全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题(含答案).doc

2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）已知（），则的值为（ B ）（A） （B） （C） （D）【解】， 又，. 故选（B）（2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是（ C ）（A） （B） （C） （D）yxO213123【解】根据题意，由根的判别式，得设，由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象，当时，有，即；当时，有，即；当时，有，即；当时，有，即综上，. 故选（C）（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（ D ）（A） （B） （C） （D） 【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为 故选（D）x（D）yO2.5（A）1（B）xyO2.51（C）xyO2.51xyO2.51（4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ A ） ABCEPD图【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中，如图，当点P在AB边上运动时，（），；ABCDEP图如图，当点P在BC边上运动时，即（），有，=；ABCDGEP图如图，当点P在线段CE上运动时，有 （）， 故选（A）（5）已知矩形ABCD中，AB = 72，AD = 56，若将AB边72等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的7256个小正方形于是，被对角线AC从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC上的两个点）共有（ D ）（A）130个 （B）129个 （C）121个 （D）120个【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则因为AC与水平线（含AB与DC）、竖直线（含AD与BC）中的每一条都相交，所以有57 + 73 = 130个交点（含重合的交点）由表示直线AC的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）（0，1，2，8）即有9个重合的交点因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线AC分成120段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC共穿过120个小正方形故选（D）二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分)（6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，所确定的点在双曲线上的概率等于.【解】xy1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线上，因此所求的概率等于（7）计算 （的整数）的值等于 100 【解】根号内的被开方数可化为 所以（8）若是质数，且整除，则的末位数字是 2 .【解】当时，5能整除10；当是奇质数时，为偶数，为奇数，而偶数不能整除奇数，此时不满足“ 整除”的条件.综上，.于是.由的末位数字是6，所以的末位数字是2.DCBAE（9）如图，四边形ABCD中，若，则的长为 2 【解】如图，过点A作与BC的延长线交于点E，则.在中，由，得，又，又在ACD中，ACECAD有而在RtABE中，.54671098321（10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为 50 【解】设相邻格子内的两数为，且，则，共有10个差，要使这10个差的和最大，其中10个被减数应当尽量大，10个减数应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6各当作两次被减数，5，4，3，2，1各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为 如图，是满足条件的一种填数字的方法三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）已知 ， 求的值.【解】， 同理 ， . 10分由+-， 得，解得.由+- ，得，解得.由+- ，得，解得.所以，. 20分（12）（本小题满分20分）从一个等边三角形（如图）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图），继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线图图图图图图图图如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图，每个小等边三角形的边长为，所形成的图形的周长为请填写下表：（用含的代数式表示）第1次生长后第2次生长后第3次生长后.第n次生长后每个小等边三角形的边长所形成的图形的周长【解】第1次生长后第2次生长后第3次生长后.第n次生长后每个小等边三角形的边长10分所形成的图形的周长20分（13）（本小题满分20分）已知，为正整数，关于的方程有正整数解，求，的值【解】设方程的两个根为，则由，均为正整数，不妨设1，1，于是，即 10分当时， ，有只有=3，=2，此时；当时， ，只有=2，=2，此时，；当时，有=1，得，所以， 或 或 20分（14）（本小题满分20分）已知点是锐角内的一个点，且使最小，试确定点的位置，并证明你的结论【解】如图，分别以为边向外作正，正，ABCDP连接交于点，则点即为所求 5分证明如下：易证有与为对顶角， 10分在上可截取，连接，有为正三角形易证可得ABCG.5M为定值15分在内任取一点（不同于点），连接，将以点为旋转中心逆时针旋转，与重合，得有可得连接，则为正三角形，有由于折线点到三个顶点，的距离之和最短 20分（若以为边向外作正，可得）