聚焦平行四边形的创新问题.doc

聚焦平行四边形的创新问题一、折叠类问题AEDFCB例1（深圳）如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若FDE的周长为8，FCB的周长为22，则FC的长为_解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，ABCD又因为以BE为折痕，将ABE向上翻折到FBE的位置，所以AEEF，ABBF已知DEDFEF8，即ADDF8，ADDCFC8所以BCABFC8又因为BFBCFC22，即ABBCFC22，、两式联立可得FC7评析：在求解时，要注意整体思想的应用，本题中就是把ABBC当作一个整体进行求解，同时要注意折叠的特征二、开放类问题例2（长沙中考题）如图，四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）ADCB解析：应添加的条件不唯一，可以是：ABCD或BCAD或AC或BD评析：本题考查了学生的逆向思维，要使四边形ABCD为平行四边形，结合已知条件，则只要它的对角线互相平分，从而得到所要添加的条件三、探索类问题例3：（贵阳中考题）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图所示，），小刚过AB、DC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图）ADCB21ADCBADCBEF34这两种分割方法中面积之间的关系为，；根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_条，请在图的平行四边形中画出一种：由上述实验操作过程，你发现了什么规律？解析：小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分，正好有ABCCDA，所以；小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分，由于平行四边形AEFD与平行四边形EBCF大小相等，所以；可以画无数条直线将此平行四边形的面积一分为二，画图略；经过平行四边形对角线交点的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形评析：处理创新探索类问题除了要有一定的基础知识外，还必须通过大胆的猜想、归纳、验证，才能获得正确的结果四、图形分割类例4：在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，且含有一组对顶角的两个图形全等根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有几组；请在图中的三个图形中画出满足小强分割法的直线；ADCBADCBADCB由上述实验操作过程，你能发现所画的两条直线有什么规律？解析：把平行四边形分割成满足题目条件的直线有无数组；比如连接AC、BD将平行四边形分割成两组全等三角形，连接AD、BC的中点，AB、CD的中点将平行四边形分割成两组全等的四边形如图所示；只要两条直线同时经过平行四边形的中心都可以满足要求ADCBADCBADCB评析：本题是一道图形分割类问题，利用平行四边形的性质可以解决问题五、实际应用类问题例5：某村有一口四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D各栽一棵大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由HDGCABFEO解析：可以，连结AC、BD交于点O，分别过A、C作EHBD，FGBD，再过B、D分别作AC的平行线，几条平行线分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH即为所求理由如下：EFAC，GHAC，EFGH同理：EHFG，四边形EFGH是平行四边形又四边形OAHD与四边形ODGC，OBFC，OAEB均为平行四边形评析：利用平行四边形的性质和判定方法解决问题点击平行四边形中的新型问题近年来，中考数学试题在立意创新设计上思路更成熟、更开阔，正在从立意、情景、设问三方面努力，不仅使设计有了更多的创新，也通过试题更好地鼓励学生探索与创新现以平行四边形问题为例，来体会这类问题解题思路特点例1（大连）、如图9，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE = BF.请你以F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须研究一组线段相等即可).连结_；猜想：_；证明：(说明：写出证明过程中的重要依据) 【解】：(1)CF (2)CF=AE (3)证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC，AD=BC （平行四边形对边平行且相等） ADB=CBD（两直线平行内错角相等）ADE=CBF(等角的补角相等) DE=BF ADECBF（SAS） CF =AE（全等三角形的对应边相等）【评注】（1）本例首先考查解决与平行四边形有关题目的常用方法:利用三角形全等;充分利用平行四边形的性质;（2）其次考察猜想、判断、推理能力，熟练运用知识解决问题的能力.（3）本题属开放型题目，只要通过分析，得出相应结论，进一步验证或说明理由即可，答案往往.不惟一.例2（贵阳）如图9，在平行四边形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，AFBD，CEBD，垂足分别为E、F；（1）连结AE、CF，得四边形AFCE，试判断四边形AFCE是下列图形中的哪一种？平行四边形；菱形；矩形；（2）请证明你的结论；【解】（1）画图连结AE、CF 四边形AFCE为平行四边形 （2）证明：AFBD，CEBD，AFO =CEO 又AOF =COE ， OA = OC AOFCOE， OF = OE 又OA = OC ， 四边形AFCE是平行四边形【评注】探索性的问题在近几年中考中已越来越多受到命题者的青睐，要求答题者开动脑筋，积极探索.解决此类问题的关键借助于图形或是合理的分析、猜测先得出结论，再进一步依据已知推理，说明结论的正确性.例3（广东）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由AFCEBOD【解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形 同理，是等边三角形 又， ，即 四边形是平行四边形 （2）成立 证明： 四边形是平行四边形， ， ，即 ，四边形是平行四边形 【评注】证明一个四边形是平行四边形选择适当的判定方法是关键，本题利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定进行证明（第3题）例4（宿迁） 如图，在ABCD中，AE、BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M（1）试说明：AEBF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明【解】：（1）方法一：如图在 ABCD中，ADBC，DABABC180AE、BF分别平分DAB和ABC，DAB2BAE，ABC2ABF2BAE2ABF180，即BAEABF90图AMB90，AEBF (2)：线段DF与CE是相等关系，即DFCE 在ABCD中，CDAB，DEAEAB又AE平分DAB，DAEEABDEADAE，DEAD 同理可得，CFBC 又在ABCD中，ADBC，DECFDEEFCFEF，即DFCE 【评注】由平行四边形可得出许多线段相等和平行，角相等，这些都可作为已知条件.作为探索结论依据.解决此类问题，一般先通过关系，加以猜想，然后给与验证，要注意对平行四边形性质的应用.例5(广州)图8是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，ABDC，BCDF从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B-D-A-E，路线2是B-C-F-E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明【解析】（方法不止一种！）这里提供一种：这两条路线路程的长度一样证明：延长交于点，是公共边，四边形是平行四边形垂直平分，路线的长度为：，路线的长度为：综合，可知路线路程长度与路线路程长度相等【评注】将现实生活中的平行四边形问题转化数学问题中，借助于平行四边形的判定来解决是解此题的关键.例6（茂名）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知，请你根据对七巧板制作过程的认识，解决下列问题：（1）求一只蚂蚁从点沿所走的路线的总长（结果精确到）； AFHDCNBEGI（2）求平行四边形的面积 解：（1）由七巧板性质可知又， ， ，即蚂蚁沿所走的路线的总长为8.83 （2）连接，则可知平行四边形的面积为：【评注】抓住七巧板的结构特性是本题的解题关键透视平行四边形新题型随着新课程的不断深入，中考试题在形式上发生了较大变化，各式各样的新题型闪亮登场，有关平行四边形的新题型更是令人耳目一新，现选取数例进行分析，供同学们参考一、条件开放型例1、如图1，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，若再增加一个条件 ，就可推得BE=DF评析：本题将传统的封闭问题进行改造，从一个简单的图形中提出问题，让学生探索结论成立的条件，适当开放问题的条件，对学生学习能力的考查极有好处答案可以从AE=CF，AEB=CFD，ABE=CDF等中任选一个二、猜想证明型例2、（大连市）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）（1）连结 ；（2）猜想： ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）评析：此题为猜想并证明的试题，虽难度不大，但结构较新，改变了传统的固有模式解答时应先仔细观察图形，然后提出一种可能性的猜想，再尝试去证明它连结FC，猜想：AE=CF证明过程的重要依据是：连结AE、CF，由平行四边形对边平行且相等得ABCD，ADBC，AB=DC ，AD=BC，由此可推出ABE=CDF，ADE=CBF，再加上DE=BF，根据全等三角形的判定定理SAS，容易证得ABECDF或ADECBF，从而可以 得到AE=CF三、拼图操作型例3（天津市）如图3，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到？ （用“能”或“不能”填空）若填“能”请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由评析：此题以学生喜爱的剪纸活动为背景，让学生在剪与拼的操作过程中去发现几何结论，较好地体现了新课标下“做数学”的理念根据此题限制只能有两条辅助线，所以我们在寻找剪裁线的过程中要注意两个原则：一是要利用题中给定的四边形的特殊点，二是要注意到平行四边形的特征，因此我们可以考虑取四边形各边的中点，利用相等线段使两个不同图形的边重合在一起，再利用四边形内部两对相等的对顶角构成平行四边形的两组对角具体操作是：如图4，取四边形ABCD各边的中点E、F、G、H，连接EF、GH，以EF、GH为裁剪线，将四边形ABCD分成四部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180，将3进行平移，就拼成满足条件的平行四边形0MNP四、判断说理型例4、（广东省）如图5，在ABCD中，DAB=60，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB（1） 求证：四边形AFCE是平行四边形（2） 若去掉已知条件中的DAB=60，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由评析：本题（2）把以往的几何论证转为自主探究，把已知条件中的部分条件去掉，让学生通过自主探索探究原有结论是否仍然成立，这种新的考查形式成为近年来中考试题的热点证明、判断及说理过程为：（1）四边形ABCD是 ，AD=BC，DAB=60，EDA=CBF=60又AE=AD，CF=CB ，AED和CBF为全等的等边三角形，ED+DC=AB+BF，即EC=AF，又DCAB，四边形AFCE是平行四边形，（2）仍然成立在COE和AOF中，ABCD为平行四边形，OA=OC，DCAB，ECO=FAO，又AOF=COE，COEAOF，EC=AF，又ECAF，四边形AFCE是平行四边形