高三数学总复习：导数及其应用.doc

高三数学总复习： 导数及其应用第一节导数的概念及其运算一、选择题1如果质点A按规律s2t3运动，则在t3 s时的瞬时加速度为 () A18 B24C36D542 (2008年辽宁卷)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的 取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 () A. B. C. D.3 设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)(nN)，则f2009(x)() Asin x Bsin x Ccos x Dcos x4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为() A.e2 B2e2 Ce2 D.5 若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a 等于 () A1或 B1或 C或 D或7二、填空题6半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0， )上的变量，则2r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于 的式子：_，式可以用语言叙述为：_.7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.8若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是 三、解答题9 如右图所示，已知A为抛物线C：y2x2上的点，直 线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：xa交抛 物线C于点B，交直线l1于点D. (1)求直线l1的方程； (2)求ABD的面积S1.10已知函数fxb，其中a，bR. (1)若曲线yf在点P处的切线方程为y3x1，求函数f的解析式； (2)讨论函数f的单调性； (3)若对于任意的a，不等式f10在上恒成立，求b的取值范围参考答案1C2解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题依题设切点P的横坐标为 x0，且y2x02tan(为点P处切线的倾斜角)，又， 02x021，x0. 答案：A3C4解析：y(ex)ex，曲线在点(2，e2)处的切线斜率为e2，因此切线方程为ye2 e2(x2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，e2)，所以：SAOB1e2. 答案：D5 解析：设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，)，所以切线方程为y3x(x x0)即y3xx2，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与y ax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可 得a1. 答案：A6 解析：V球R3，又(R3)4R2，故式可填(R3)4R2，用语言叙述为“球 的体积函数的导数等于球的表面积函数” 答案：(R3)4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数748解析：由题意可知f(x)2ax2， 又因为存在垂直于y轴的切线， 所以2ax20a(x0)a(，0) 答案：(，0)9解析：(1)由条件知点A为直线l1与抛物线C的切点， y4x，直线l1的斜率k4， 即直线l1的方程为y24(x1)，即4xy20. (2)点A的坐标为(1,2)， 由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)， 点D的坐标为(a，4a2)，ABD的面积S1为 S1|2a2(4a2)|1a| |(a1)3|(a1)3.10解析：(1)f(x)，由导数的几何意义得f(2)3，于是a8. 由切点P(2，f(2)在直线y3x1上可得2b7， 解得b9.所以函数f(x)的解析式为f(x)x9. (2)f(x). 当a0时，显然f(x)0(x0)这时f(x)在(，0)，(0，)上是增函数 当a0时，令f(x)0，解得x. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，0)(0, )(，)f(x)00f(x)极大值极小值 所以f(x)在(，)，(，)内是增函数， 在(，0)，(0，)内是减函数 (3)由(2)知，f(x)在上的最大值为与f(1)的较大者， 对于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立， 当且仅当，即，对任意的a成立 从而得b，所以满足条件的b的取值范围是.第二节 导数在研究函数中的应用一、选择题1设f、g是R上的可导函数，f、g分别为f、g的 导函数，且fgfg0，则当axfg Bfgfg Cfgfg Dfgfg4 设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系 中，不可能正确的是 () 5 已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x都有f(x) 0，则的最小值为 () A3 B. C2 D.4.已知函数f(x)的定义域为2,4，且f(4) f(2)1，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如下图所示则平面区域所围成的面积是() A2 B4 C5 D85 已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x(， 0)时不等式f(x)xf(x)0成立， 若a30.3f(30.3)，b(log3)f(log3)，c ，则a，b，c的大小关系是() Aabc Bcba Ccab Dacb二、填空题6函数f(x)x22ln x的单调减区间是_7若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_8有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙 脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为_三、解答题9已知函数f(x)x2ln x1. (1)求函数f(x)在区间1，e(e为自然对数的底)上的最大值和最小值； (2)求证：在区间(1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方 (3)(理)求证：f(x)nf(xn)2n2(nN*)10已知a为实数，f(x)(x24)(xa) (1)若f(1)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值； (2)若f(x)在(，2和2，)上都是递增的，求a的取值范围参考答案1C2.D3解析：f(x)2axb，f(0)b0对于任意实数x都有f(x)0得a0，b24ac0， b24ac， c0，11112，当取ac时取等号 答案：C4B5.C6解析：首先考虑定义域(0，)，由f(x)2x0及x0知0x1. 答案：(0,17 解析：由题意可知f(x)x0在x(1，)上恒成立，即b0.函数f(x)在1，e上为增函数， f(x)maxf(e)e2，f(x)minf(1). (2)证明：令F(x)f(x)g(x)x2ln x1x3 则F(x)x2x2. 当x1时F(x)0，函数F(x)在区间(1，)上为减函数， F(x)F(1)10， 即在(1，)上，f(x)g(x) 在区间(1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方 (3)(理)证明：f(x)x， 当n1时，不等式显然成立；当n2时，f(x)nf(xn)Cxn2Cxn3C，f(x)nf(xn)CCCxn2，得f(x)nf(xn)(当且仅当x1时“”成立) 当n2时，不等式成立 综上所述得f(x)nf(xn)2n2(nN)10解析：(1)由原式得f(x)x3ax24x4a， f(x)3x22ax4. 由f(1)0得a， 此时有f(x)(x24)，f(x)3x2x4. 由f(x)0得x或x1， 当x在2,2变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(2，1)1f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增 f(x)极小，f(x)极大f(1)， 又f(2)0，f(2)0， 所以f(x)在2,2上的最大值为，最小值为. (2)法一：f(x)3x22ax4的图象为开口向上且过点(0，4)的抛物线， 由条件得f(2)0，f(2)0， 即，2a2. 所以a的取值范围为2,2 法二：令f(x)0即3x22ax40，由求根公式得：x1,2(x10，若dx6，则t_.答案：37设函数f(x)ax2c(a0)若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_解析：f(x)dx(ax2c)dxcaxc，0x01，x0.答案：8由曲线yx21，xy3及x轴，y轴所围成的区域的面积为：_.解析：如下图，S(1x2)dx(3x)dx.答案：三、解答题9如下图所示，已知曲线C1：yx2与曲线C2：yx22ax交于点O、A，直线xt与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连结OD，DA，AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式Sf；(2)求函数Sf在区间上的最大值解析：(1)由得点O，A.又由已知得B，D.故Sdxtt2t3t3t32at2a2tt3at2a2t.Sft3at2a2t.(2)ft22ata2，令f0，即t22ata20，解得ta或ta.01，ta应舍去若a1即a时，0t1，f0.f在区间上单调递增，S的最大值是fa2a.若a1，即1a时，当0t0，当at1时，f0.f在区间上单调递增，在区间上单调递减f的最大值是f3a2a2aa3.综上所述，max7 若函数f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)4，f(1)1，f(x)dx3，求函数f(x)的解析式解析：由题意知f(1)abc4，f(1)2ab1.又由f(x)dx(ax2bxc)dx3，知c3.联立，解得：a1，b3，c2，从而所求的函数f(x)的解析式为f(x)x23x2.