理得 cbca 2 2 即 bca 22 由余弦定理得 Acos2 故 10 2cosA 由 得 sinsinisin22CB 又 得sin CB1B 因为 90 0CB 故 C 所以 是等腰的钝角三角形 A 2010 辽宁理数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且2sin sin 2 sin aBcb 求 A 的大小 求 的最大值 i 解 由已知 根据正弦定理得 2 2 abcbc 即 22abc 由余弦定理得 2cosA 故 A 120 6 分1cos2A 由 得 insin 60 BCB 31cosin2i 60 B 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 12 分 2010 全国卷 2 文数 17 本小题满分 10 分 中 为边 上的一点 求 ABCD3D 5sin13B3cos5ADC 解析 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 由 与 的差求出 根据同角关系及差角公式求出 的正弦 在三角形 ABD 中 由 BA 正弦定理可求得 AD 2010 江西理数 17 本小题满分 12 分 已知函数 21cotsinisin4fxxmx 1 当 m 0 时 求 fx在区间 38 上的取值范围 2 当 tan2 时 35fa 求 m 的值 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 已知三角函数值求值问题 依托三角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中等题 解 1 当 m 0 时 22cos 1cos2in 1 insiinsx xfxxx 由已知 得 2sin 4 3 84 从而得 的值域为 fx12 0 2 2cos1insi sin 4fxmx 化简得 1 1 co 2x 当 得 tan 22sitasinn5a 3cos2a 代入上式 m 2 2010 安徽文数 16 本小题满分 12 分 ABC 的面积是 30 内角 ABC所对边长分别为 abc 12os3A 求 若 求 a的值 1cb 命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用余弦定理解三 角形以及运算求解能力 解题指导 1 根据同角三角函数关系 由 得 的值 再根据 面积公式得12cos3A sinABC 直接求数量积 由余弦定理 代入已知条件 及56bc ABC coab 1cb 求 a 的值 解 由 得 12os3215sin 3 又 in0bcA 56bc 12os43BC 22caA 12 cos 156 53bA 5 规律总结 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求 的值 考虑已知 ABC 的面积是 30 bc 所以先求 的值 然后根据三角形面积公式得 的值 第二问中求 a 的值 根据第一问12cos3A sinA 中的结论可知 直接利用余弦定理即可 2010 重庆文数 18 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 且 3 3 3 4 bc 2c2a 求 sinA 的值 求 的值 2sin si 441co2 2010 浙江文数 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 223 4Sabc 求角 C 的大小 求 的最大值 sinAB 2010 重庆理数 16 本小题满分 13 分 I 小问 7 分 II 小问 6 分 设函数 2coscos 3xfxR I 求 的值域 f II 记 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 若 1 b 1 c 求 a 的值 fB3 2010 山东文数 17 本小题满分 12 分 已知函数 的最小正周期为 2 sin cosfxxx 0 求 的值 将函数 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到函数 yf 12 的图像 求函数 在区间 上的最小值 ygx gx 0 16 2010 北京文数 15 本小题共 13 分 已知函数 2 cosinfxx 求 的值 3 求 的最大值和最小值 fx 解 22cosin3 314 1 cos fxxx 2cs R 因为 所以 当 时 取最大值 2 当 时 去最小值 ox cs1x fxcos0 x fx 1 2010 北京理数 15 本小题共 13 分 www ks 已知函数 x f2cosin4cosx 求 的值 3f 求 的最大值和最小值 x 解 I 239 2cosin4cos134f II 21 xxx 2cs 73 o 3x xR 因为 cs 1 所以 当 时 取最大值 6 当 时 取最小值x fx2cos3x fx73 2010 四川理数 19 本小题满分 12 分 证明两角和的余弦公式 1 C cos cssin 由 推导两角和的正弦公式 2 C Sincosi 已知 ABC 的面积 且 求 cosC 1 32SAB 35csB 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力 解 1 如图 在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出角 与 使角 的始边为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 终边交 O 于 P3 角 的始边为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P 4 cos sin w w w k s5 u c o m 由 P1P3 P 2P4 及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos sin sin cos 2 sin cos cos 2 cos cos sin sin sin cos cos sin 6 分 2 由题意 设 ABC 的角 B C 的对边分别为 b c 则 S bcsinA 12 bccosA 3 0w w w k s5 u c o mABC A 0 cosA 3sinA2 又 sin2A cos 2A 1 sinA cosA 10310 由题意 cosB 得 sinB 354 cos A B cosAcosB sinAsinB w w w k s5 u c o m 10 故 cosC cos A B cos A B 12 分 2010 天津文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cosC 证明 B C 若 求 sin 的值 csA134B3 解析 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦与余 弦等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即sinBCco sin B C 0 因为 从而 B C 0 BC 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 13 又 0 2B ACOOAC 故 且 对 于 线 段 上 任 意 点 P有 O 能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相遇 设 OD D 9 103tanRtD 则 在 中 103cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 和 tt cstv 所以 解得 103tan 103cosv 1533 0 sin sin 2vv 又 故 从而 值 且最小值为 于是 9 ta 由 于 时 取 得 最 小 3 当 取得最小值 且最小值为 30 时 103tnt 2 此时 在 中 故可设计航行方案如下 OAB 20AB 航行方向为北偏东 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 2010 安徽理数 16 本小题满分 12 分 设 是锐角三角形 分别是内角 所对边长 并且ABC abc ABC 2 2sini sin sin3B 求角 的值 若 求 其中 1 7ABCa bcc 2010 江苏卷 17 本小题满分 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔 的实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用 1 同理 tantanHHAD tanHAB tanhD AD AB DB 故得 解得 tth 41 24tt0 因此 算出的电视塔的高度 H 是 124m 2 由题设知 得 dAB tan tHhdADBd 2tatan 1t 1hH 当且仅当 时 取等号 2 Hhdh 152dHh 故当 时 最大 5 tan 因为 则 所以当 时 最大 02 02 故所求的 是 m d 2010 江苏卷 23 本小题满分 10 分 已知 ABC 的三边长都是有理数 1 求证 cosA 是有理数 2 求证 对任意正整数 n cosnA 是有理数 解析 本题主要考查余弦定理 数学归纳法等基础知识 考查推理论证的能力与分析问题 解决问题的 能力 满分 10 分 方法一 1 证明 设三边长分别为 是有理数 abc 22osbcaA bc 是有理数 分母 为正有理数 又有理数集对于除法的具有封闭性 22bca 2 必为有理数 cosA 是有理数 2 当 时 显然 cosA 是有理数 1n 当 时 因为 cosA 是有理数 也是有理数 2coss1A cos2A 假设当 时 结论成立 即 coskA 均是有理数 k cos 1 k 当 时 1n cs1csoinkA 1cos 1 cos cos cos 2kAkkAkA 12 解得 cos 1 coscos kkk cosA 均是有理数 是有理数 A cos 1 AkA 是有理数 cos 1 k 即当 时 结论成立 n 综上所述 对于任意正整数 n cosnA 是有理数 方法二 证明 1 由 AB BC AC 为有理数及余弦定理知 是有理数 22cosABC 2 用数学归纳法证明 cosnA 和 都是有理数 sinA 当 时 由 1 知 是有理数 从而有 也是有理数 nco 2sin1cosAA 假设当 时 和 都是有理数 k skik 当 时 由 1n co1cosinsA si sin s i cos ins coAkkkAkAkA 及 和归纳假设 知 和 都是有理数 is1 即当 时 结论成立 1k 综合 可知 对任意正整数 n cosnA 是有理数