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山东科技大学20112012学年第一学期概率论与数理统计考试试卷（A卷）班级 姓名 学号 题号一二三总得分评卷人审核人得分一、计算题（共18分）1、(6分)设随机事件及的概率分别为及，计算（1） (2) 2、（6分）甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？3、（6分）甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 甲机器生产的零件是乙机器生产的两倍，今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率。二、解答题（共64分）1、（8分）设连续性随机变量的密度函数为，计算（1）求常数的值； （2）求随机变量的分布函数； （3）计算。2、（10分）二维随机变量的联合密度函数，求（1）常数K； （2）的边缘密度函数； （3）计算。3、（10分）设二维随机变量的密度函数为问与是否独立？是否不相关？4、（8分）设与独立同分布，且求的概率密度。5、（10分）用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度为随机变量，分布分别为和（单位：V）.某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数据分别为和并算得（1） 检验的方差有无明显差异（取）.（2） 利用(1)的结果，求的置信度为0.95的置信区间.6、（10分）设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。7、（8分）一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布。记，求的近似值。三、证明题（共18分）1、（6分）设随机变量,证明.2、（6分）设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。3、（6分）设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度附表： 山东科技大学20092010学年第二学期概率论与数理统计考试试卷（A卷）班级 姓名 学号 题号一二三总得分评卷人审核人得分一、填空题（每空2分，共26分）1设,为随机事件，且, , 若事件与互斥, 则= ；若事件与独立，则= 。2若, , 则 。3 均匀正八面体两个面涂红色，两个面涂白色，四个面涂黑色，分别用、和 表示掷一次该正八面体，朝下的一面为红色、黑色和白色，则分布函数为_，的分布列为 。4设连续型随机变量的分布函数为，则= ， 处的条件为 ； 处的条件为 。5设，均服从正态分布，与的相关系数为0，则 ；方差 。6设总体均服从 分布且 来自总体的简单随机样本，则统计量服从 分布；服从 分布；服从 分布。二、选择题（每题3分，共18分）1若用事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则事件表示（ ）。 甲产品滞销，乙产品畅销； . 甲、乙两产品均畅销；. 甲产品滞销； 甲产品滞销或乙产品畅销2设两事件与满足P(B|A)=1, ，则（ ）正确。. 是必然事件； . ；. AB ； . 3设随机变量X与Y均服从正态分布，XN(,16)，YN(,25),记PX-4=,PY+5=, 则（ ）正确。. 只对的个别值才有 =； . 对任意实数，均有；. 对任意实数，均有=； . 对任意实数，均有4设是独立同分布的随机变量序列，存在。若令， ，则的值分别为. 1, ； . 0.5, ； . 1, ； . 1, 0.55若，则（）正确。； ；与独立； 与不独立.6由来自正态总体，容量为的简单随机样本，得到样本方差，则未知参数的置信度为的置信区间为（）。(已知). ； . ； . ； . 三、计算与证明题（1、2、3、5题每题10分，4题16分，共56分）1设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机地选一地区，然后从选出的地区先后任取两份报名表， (1) 求先取的那份报名表是女生的概率； (2) 已知后取到的报名表是男生的，求先取的那份报名表是女生的概率。2设的联合密度为 （1）求和的边缘密度函数； （2）求概率.3设随机变量与相互独立，均服从参数为的指数分布,求（1）的概率密度函数； （2）的概率密度函数。4设总体（U为均匀分布），来自总体的样本为（1）证明的矩估计量和极大似然估计量；（2）证明的密度函数为；（3）令证明与均是的无偏估计；并比较与的有效性。5. 某工厂采用新法处理废水，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度，得到10个数据：22，14，17，13，21，16，15，16，19，18. （单位：mg/L）而以往用老方法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19. 欲检验新方法是否比老法效果好，假设检验水平 有毒物质浓度 （1）证明在显著性水平下，假设检验的一个拒绝域为；（2）显著性水平下，能否认为新方法是否比老法效果好？ （）山东科技大学20092010学年第二学期概率论与数理统计考试试卷（B卷）班级 姓名 学号 题号一二三总得分评卷人审核人得分一、填空题（每空2分，共24分）1若在区间（0，1）内随机取两个数和，则的分布密度函数为 ；事件“这两数之和小于”的概率为 。2设随机事件,满足，则， 。3设两随机变量与的方差分别是4和9 ，相关系数为0.5，则 ， 。4设离散型随机变量的分布函数为： 且，则。5设是独立同分布的随机变量序列，存在。若令，则 ， 。（已知）6设总体X服从正态分布，而是来自该总体的简单随机样本，则 服从 分布；服从 分布。二、选择题（每题3分，共18分）1袋中有5个球（3个新球2个旧球）每次取一个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概率是（ ） (A)； (B)； (C) ； (D)。2设两事件与互斥，且P（A）0，P（B）0，则（ ）正确（A）与互斥 （B） 与互不相容（C） P（AB）=P（A）P（B） （D） P（A-B）=P（A）3已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数的值可取为（ ）。 （）； （）；（）； （）。4设随机变量，则随的增大，概率应（ ）(A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定。5若随机变量和的协方差等于0，则以下结论正确的是（ ）。 （）和相互独立； （）； （）； （）。6设总体，据来自的容量为的简单随机样本，测得均值为，则的置信度等于的置信区间为（）。() (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。三、计算与证明题（1题10分，2、3、4、 5题每题12分，共58）1某工厂生产的机床包括车床、钻床、磨床、刨床，它们的台数之比为9:3:2:1，在使用期间每台车床、钻床、磨床、刨床需要修理的概率分别为0.1、0.2、0.3、0.1。（1）任取一台机床，求它在使用期间需要修理的概率；（2）当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ 2设随机变量与独立，均服从，试求和的分布密度函数。3设的联合密度函数为 试求：（1）常数；（2）边际分布；（3）判断与是否相互独立.4 设总体，其中为未知参数，为样本，求的矩估计和极大似然估计，并验证所求矩估计的无偏性。5某部门对当前鸡蛋价格是否存在较大波动进行市场调查，假设设鸡蛋价格（单位：元/斤）服从正态分布，即，根据过去统计，鸡蛋价格标准差，现抽查个市场，得样本方差的观测值为，（1）证明在显著性水平下，假设检验的一个拒绝域为（2）若，和，则在显著性水平下，能否认为鸡蛋价格存在较大波动？ (，)山东科技大学20102011 学年第 一 学期概率论与数理统计考试试卷（B卷）班级 姓名 学号 题号一二三四五六七八总得分评卷人审核人得分一、填空题（每题5分，共15分）1、设相互独立，若，且，则_。2、设随机变量服从参数为2的指数分布，令，则_。3、设，其中是来自正态总体的简单随机样本，为使分布，则_，_。二、选择题（每题5分，共15分）1、设分别为随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，应取下列何值。、 ，、 ， 、 ， 、。 答（ ）2、设随机变量，且，相互独立，若令，则下列结论正确的是：、，、，、，、。答（ ）3、设总体，是来自总体的简单随机样本，为使是的无偏估计量，则的值为：、 ， 、 ， 、， 、。 答（ ）三、（10分）三个人独立破译一份密码，已知各人能破译出的概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三人中恰有一人能破译出密码的概率；（2）至少有一人能破译出密码的概率。四、（10分）设随机变量，试求的概率密度函数。1/81/81/81/81/81/81/81/8五、（12分）设二维随机变量的分布率为求：（1）、；（2）； （3）；（4）判断是否相互独立，并说明原因。六、（16分）设二维随机变量的联合概率密度为 ，求：（1）常数；（2）关于的边缘密度函数；（3）是否相互独立； （4）的密度函数。七、（12分）已知总体的概率密度为 ，其中已知，为未知参数，为来自的一个样本，为相应的样本值。求未知参数的最大似然估计量与最大似然估计值。八、（10分）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg）. 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （）附表：山东科技大学20102011学年第二学期概率论与数理统计考试试卷（A卷）班级 姓名 学号 题号一二三四五总得分评卷人得分一、填空题（每小题5分，共15分）1、设，则 。2、设，且与独立，则 。3、设满足，则由契比雪夫不等式有 。二、单项选择题（每小题5分，共15分）1、设随机变量，则方程没有实根的概率为（ ）。； ； ； 。2、设总体，其中均未知。现随机抽取样本容量为16的一个样本，算得样本均值，样本标准差，则的置信水平为0.90的置信区间是（ ）。 3、与相互独立，则 ； ； ； 。三、计算题（每小题10分，共30分）1、某仓库有同种产品6箱，其中3箱、2箱、1箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，三厂的次品率分别为，现从6箱中任取一箱，再从取得的一箱中任取一件产品，试求：（1）取得的产品是次品的概率；（2）若已知取得的是一件次品，试求是丙厂生产的概率。 2、已知随机变量，令，试求：（1）；（2）；（3）。3、设随机变量的概率密度为， 试求：（1）的分布函数；（2）；（3）。四、解答题（共34分）1、（10分）设随机变量的概率密度为， 试求：（1）常数；（2）边缘概率密度和，并判断是否独立？（3）。2、（10分）已知总体服从参数为的指数分布，即概率密度 ，其中未知参数，设为样本，试求：（1）的矩估计量；（2）的最大似然估计量。3、（6分）已知随机变量服从上的均匀分布，试求的概率密度。4、（8分）一批灯泡的寿命，其中与未知。今随机抽取6只，算得样本均值，样本标准差。在显著性水平下，检验是否等于520？（附表，）五、证明题（6分）设是来自总体的简单随机样本，记，,证明：是的无偏估计量。山东科技大学20112012学年第二学期概率论与数理统计考试试卷（A卷）班级 姓名 学号 题号一二三总得分评卷人审核人得分一、填空题（每题5分，共30分）1已知事件相互独立，且，_ 0.7_。2设是来自正态总体的一组样本，则分布参数的一个置信水平为的双侧置信区间为_。3设某电子元件的使用寿命(单位：小时)是一个随机变量，服从参数为的指数分布，则这种电子元件的使用寿命在1200小时以上的概率为_。注：指数分布的概率密度为4设随机变量与相互独立，服从标准正态分布，服从参数为3的泊松分布，则_9D(x)+4D(y)=21_。5. 设是来自总体的一组样本，统计量服从的抽样分布为_F（1，1）_ F（n，1）_?_。6口袋中有六个球，球上分别标有数字：-3，-3，-1，1，1，2，任取 一个球，用表示取出的球上的数字，则=_-0.5_。二、计算题（每题10分，共50分）1. 甲盒内装有2个红球3个黑球；乙盒内装有3个红球2个黑球；丙盒装有3个红球3个黑球；丁盒中4个红球1个黑球。设到4个盒子取球的机会相等，从中任取一球，求(1) 取到红球的概率；全概率公式(2) 已知取出的球是红球，问其来自于乙盒的概率。P（B/A）=P（AB）/P(A)2. 袋子中有6个球，其中红、白、黑球各有1、2、3个，从中任取2个球。假设取到每个球的可能性都相同，取到红球的个数记为，取到白球的个数记为，试求随机变量的联合分布律，并求Cov(X，Y)。3. 设随机变量的密度函数为，且,试求：E(X)= xf（x）dx(1) 参数的值；(2)随机变量落在区间内的概率；(3)随机变量的分布函数。 4. 设随机变量与独立同分布于参数为的指数分布，求随机变量的概率密度函数。；5. 设随机变量与独立，均服从区间上的均匀分布，求概率。三、解答题（每题10分，共20分）1. 设总体的概率密度为，其中为未知参数，是来自总体的一个样本，为其样本观测值，试求分布参数的最大似然估计量。2. 已知某机器包装的每袋糖果重量服从正态分布，机器正常情况下，包装的每袋糖果重量的均值为500克。现随机抽取了9袋糖果，测得样本均值和样本标准差分别为：（单位：克）。试在显著性水平下，判定机器是否运转正常。山东科技大学20112012学年第一学期概率论与数理统计考试试卷（A卷答案）一、 计算题（共18分）1、(6分) 2、（6分） 记=甲射击，=乙射击，=击中目标则由全概率公式 故，由贝叶斯公式 3、（6分）解: 设A为零件由甲机器制造, 则为零件由乙机器制造, A与构成完备事件组. 由P(A+)=P(A)+P()=1并由题意知P()=2P(A), 得P(A)=1/3, P()=2/3.设B为零件为废品, 则由题意知P(B|A)=0.01, P(B|)=0.02, 则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为二、 解答题（共64分）1、（8分）解：（1）由于 故（2） （3）2、（10分） （1）由于 故。（2）当时，同理， 当时，（3）3、（10分）解：。同理，。由于，所以与不相互独立。又因关于或关于都是偶函数，因而，故， 与不相关。4、（8分）解：由卷积公式得要使被积函数不等于零，应有：即 （2分） 画出区域（2分）当，；（2分）当，；（2分）当，。（2分）；（5分）5、（10分）解： (1) 选检验，在成立条件下，此检验法的否定域为查分布表，得 算值，不在否定域.故接受，认为的方差无明显差异.（2）利用（1）的结果，但未知，故选随机变量 记其的置信区间为由观测值计算 查分布表，得的95的置信区间为 6、（10分）解 ，故的矩估计量。由样本观测值可算得另，X的分布律为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量，故的最大似然估计值。7、（8分）解：，由定理1，得 即有 三、 证明题（共18分）1、（6分）证明：，由于，故也服从正态分布，又，故2、（6分）证明：由于 故，都是总体均值的无偏估计。又 ，故比有效。3、（6分）由题意，且相互独立，故，因此，当时，服从分布，自由度为2.山东科技大学20092010学年第 二 学期概率论与数理统计考试试卷(A卷)参考答案及评分标准一、填空题（每题5分，共15分）1、； 2、12.6； 3、二、选择题（每题5分，共15分）1、B； 2、A； 3、D三、（42分）1、（10分）解：设“患有该病”为事件,“检验结果是阳性”为事件，由题意.4分由全概率公式. 7分 由贝叶斯公式. 10分2、（12分）解：(1) ，. 2分 （2），.显然有，所以相互独立. 7分 （3）相互独立，所以. 9分 （4）. 12分3、（10分）解：（1）和的边缘分布分别为：1230.40.20.4-1010.30.40.3 ； ； .类似得. 6分 （3）； ； . 8分（4）. 10分4、（10分）解：记的分布函数为，6分所以. 10分四、（22分）1、（12分）解： 由得的矩估计量为. 6分构造似然函数, 建立方程解得的最大似然估计量为. 12分2、（10分）解：由题意需检验 3分检验统计量 5分 拒绝域为 7分计算得，检测观测值， 9分故接受原假设，即认为该种钢筋的强度为520. 10分五、（6分）证明：因为，而， 3分所以.6分山东科技大学20102011学年第 一 学期概率论与数理统计考试试卷（A卷）答案一、填空题（每题5分，共20分）1、 ； 2、32； 3、3； 4、 二、选择题（每题5分，共15分）1、； 2、； 3、三、1、（10分）解： 2分 当时，4分 6分 8分所以 10分取值-101概率3/82/83/82、（10分）解：（1）的边缘分布率均为取值01概率2/86/8 的分布率均为 6分（2）取值-101概率2/84/82/8 随机变量的分布率为 8分 （3） 10分3、（15分）解：（1） 1分 2分 (2)当时， 5分当时， 8分（3）,所以 相互独立 10分（4）当时， 13分 故 15分 4、（10分）解：似然函数 2分 6分由，可得最大似然估计值为；8分最大似然估计量为 10分四、（每题10分，共20分）1、(1)解：设分别表示一箱商品中有0、1、2个次品，则 2分 设表示顾客买下这箱商品，则, 6分 8分(2) 10分2、解：要检验的假设为 2分检验用的统计量 4分 拒绝域为 6分，落在拒绝域内 8分 故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . 10分山东科技大学20102011学年第 一 学期概率论与数理统计考试试卷（B卷）答案一、填空题（每题5分，共15分）1、 ； 2、4； 3、 二、选择题（每题5分，共15分）1、； 2、； 3、三、（10分）解：设表示第个人能破译密码，则 恰有一人能破译出密码 2分 4分 5分至少有一人能破译出密码 7分 9分 10分四、（10分）解： 2分 当时，4分 6分 8分所以 10分取值-101概率3/82/83/8五、（12分）解：（1）的边缘分布率均为取值01概率2/86/8 的分布率均为 6分（2）取值-101概率2/84/82/8 随机变量的分布率为 8分 （3） 10分 （4）而，二者不相等，所以不相互独立 12分六、（16分）解：（1） 2分 4分 (2)当时， 7分当时， 10分（3）,所以 相互独立 12分（4）当时， 14分 故 16分 七、（12分）解：似然函数 2分 6分由，可得最大似然估计值为；10分最大似然估计量为 12分八、（10分）解：要检验的假设为 2分检验用的统计量 4分 拒绝域为 6分，落在拒绝域内 8分 故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . 10分山东科技大学20102011学年第二学期 概率论与数理统计考试试卷（A卷）答案一、1、 2、 3、。二、1、A 2、C 3、D。三、1、（1）设为事件“取得的一件是次品”， 为事件“取得的一件产品是甲厂生产的”，为事件“取得的一件产品是乙厂生产的”，为事件“取得的一件产品是丙厂生产的”，由全概率公式 。 6分（2）依题意，由贝叶斯公式：。 10分2、解：因为，所以，； 2分（1）； 5分（2）； 7分（3） 。 10分3、解：（1） 2分 6分（2）； 8分（3）。 10分四、1、（1）因为，所以； 2分（2） 6分显然，故不独立。 8分 （3）。 10分2、解：（1）一阶矩，令，得的矩估计量为； 4分 （2）， ， 令 ，得故最大似然估计量为。 10分 3、解：因为，所以概率密度为。的分布函数 3分所以， 6分4、解：根据题意需检验假设： 2分 选择检验统计量， 4分则拒绝域：， 6分又因为 所以可计算得， 故接受，即可以认为等于520。 8分五、证明： 2分 4分 ， 所以是的无偏估计量。 6分第 35 页/共 2 页
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