极限思想在高中数学及应用.doc

极限思想在高中解题中的运用宜宾县一中 雷勇 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。xyFPQO例1、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段与的长分别是、,则等于（ ） (A) (B) (C) (D) 分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为，而，所以，故选择（C）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。例2、正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A（） B（） C（） D（）分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正多边形的一个内角，即为，因此，所求二面角的范围应为（）例3、已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和xBCDAyAB上的点、和（入射角等于反射角），设坐标为若则的取值范围是（ ）ABCD分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出的取值范围，根据极限的观点，令，不妨令与重合，依据入射角等于反射角，即知、均为各边中点，此时，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C） 例4、已知函数，若存在为实数，只要，就有，则的最大值是 分析：作函数与的图像，平移f(x)的图像.使之与直线交于（1，1）和两点，此时所得的图像是，图像的极端位置；于是解方程组，再由，得，所以例5、 已知数列中，且对于任意正整数，总有，是否存在实数，使得，对于任意正整数恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。分析: 如果这样的存在的话，则由，可得。对两边取极限，得，解得或。若，则数列应该是以为首项、以为公比的等比数列，于是，不符合显然，不可能对任意的正整数都满足；若，将代入 ，可求得，此时，验证：，不符合。所以，这样的实数不存在。例6、设n 为自然数，求证:分析：当时，不等式显然成立。设时，不等式成立，即 那么，当 时，由于，证到此处，用数学归纳法证题思路受阻。之所以用数学归纳法证题思路行不通，其原因在于是一个常数，从到右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想，且当时，不妨把要证结论强化为： 证明：当时，不等式成立，设时，不等式成立，即那么，当时，即当时，不等式成立，所以有 通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。