约数与倍数例题.doc

约数与倍数例题1题一个数有8个约数这个数最小是 正确答案:24 详解：24有8个约数：1，2，3，4，6，8，12，24比24小的数都没有8个约数(12，18，20各有6个约数，其余的数约数个数少于6)例题2题边长1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体它的高是10米，长、宽都大于高则长方体长与宽的和是 米正确答案:29 提示：由于长方体是用2100个边长为1米的正方体堆成的，就是说，这个长方体的体积应是2100立方米，但长方体的体积长宽高，现在知道高10米，故长宽210米，又，长、宽都大于高，所以本题就是找出210的两个都大于10的约数，使它们的积为210详解：210010210， 2102357(27)(35)1415由于14与15都是210的大于10的约数，且其积210，又只有这一组数据满足题目的要求长方体的长与宽分别为15与14，其和为29例题3题数360的约数有 个这些约数的和是 正确答案:24；1170 详解：360分解质因数： ；360的约数可以且只能是 ，(其中a，b，c均是整数，且a为03，b为02，c为01)因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(31)(21)(11)24我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3， ，它们的和为 ，所以所有360约数的和为 ；我们再来确定关于质因数2的约数，可以是 它们的和为 ，所以所有360约数的和为 ；最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(15)，所以所有360的约数的和为 于是，我们计算出值：131561170所以，360所有约数的和为1170评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法下面我们给出一般结论：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积如：1400严格分解质因数后为 ，所以它的约数有(31)(21)(11)43224个(包括1和它自身)约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积如： ，所以21000所有约数的和为 例题4题从360到630的自然数中有奇数个约数的数有 个正确答案:7 详解：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积如：1400严格分解质因数后为 ，所以它的约数有(31)(21)(11)43224个(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数由以上分析知，我们所求的为360630之间有多少个完全平方数1818324，1919361，2525625，2626676，所以在360630之间的完全平方数为 即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625，共7个.例题5题1112111的约数共有 个正确答案:24 详解：一般的，一个自然数N可能惟一地表示成一些质因数的乘积：其中 是不相同的质数， ，那么N的约数的个数公式： 1112111的约数的个数是：(11)(21)(11)(11)241112111有24个约数例题6题在正好有60个约数的自然数中，1万以内最大的数是 正确答案:9360 详解：因为 ，所以所求数分解质因数后，任何质因数的幂小于14将60分解为约数小于14的乘积，6051261023102563452235根据自然数的约数个数的公式，恰有60个约数的小于10000的合数应具有下列形式之一：其中a、b、c、d均为质数因为 都大于10000，所以所求数只能是 的形式，所求数是9360 例题7题有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么 分钟之后,3人又可以相聚。正确答案:30 详解：设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30即在30分钟后,3人又可以相聚例题8题要使六位数 能被36整除，而所得的商最小，那么A= ，B= ，C= 正确答案:0；1；5 提示：能被36整除的数一定能被4和9整除，反之，如果一个数既能被4整除，又能被9整除，那么这个数一定能被4936整除，所以，本题应考虑以下三个条件：(1)这个数有约数4；(2)这个数有约数9；(3)这个数被36除所得商最小，也就是这个数应最小详解： 有约数4，其末两位数是4的倍数，即 ，于是C可取值1，3，5，7，9 有约数91+5+A+B+C+612+A+B+C是9的倍数，但A、B、C都是0到9的数字，故1212+A+B+C39，于是A+B+C可能取6，15，24三个值若A+B+C6，且C1，则A+B5，为使 最小，应取A0，B5，C1，得数为150516若A+B+C6，且C3，则A+B3，为使 最小，应取A0，B3，C3，得数为150336若A+B+C6，且C5，则A+B1，为使 最小，应取A0，B1，C5，得数为150156若A+B+C6，则C7，9不可能若A+B+C15，C1，则A+B14，为使 最小，A5，B9得数155916比150156大，同样C3，5，7，9，不能得A0，而A+B+C24，也不可能得A0，即可知，使 最小的值为A0，B1，C5说明：要使 最小，应使A取最小值，而不一定使C取最小值，如果一开始认为C1就错了该数既有约数4，又有约数9，该数就一定有约数36这个结论不能随便推广为：若某数既有约数a，又有约数b，则该数一定有约数ab，例如24既有约数8，又有约数6，但24没有约数48(86)，这里一定要保证a，b互质若某数有约数a与b(a，b是自然数)，且(a，b)=1，则该数有约数ab(这里a、b互质是必不可少的条件)例题9题有一类数，它们的15倍减1能被1999整除，这类数中最小的一个是 正确答案:1466 提示：这些数的15倍减1后是1999的倍数，可设这个数为x，它的15倍减1就是15x-1，它是1999的y倍，即可设法求出x详解：解法一 设所求数为x，而15x-1是1999的y倍得15x1999y+1由于1999y+113315y+4y+1是15的倍数，故4y+1是15的倍数设4y+115z，故4y15z-116y-(z+1)于是z+1是4的倍数，设z4k-1这时4y15(4k-1)-160k-16，得y15k-415x13315y+4y+113315(15k-4)+4(15k-4)+11331515k-133154+415k-16+1x133(15k-4)+4k-1取k1，得x13311+31466故所求最小数为1466说明：本题反复利用整除性把字母的系数减小到1，就把k求出来了解法二 由于 1999y+1能被15整除，故1999y+1既是3的倍数，又是5的倍数，要使1999y+1有约数3，可取y2、5、8、11、14、17、；要使1999y+1有约数5，可取y1，6，11，16，21，由此可知y11是使1999y+1是15的倍数的最小值于是得x(199911+1)151466例题10题修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，则修改后的这个数是 正确答案:33743 提示：本题当然可以依次算出823的2倍，3倍，4倍一直算到该数的41倍，可得8234133743，比较可知，只要把千位上的“1”修改为“3”即是结果但如果这样慢慢算过去，要花费很多时间，所以，不妨从计算31743823的竖式入手进行分析详解：用竖式计算31743823，可得469。由于最后的余数为469，而在计算商的十位数“3”时，有82332469，这说明，如果余数469能增加2000，就恰是823的整数倍了，所以，只要把原数加上2000，得到33743就是823的38+341倍此时恰只修改了一个数字例题11题三个连续自然数在100到200之间，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，那么，所有这样的三个自然数是 （数字之间用小于号按从小到大的顺序写出来）正确答案:159160161 提示：这三个数的百位数字都是1，由于中间数能被5整除，故中间数的末位数字只能是0或5，最小的数末位数字必为9或4，可分别根据该数可被3整除确定其十位数字，最后再用试除的办法确定出这三个数详解：这些数在100与200之间，故这些数的百位数字都为1，由于中间数能被5整除，故其末位数字为0或5最小数的百位数字为1，个位数字为9或4若最小数的个位数字为9，由最小数可被3整除，则其十位数字可以是2，5，8；若最小数的个位数字为4，则其十位数字可以是1，4，7，即最小数只可能是129，159，189，114，144，174这六个数中的某几个若最小数为129，则最大数为131，但131没有约数7；若最小数为159，则最大敏为161，而7是161的约数；若最小数为189，则最大数为191，但191没有约数7；若最小数为114，则最大数为116，但116没有约数7；若最小数为144，则最大数为146，但146没有约数7；若最小数为174，则最大数为176，但176没有约数7；故经检查，159，160，161这一组数是所求的三个数例题12题两个数的和是616，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉，就与另一数相同，这两个数的差是 正确答案:504 提示：把一个整数的末尾添上一个0，得数是原数的10倍，反之，把一个末位是0的整数的末位上的0去掉，则原数是所得数的10倍，本题就是根据这一点求解的据题意，原数是去掉末位的0后所得数的10倍，而616是这两数的和，故616是所得数的(10+1)倍详解：解法一 616(10+1)61611565610560560-56504这两个数的差为504解法二 由于原数是所得数的10倍，所以这两数的差应是所得数的(10-1)倍，故这两数的差616(10+1)(10-1)616119569504说明：如果进一步考虑本题，还可以根据以下性质来解题，把一个数的小数点向左移动一位，二位，三位，得数是原数的0.1，0.01，0.001，把一个数的小数点向右移动一位，二位，三位，得数是原数的10，100，1000，倍一个末位数字是“0”的整数，去掉末位的“0”，就相当于把它的小数点向左移动了一位，即原数是所得数的10倍本题还可以这样来解：解法三 由于这两数中的一个数(不妨称为甲数)末位为0，两数和为616，故另一数(不妨称为乙数)的末位必为6，于是甲数的十位数字为6，而由甲、乙两数十位数字和必为11知乙数的十位数字为5，从而甲数的百位数字为5，即甲数为560，乙数为56，故两数的差为504例题13题如果 ，则五位数 = 正确答案:21978 详解： 的4倍仍为五位数，故 ，a2、e4的末位数应为偶数，故a2，而e4a8，又b4不进位，故b0，1，2，d4+3的末位数不可能为0与2，故b1，d2或7，又d144，故d7，最后c4+330+c，(注意：千位144，需百位要进3方可得7)，于是c9，从而 例题14题7824 （是或否）是9的倍数正确答案:否 提示：直接用78249，看余数是不是0，可以判断7824是不是9的倍数但为了得出更一般的法则，我们先将7824写成7100081002104详解：7824710008 100210479998 9929(7824)由于7999，899，29都是9的倍数，所以只需要看数字和7824是不是9的倍数由于782421不是9的倍数，所以7824不是9的倍数说明：由例题我们得到一个被9整除的判别法一个数被9整除的特征是它的数字和被9整除同样地，可得被3整除的判别法：一个数被3整除的特征是它的数字和被3整除例题15题某个7位数1993能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么，它的后三位数字是 （数字之间不要有空格）正确答案:320 提示：由于能被8整除的数一定能被4与2整除，能被9整除的数一定能被3整除，而如果同时能被8和9整除的数，就一定能被6整除，所以本题只要考虑该七位数能同时被5，7，8，9整除即可详解：设此数为1993abc，其后三位数字为a、b、c该数有约数5c0或5该数能被8整除c0该数有约数91+9+9+3+a+b22+a+b是9的倍数，但0a，b9，a+b5或a+b14a5，b0；a4，b1；a2，b3；a1，b4；a0，b5及a9，b5；a8，b6；a7，b7；a5，b9均不合条件只有a3，b2或a6，b8能使该数被5，8，9整除现检查1993320与1993680这二个数是否有约数7，知1993320有约数7，而1993680没有约数7只有a3，b2，c0满足条件小结：约数与倍数在竞赛题中经常遇到，两个整数a、b，如果a能被b整除，那么b就是a的约数，而a就是b的倍数，注意：每个自然数都是自己的约数，又是自己的倍数；1是任何数的约数；0则是任何自然数的倍数，而且是比该自然数小的倍数这三句话表达的性质在竞赛中都常常有用，约数与倍数和整除性联系紧密，解这类问题也常常通过分解因数的办法来解决