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第1章 函数，极限与连续第1节 函数注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。一、函数的概念与表示1、映射:设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作,其中.原像的集合A叫做函数的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做的值域，显然值域是集合B的子集.构成函数概念的三要素: 定义域(x的取值范围)对应法则（f）值域（y的取值范围）两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致.二、函数的定义域、解析式与值域1、求函数定义域的主要依据：（1）整式的定义域是全体实数；（2）分式的分母不为零；（3）偶次方根的被开方数大于等于零；（4）零取零次方没有意义（零指数幂的底数不为0）；（5）对数函数的真数必须大于零；（6）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（7）若函数是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各部分结果的交集；（8）复合函数的定义域： 若已知的定义域，求复合函数的定义域，相当于求使时的取值范围； 若已知复合函数的定义域，求的定义域，相当于求的值域.2求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合的形式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分子或分母为二次且R的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如的形式可直接用不等式性质；可先化简再用均值不等式；通常用判别式法； 可用判别式法或均值不等式；1-1-222分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：闭区间上的最值；求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；注意“两看”：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.2.注意型函数的图像在单调性中的应用：增区间为，减区间为，；利用对号函数：（如右图）；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数三函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数. 如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数.2.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称;若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0;奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称;看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”四、函数的单调性作用：比较大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间D上是增函数（减函数），区间D叫的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升（y随x的增大而增大或减小而减小）； 减函数：从左到右下降（y随x的增大而减小或减小而增大）；2.判断单调性方法：定义法上是增函数；上是减函数.观察法：根据特殊函数图像特点；掌握规律：对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(i)当和具有相同的增减性时，的增减性与，相同，、的增减性不能确定；(ii)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：的增减性不能确定； 、为增函数；为减函数.3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。4. 复合函数单调性的确定（同增异减）：是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数.5、 函数的对称性函数的图象的对称性（自身）1.函数的图象关于直对称 特殊的有：函数的图象关于直线对称.函数的图象关于轴对称（奇函数）;函数是偶函数关于对称;2.函数的图象关于点对称. 特殊的有： 函数的图象关于点对称; 函数的图象关于原点对称（奇函数）; 函数是奇函数关于点 对称. 若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.两个函数图象的对称性:函数与函数的图象关于直线(即轴)对称;函数与函数的图象关于直线对称特殊地: 与函数的图象关于直线对称;函数的图象关于直线对称的解析式为;函数的图象关于点对称的解析式为;函数与的图像关于直线成轴对称函数与的图像关于直线成轴对称函数的图像与x = f (y)的图像关于直线 成轴对称.六函数的周期性：1定义 若是周期函数，T是它的一个周期.说明：nT也是的周期。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f-1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x上; 八二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)一般式： ；顶点式：；零点式：1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标，开口向上，开口向下2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值.韦达定理：3.一元二次不等式的解集(a0)二次函数情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0)=b2-4acax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0)图象与解0=00 , a1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式y=ax (a0且a1)y=logax (a0 , a1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（，1）（1，）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a1)图象关于y=x对称单调性a 1,在(-,+ )上为增函数a1,在(0,+ )上为增函数a1 ? y0? y0(或aN时，恒有Xn0（或X0）; 若数列Xn收敛于常数a，则Xn的任何子数列Xkn都收敛于a；6. 函数极限的性质（p.19） 极限的唯一性； 局部有界性； 局部保号性；7. 无穷小量的性质（p.20） 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小； 两个无穷小之积还是无穷小； 两个无穷小之和还是无穷小； 函数f（x）以A为极限的充要条件是f（x）=A+（x），其中（x）是在与f（x）的同一自变量的变化过程中的无穷小8. 无穷小的比较（p.32） 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 9.无穷小的等价替换（p.32） x0（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）（10）（补充） 二、方法与技巧 只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）求数列极限最后往往转化为或型的极限.求极限的常用方法：分子、分母同时除以或.求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.利用已知数列极限（如等）.含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.,00,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限 三、怎么求极限（重要）1. 代入法： 直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化无穷大为无穷小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，（无穷小量乘以有界量）。又如，解：商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如，等价无穷小量替换求极限的例子见课本p.32，33。6. 利用两个重要极限求极限（参见微积分课本p.28）7. 分段函数、复合函数求极限例如，解: 左右极限存在且相等, 4、 函数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续下面给出左连续及右连续的概念：如果存在且等于，即，就说函数在点左连续如果存在且等于，即，就说函数在点右连续五、函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：1在没有定义；2虽在有定义，但不存在；3虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： 在连续 在间断，极限为2 在间断，极限为2 在间断，左极限为2，右极限为1 在 间断在间断，极限不存在像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点第2章 导数与微分一：导数公式与求导法则：（p.57重要，一定记住！）二：隐函数的求导法则： 其实隐函数非常简单，只有一个技巧；两边同时求导.例1求由方程所确定的函数的导数 解：根据复合函数求导法则，对自变量求导，有 ， 从中解得：例2.设确定了一个隐函数，求 解：（一）方程两边对自变量求导，有 -（1） 所以，-（2） 由（1）式，有 -（3） （3）式两边对再求导，得： -（4） 将（2）式代入（4）式，有： 注意： （1）欲求，必要用到的结果； （2）也可通过对（1）式两边再求导的方法得到； （3）请大家考虑以下：从上题如何求？例3.求的导数. 解： 对上式两边关于求导，得： 例4。求的导数。（ 解： 对上式两边关于求导，得： 注意：例3、例4的解法称为对数求导法，请大家体会以下它的适用范围.三：高阶导数（p.61） 设函数在内可导，若极限 存在，则称函数在处二阶可导，并称此极限（即一阶导函数在处的导数）为在处的二阶导数，记为： 注意：（1）如果导函数在区间I的每一点处都可导，则二阶导数 是区间上的函数，称为的二阶导函数，简称的二阶导数. （2）同样，可定义三阶导数 一般地，称的n-1阶导函数在处的导数为在处的n阶导数，表示为; （3）二阶以上的导数，称为高阶导数，也称普通的导数为一阶导数；原函数为零阶导数； （4）若为路程函数，则 ； （5）由高阶导数的定义可知，计算函数的n阶导数就是按求导法则和导数公式逐阶求下去，最后归纳出n阶导数的一般形式. （p.62莱布尼茨公式）四：函数的微分（p.64） 定义：若函数在处的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在处可微分，并称为在处的微分，记作，或者. 注意：由微分的定义可见，当在处可微分时且很小时，有下述的近似计算公式： 定理1.函数在可微函数在可导.注意：（1）由定理1的证明可见，当函数在处可微分； （2）一元函数的可导性与可微性是等价的； （3）微分的几何解释（作图）：在的充分小的邻域内，可用处的一小段切线段来近似替代处的一小段曲线段； （4）如果在区间I上每一点处都可微，则称为区间I上的可微函数，在区间I上的微分记作：（5）在不至于引起混淆的情况下也可简为记.微分的公式和运算法则（与导数联系起来，同样重要）（p.66）定理2.设函数在处均可微，则 （1）； （2）； （3）.推论：。证明：仅证明（4） 定理3.（复合函数的微分法则）设有都可微，则 .（其中）-（2）注意：如果只是一个普通的函数，是自变量，则-（3）与（2）式相同。也就是说：无论是普通函数，还是复合函数，都有。这个性质称为一阶微分形式的不变性.第3章 微分中值定理与导数的应用1.1罗尔定理（p.80）若函数满足如下条件：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）,则在内至少存在一点使得罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.证明：因为在上连续，所以有最大值与表示，现分两种情况来讨论：（1）若,则在上必为常数，从而结论显然成立.（2）若,则因使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理.1.2拉格朗日中值定理（p.82）若函数满足如下条件：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；则在内至少存在一点使得 （1） 显然，特别当时为罗尔定理。这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.证明：做辅助函数显然，(=0),且在上满足罗尔定理的另两个条件，故存在使，移项既得到所要证明的（1）式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线,我们在证明中引入辅助函数，正是曲线与直线.1.3柯西中值定理（p.84）设函数满足：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）不同时为零；（）则存在，使得证明：作辅助函数.易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得因为（否则由上式也为零），所以可把上式改成。注:若有=0，则若则.当函数在这表明在的附近可用一次多项式逼近，现在，我们希望用更高多项式逼近，因为多项式在运算上最方便，且具有很好的性质.泰勒（1685-1731,英国数学家）最早考虑了这个问题.随着定理的不断深入，应该说泰勒公式才达到了中值定理的最后阶段.1.4泰勒公式（p.90）若在上有直到阶连续导数，在上阶导数存在，则其中注意:当令（拓展，不作要求）:1.5常用微分中值定理及内在联系中值定理条 件结 论罗尔中值定理在闭区间上连续，内可导则，使得 柯西中值定理则，使得 则，使得 拉格朗日中值定理，在闭区间上连续，内可导，0，则，使得泰勒公式在上有直到阶连续导数，在上阶导数关系柯西和泰勒都是拉格朗日的推广，拉格朗日是罗尔的推广1.6洛必达法则（p.86）洛必达法则的原意是用来求(未定型)极限或，但是也可以用来求下面这些未定型的极限： （其中）；(当时,和是同号无穷大量)； (其中)； (其中)； (其中)求这些未定型的极限时，都要先把函数做恒等变换，化成能直接用洛必达法则的未定型或. 【注】在运用洛必达法则时，一定要检查它是否满足洛必达法则的条件.不然的话，有可能造成错误！例如， (错在何处？)而实际上，. 再如不存在 (又错在何处?)，而实际上，1.7函数单调性的判定法与极值，凹凸性与拐点，函数的描绘（p.93 在文档开头函数部分有详细介绍，这里则不做总结）第四章 不定积分1. 利用基本公式。（这就不多说了）2. 第一类换元法。（凑微分）设f()具有原函数F()。则其中可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。3. 第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：4. 分部积分法.公式：分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：（1） 降低多项式部分的系数（2） 简化被积函数的类型5. 几种特殊类型函数的积分。（1） 有理函数的积分有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）（2）三角函数有理式的积分万能公式：的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。（注：没举例题并不代表不重要）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。第5章 定积分及其应用直接上重点，关于怎么求定积分：一、定义法例1、求，（）解:因为函数在上连续，所以函数在上可积，采用特殊的方法作积分和取，将等分成个小区间,分点坐标依次为 取是小区间的右端点，即，于是，其中，=将此结果代入上式之中，有从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲变式：求分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限 解：将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即=二、微积分基本定理法例2、计算解：=练习：计算：(1)(2) 解: (1)(2)评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数一般地：三、几何意义法例3、求定积分的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出解：,而表示圆x2y24在第一、二象限的上半圆的面积因为，又在x轴上方所以评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出四、性质法例4、求下列定积分：；分析：对于用微积分的基本定理可以解决，而的原函数很难找到，几乎不能解决若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解解：由被积函数tanx及是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零所以 0；0评注：一般地，若f(x)在a，a上连续，则有性质：当f(x)为偶函数时，2；当f(x)为奇函数时，0练习：计算：(1)(0) (2)五、定积分换元法定理：假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且，则有：(1)本定理证明从略在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分例5、求解：令，则，当时，；当时，。所以=。练习：计算:(1)(2)解:(1)令，则当时，；当时，故 .显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积(2)解法一 令，则当时，；当时，于是解法二:也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变即
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