三年高考两年模拟数学概率与统计.doc

第十二章 概率与统计 第一部分 三年高考荟萃 2010 年高考题 一 选择题 1 2010 辽宁理 3 两个实习生每人加工一个零件 加工为一等品的概率分别为 23和 4 两个零件是否加工为一等品相互独立 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A 12 B 5 C 14 D 6 答案 B 命题立意 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了有关概率的计算问题 解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A 则 P A P A1 P A2 135 42 2 2010 江西理 11 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币 国 王怀疑大臣作弊 他用两种方法来检测 方法一 在 10 箱子中各任意抽查一枚 方法二 在 5 箱中各任意抽查两枚 国王用方法一 二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1p和 2 则 A 1p 2 B 1p 2 D 以上三种情况都有可能 答案 B 解析 考查不放回的抽球 重点考查二项分布的概率 本题是北师大版新课标的课堂作 业 作为旧大纲的最后一年高考 本题给出一个强烈的导向信号 方法一 每箱的选中的 概率为 10 总概率为 0101 9C 同理 方法二 每箱的选中的概率为 15 总事件的概率 为 05541 作差得 1pa 的概率是 A 45 B 3 C 25 D 15 答案 D 5 2010 广东理 8 为了迎接 2010 年广州亚运会 某大楼安装 5 个彩灯 它们闪亮的顺 序不固定 每个彩灯彩灯闪亮只能是红 橙 黄 绿 蓝中的一种颜色 且这 5 个彩灯所 闪亮的颜色各不相同 记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中 每秒钟 有且仅有一个彩灯闪亮 而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒 如果要实现所有不同的闪 烁 那么需要的时间至少是 A 1205 秒 B 1200 秒 C 1195 秒 D 1190 秒 答案 C 每次闪烁时间 5 秒 共 5 120 600s 每两次闪烁之间的间隔为 5s 共 5 120 1 595s 总共就有 600 595 1195s 6 2010 湖北理 4 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次 记 硬币正面向上 为事 件 A 骰子向上的点数是 3 为事件 B 则事件 A B 中至少有一件发生的概率是 A 512 B C 712 D 34 二 填空题 1 2010 上海文 10 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 2 张 则 抽出的 2 张 均为红桃 的概率为 结果用最简分数表示 答案 351 解析 考查等可能事件概率 抽出的 2 张均为红桃 的概率为 5132 C 2 2010 湖南文 11 在区间 1 2 上随即取一个数 x 则 x 0 1 的概率为 答案 13 命题意图 本题考察几何概率 属容易题 3 2010 辽宁文 13 三张卡片上分别写上字母 E E B 将三张卡片随机地排成一行 恰好排成英文单词 BEE 的概率为 答案 13 解析 题中三张卡片随机地排成一行 共有三种情况 BE 概率为 1 3 4 2010 重庆文 14 加工某一零件需经过三道工序 设第一 二 三道工序的次品率 分别为 70 69 8 且各道工序互不影响 则加工出来的零件的次品率为 解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品 由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 69873100p 5 2010 重庆理 13 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同 且在两次罚球中至 多命中一次的概率为 25 则该队员每次罚球的命中率为 解析 由 16 p得 3 6 2010 湖北文 13 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0 9 则服用这咱新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为 用数字作答 答案 0 9744 解析 分情况讨论 若共有 3 人被治愈 则 314 0 9 1 02916PC 若共有 4 人被治愈 则 42 0 9 65P 故至少有 3 人被治愈概率 120 74P 7 2010 湖南理 11 在区间 上随机取一个数 x 则 的概率为 8 2010 湖南理 9 已知一种材料的最佳入量在 110g 到 210g 之间 若用 0 618 法安排 实验 则第一次试点的加入量可以是 g 9 2010 安徽理 15 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 A和 表示由甲罐取 出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以 B表示由乙罐取出的球 是红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 25PB 15 PBA 事件 与事件 1A相互独立 123 A是两两互斥的事件 PB的值不能确定 因为它与 123 A中哪一个 发生有关 答案 解析 易见 123 A是两两互斥的事件 而 2352439 10102PBPBA 方法总结 本题是概率的综合问题 掌握基本概念 及条件概率的基本运算是解决问题 的关键 本题在 123 A是两两互斥的事件 把事件 B 的概率进行转化 3 PBPBA 可知事件 B 的概率是确定的 10 2010 湖北理 14 某射手射击所得环数 的分布列如下 7 8 9 10 P x 0 1 0 3 y 已知 的期望 E 8 9 则 y 的值为 答案 0 4 解析 由表格可知 0 139 780 19 308 9xyxy 联合解得 4 11 2010 福建理 13 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设 的 5 个问题中 选手若能连续正确回答出两个问题 即停止答 题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0 8 且每个问题的回答结果 相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 答案 0 128 解析 由题意知 所求概率为 245C0 8 18 命题意图 本题考查独立重复试验的概率 考查基础知识的同时 进一步考查同学们的 分析问题 解决问题的能力 12 2010 江苏卷 3 盒子中有大小相同的 3 只白球 1 只黑球 若从中随机地摸出两只 球 两只球颜色不同的概率是 解析 考查古典概型知识 62p 三 解答题 1 2010 浙江理 19 本题满分 l4 分 如图 一个小球从 M 处投入 通过管道自上而下落 A 或 B 或 C 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球 方式进行促销活动 若投入的小球落到 A B C 则分别设为 l 2 3 等奖 I 已知获得 l 2 3 等奖的折扣率分别为 50 70 90 记随变量 为获得 k k 1 2 3 等奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望 E II 若有 3 人次 投入 l 球为 l 人次 参加促销活动 记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次 求 2 P 解析 本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列 数学期望 二项分布等概念 同时考查抽象概括 运算求解能力和应用意识 解 由题意得 的分布列为 50 70 90 p 31638716 则 316 50 8 70 790 4 解 由 可知 获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 16 9 由题意得 3 9 则 P 2 2C 16 2 1 70496 2 2010 全国卷 2 理 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T1 T2 T3 T4 电流能通过 T1 T2 T3的概率都是 p 电流能通过 T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件相互独立 已 知 T1 T2 T3中至少有一个能通过电流的概率为 0 999 求 p 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 表示 T1 T2 T3 T4中能通过电流的元件个数 求 的期望 命题意图 本试题主要考查独立事件的概率 对立事件的概率 互斥事件的概率及数学 期望 考查分类讨论的思想方法及考生分析问题 解决问题的能力 参考答案 点评 概率与统计也是每年的必考题 但对考试难度有逐年加强的趋势 已经由原来解 答题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置 对考生分析问题的能力要求有所加强 这 应引起高度重视 3 2010 全国卷 2 文 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T1 T 2 T 3 T 4 电源能通过 T1 T 2 T 3的概率都是 P 电源能通过 T 的概率是 0 9 电源能否通过各元件相互独立 已知 T T T 中至少有一个 能通过电流的概率为 0 999 求 P 求电流能在 M 与 N 之间 通过的概率 解析 本题考查了概率中的互斥事件 对立事件及独立事件的概率 1 设出基本事件 将要求事件用基本事件的来表示 将 T1 T2 T3 至少有一个能通过 电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P 2 将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来 由互斥事件与独立事件的概率求得 4 2010 江西理 18 本小题满分 12 分 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门 首次到达此门 系统会随机 即等可能 为你打开一个通道 若是 1 号通道 则需要 1 小时走出迷宫 若是 2 号 3 号通道 则分别需要 2 小时 3 小时返回智能门 再次到达智能门时 系统会随机打开一 个你未到过的通道 直至走完迷宫为止 令 表示走出迷宫所需的时间 1 求 的分布列 2 求 的数学期望 解析 考查数学知识的实际背景 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概 率 随机事件的数学特征和对思维能力 运算能力 实践能力的考查 1 必须要走到 1 号门才能走出 可能的取值为 1 3 4 6 3P 326P 2P 26A 分布列为 2 11734632E 小时 5 2010 重庆文 17 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排 在一起 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 甲 乙两单位的演出序号均为偶数的概率 甲 乙两单位的演出序号不相邻的概率 1 3 4 6P 6 2010 北京理 17 本小题共 13 分 某同学参加 3 门课程的考试 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 45 第二 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p q 且不同课程是否取得优秀成绩相 互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 0 1 2 3p6125ad2415 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率 求 q的值 求数学期望 E 解 事件 iA表示 该生第 i门课程取得优秀成绩 i 1 2 3 由题意知 14 5PA 2 p 3 PAq I 由于事件 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 与事件 0 是对立的 所 以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 619 0 25P II 由题意知 1236 125Apq 12342 51PApq 整理得 6125pq q 由 可得 3 III 由题意知 123123123 aPAPA 4155pqpq 372 0 1 3 bPP 581 0 1 2 EP 95 7 2010 四川理 17 本小题满分 12 分 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一 瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶若其瓶盖内印有 奖励一瓶 字样即为中奖 中奖概 率为 16 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 求甲中奖且乙 丙都没有中奖的概率 求中奖人数 的分布列及数学期望 E 解 1 设甲 乙 丙中奖的事件分别为 A B C 那么 P A P B P C 16 P P A P P 152 66 A 答 甲中奖且乙 丙都没有中奖的概率为 1 6 分 2 的可能值为 0 1 2 3 P k 3315 6kC k 0 1 2 3 所以中奖人数 的分布列为 0 1 2 3 P 1256257572126 E 0 1256 1 7 2 3 12 分 8 2010 天津理 18 本小题满分 12 分 某射手每次射击击中目标的概率是 23 且各次射击的结果互不影响 假设这名射手射击 5 次 求恰有 2 次击中目标的概率 假设这名射手射击 5 次 求有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标的概率 假设这名射手射击 3 次 每次射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 在 3 次 射击中 若有 2 次连续击中 而另外 1 次未击中 则额外加 1 分 若 3 次全击中 则额外 加 3 分 记 为射手射击 3 次后的总的分数 求 的分布列 解析 本小题主要考查二项分布及其概率计算公式 离散型随机变量的分布列 互斥事 件和相互独立事件等基础知识 考查运用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 1 解 设 X为射手在 5 次射击中击中目标的次数 则 X 25 3B 在 5 次射击中 恰 有 2 次击中目标的概率 22540 133PC 解 设 第 i次射击击中目标 为事件 1 2345 iA 射手在 5 次射击中 有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标 为事件 则 123451234512345 PAAPP 2 81 解 由题意可知 的所有可能取值为 0 1236 3123 0 7PA 123123123 PA 22113339 124 7PA 123123 PA 221837 123 6 PA 87 所以 的分布列是 9 2010 广东文 17 本小题满分 12 分 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中 随机抽取了 100 名电视观 众 相关的数据如下表所示 文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 10 2010 福建文 18 本小题满分 12 分 设平顶向量 ma m 1 nb 2 n 其中 m n 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 m n 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 11 2010 全国卷 1 理 18 本小题满分 12 分 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 记 X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数 求 X的分布列及期望 12 2010 四川文 17 本小题满分 12 分 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶若其瓶盖 内印有 奖励一瓶 字样即为中奖 中奖概率为 16 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该 饮料 求三位同学都没有中奖的概率 求三位同学中至少有两位没有中奖的概率 13 2010 山东理 P 4 312 43 12 4 所以 的分布列为 2 3 4 P 18102412 数学期望 E 128 034 4 2 3 命题意图 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了离散型随机变量的分布列 以及数学期望的知识 考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力 14 2010 福建理 0 1 4 9 P 1631316 所以 E 0 349 6 15 2010 江苏卷 22 本小题满分 10 分 某工厂生产甲 乙两种产品 甲产品的一等品率为 80 二等品率为 20 乙产品的一等品 率为 90 二等品率为 10 生产 1 件甲产品 若是一等品则获得利润 4 万元 若是二等品 则亏损 1 万元 生产 1 件乙产品 若是一等品则获得利润 6 万元 若是二等品则亏损 2 万 元 设生产各种产品相互独立 1 记 X 单位 万元 为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润 求 X 的分布列 2 求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 解析 本题主要考查概率的有关知识 考查运算求解能力 满分 10 分 解 1 由题设知 X 的可能取值为 10 5 2 3 且 P X 10 0 8 0 9 0 72 P X 5 0 2 0 9 0 18 P X 2 0 8 0 1 0 08 P X 3 0 2 0 1 0 02 由此得 X 的分布列为 X 10 5 2 3 P 0 72 0 18 0 08 0 02 2 设生产的 4 件甲产品中一等品有 n件 则二等品有 4n 件 由题设知 10n 解得 15 又 N 得 3 或 4 所求概率为 4 82 08192PC 答 生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0 8192 2009 年高考题 一 选择题 1 09 山东 11 在区间 1 上随机取一个数 x cos2 的值介于 0 到 12之间的概率 为 A 13 B 2 C 2 D 3 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 x 时 要使 cos2x 的值介于 0 到 21之间 需使 23x 或 2x 213x 或 1x 区间长度为3 由几何概型知 cos的值介于 0 到 之间的概率为 故选 A 答案 A 2 09 山东文 在区间 2 上随机取一个数 x cos的值介于 0 到 21之间的概 率为 A 31 B C 1 D 32 解析 在区间 2 上随机取一个数 x 即 2x 时 要使 cosx的值介于 0 到 2之间 需使 x 或 2x 区间长度为 3 由几何概型知 的值 介于 0 到 1之间的概率为 31 故选 A 答案 A 3 09 安徽卷理 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙 也从这 6 个点中任意选两个点连成直线 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等 于 A 175 B 275 C 3 D 475 解析 如图 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线 共有 26125 种不同取法 其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ACDBAEF BCEFD 共 12 对 所以所求概率为 12457p 选 D 答案 D 2009 安徽卷文 考察正方体 6 个面的中心 从中任意选 3 个点连成三角形 再把剩下 的 3 个点也连成三角形 则所得的两个三角形全等的概率等于 A 1 B C D 0 解析 依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 36C个 由正方体各中心的对称性 A B C D E F 可得任取三个点必构成等边三角形 故概率为 1 选 A 答案 A 5 2009 江西卷文 甲 乙 丙 丁 4个足球队参加比赛 假设每场比赛各队取胜的概率 相等 现任意将这 4个队分成两个组 每组两个队 进行比赛 胜者再赛 则甲 乙相 遇的概率为 A 16 B 1 C 13 D 12 解析 所有可能的比赛分组情况共有 24 种 甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种 故选 D 答案 D 6 2009 江西卷理 为了庆祝六一儿童节 某食品厂制作了 3种不同的精美卡片 每袋食 品随机装入一张卡片 集齐 3种卡片可获奖 现购买该种食品 5袋 能获奖的概率为 A 318 B 81 C 481 D 01 解析 55 23 0P 故选 D 答案 D 7 2009 四川卷文 设矩形的长为 a 宽为 b 其比满足 a 618 025 这种 矩形给人以美感 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是某工艺品厂 随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论 是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析 甲批次的平均数为 0 617 乙批次的平均数为 0 613 答案 A 8 2009 辽宁卷文 ABCD 为长方形 AB 2 BC 1 O 为 AB 的中点 在长方形 ABCD 内随 机取一点 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A 4 B 14 C 8 D 18 解析 长方形面积为 2 以 O 为圆心 1 为半径作圆 在矩形内部的部分 半圆 面积为 2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 2 2 4 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 答案 B 2009 年上海卷理 若事件 E与 F相互独立 且 14PEF 则 PEFI的 值等于 A 0 B 16 C 14 D 2 解析 PEFI PF 16 答案 B 二 填空题 10 2009 广 东 卷 理 已知离散型随机变量 X的分布列如右表 若 0EX 1DX 则 a b 解析 由题知 12 c 061 ca 12122 ca 解得125 4b 答案 11 2009 安徽卷理 若随机变量 2 XN 则 PX 答案 12 12 2009 安徽卷文 从长度分别为 2 3 4 5 的四条线段中任意取出三条 则以这三条 线 段为边可以构成三角形的概率是 解析 依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况 2 3 4 或 3 4 5 或 2 4 5 故 34PC 0 75 答案 0 75 13 2009 江苏卷 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3m 的概率为 解析 考查等可能事件的概率知识 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10 它们的长度恰好相差 0 3m 的 事件数为 2 分别是 2 5 和 2 8 2 6 和 2 9 所求概率为 0 2 答案 0 2 14 2009 江苏卷 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生进行投篮练 习 每人投 10 次 投中的次数如下表 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s 解析 考查统计中的平均值与方差的运算 甲班的方差较小 数据的平均值为 7 故方差 2222 67 0 8 055s 答案 15 2009 湖北卷文 甲 乙 丙三人将参加某项测试 他们能达标的概率分别是 0 8 0 6 0 5 则三人都达标的概率是 三人中至少有一人达标的概率是 解析 三人均达标为 0 8 0 6 0 5 0 24 三人中至少有一人达标为 1 0 24 0 76 答案 0 24 0 76 16 2009 福建卷文 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在 该圆周上随机取一点 B 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 解析 如图可设 1A 则 根据几何概率可知其整体事件是其周长 3 则其概 率是 23 答案 17 2009 重庆卷文 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本标准差 s 克 用数字作答 解析 因为样本平均数 1 241237 14x 则样本方差2221 3 5sO 所以 s 答案 2 三 解答题 18 2009 浙江卷理 本题满分 14 分 在 1 23 9 这 个自然数中 任取 3个数 I 求这 3个数中恰有 1个是偶数的概率 II 设 为这 个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为 1 2 则有两组相邻的数1 2 和 此时 的值是 2 求随机变量 的分布列及其数学期望 E 解 I 记 这 3 个数恰有一个是偶数 为事件 A 则 45390 CP II 随机变量 的取值为 0 1的分布列为 0 1 2 P 5221 所以 的数学期望为 013E 19 2009 北京卷文 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红 灯的概率都是 13 遇到红灯时停留的时间都是 2 min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 解 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等 于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事 件 A 的概率为 1143327P 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B 这名 学 生在上学路上遇到 k次红灯的事件 0 12kB 则由题意 得 402638PB 1 2142414 38CC 由于事件 B 等价于 这名学生在上学路上至多遇到两次红灯 事件 B 的概率为 0129PBPB 20 2009 北京卷理 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到 红灯的概率都是 13 遇到红灯时停留的时间都是 2min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 解 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件 A 的概率为 1143327P 由题意 可得 可能取的值为 0 2 4 6 8 单位 min 事件 2k 等价于事件 该学生在路上遇到 k次红灯 k 0 1 2 3 4 4410 12343kkPC 即 的分布列是 0 2 4 6 8 P16832818278118 的期望是 04613E 21 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮 否则投第 三次 某同学在 A 处的命中率 q 1为 0 25 在 B 处的命中率为 q 2 该同学选择先在 A 处投一球 以后都在 B 处投 用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列 为 0 2 3 4 5 p 0 03 P1 P2 P3 P4 1 求 q 2的值 2 求随机变量 的数学期望 E 3 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的 概率的大小 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 P A 0 25 0 75P P B q 2 2 1Pq 根据分布列知 0 时 2 0 75 1 q 0 03 所以21 q q 2 0 8 2 当 2 时 P 1 BAPBA PBA 0 75 q 2 1 2 1 5 q 2 1 0 24 当 3 时 P 2 2 0 5 0 01 当 4 时 P 3 7AB 0 48 当 5 时 P 4 ABPAB 22 0 510 5qq 0 24 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 0 24 0 01 0 48 0 24 随机变量 的数学期望 0 2 30 14 850 243 6E 3 该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 PB PP 2 1 96q 该同学选择 1 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0 48 0 24 0 72 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 22 2009 安徽卷理 本小题满分 12 分 某地有 A B C D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感 其中只有 A 到过疫区 B 肯定是 受 A 感染的 对于 C 因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的 于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 12 同样也假定 D 受 A B 和 C 感染的概率都是 13 在这种假定之下 B C D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量 写出 X 的分布列 不要求写出计 算过程 并求 X 的均值 即数学期望 本小题主要考查古典概型及其概率计算 考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列 和均值的概念 通过设置密切贴近现实生活的情境 考查概率思想的应用意识和创新意 识 体现数学的科学价值 本小题满分 12 分 解 随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3 P 3116 X 的均值为 126E 附 X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形 每种情形发生的概率都是 16 A B C D A B C D A B C D A B D C A C D B 在情形 和 之下 A 直接感染了一个人 在情形 之下 A 直接感染了两个 人 在情形 之下 A 直接感染了三个人 23 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立地对每位大学生的创业方案 进行评审 假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是 12 若某人获得两个 支 持 则给予 10 万元的创业资助 若只获得一个 支持 则给予 5 万元的资助 若未获 得 支持 则不予资助 令 表示该公司的资助总额 1 写出 的分布列 2 求数学期望 E 解 1 的所有取值为 0 51 2 30 0 64P P 15 64P 5 16P 2 32 2 31535025056E 24 2009 湖北卷理 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 2 3 4 5 另一个盒子 也装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 3 4 5 6 现从一个盒子中任取 一张卡片 其上面的数记为 x 再从另一盒子里任取一张卡片 其上面的数记为 y 记 随机变量 x y 求 的分布列和数学期望 解 依题意 可分别取 5 6 11 取 则有123 5 7 411638 9 0 66ppp 的分布列为 5 6 7 8 9 10 11 p162 31643162162578908E 25 2009 辽宁卷理 本小题满分 12 分 某人向一目射击 4 次 每次击中目标的概率为 该目标分为 3 个不同的部分 第一 二 三部分面积之比为 1 3 6 击中目标时 击中任何一部分的概率与其面积成正比 设 X 表示目标被击中的次数 求 X 的分布列 若目标被击中 2 次 A 表示事件 第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 求 P A 解 依题意 X 的分列为 设 A1 表示事件 第一次击中目标时 击中第 i 部分 i 1 2 B1 表示事件 第二次击中目标时 击中第 i 部分 i 1 2 依题意知 P A 1 P B 1 0 1 P A 2 P B 2 0 3 1B 所求的概率为 1112 PAPAPAB 1 B 0 9 0 0 3 8 26 2009 湖南卷文 本小题满分 12 分 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分别为基础设施工程 民生工程和产 业建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 12 3 6 现有 3 名工人 独立地从中任选一个项目参与建设 求 I 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 II 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 解 记第 i名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事 件 iiABCi 1 2 3 由题意知 123 A相互独立 123 B相互独立 123 C 相互独立 ijk i j k 1 2 3 且 i j k 互不相同 相互独立 且 1 26iiiPABPC 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 123 1236 A1 26 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 P 23 PB 123 PB 319 27 27 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假 设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已 知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 求再赛 2 局结束这次比赛的概率 求甲获得这次比赛胜利的概率 解析 本小题考查互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 综合 题 解 记 第 i局甲获胜 为事件 5 43 iA 第 j局甲获胜 为事件 5 43 jBi 设 再赛 2 局结束这次比赛 为事件 A 则4343BA 由于各局比赛结果相互独立 故 43434343 BPAPBPP 52 0 60 记 甲获得这次比赛胜利 为事件 B 因前两局中 甲 乙各胜 1 局 故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中 甲先胜 2 局 从而54354343 AAB 由于各局比赛结果相互独立 故 54354343 ABABPB 68 0 60 06 54354343 PPA 28 2009 陕西卷文 本小题满分 12 分 椐统计 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0 1 2 的概率分别为 0 4 0 5 0 1 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响 求该企业在这两个月内共被 消费者投诉 2 次的概率 解 解答 1 设事件 A 表示 一个月内被投诉的次数为 0 事件 B 表示 一个月内 被投诉的次数为 1 所以 0 45 9PABP 设事件 i表示 第 i个月被投诉的次数为 0 事件 iB表示 第 i个月被投诉的次数 为 1 事件 iC表示 第 个月被投诉的次数为 2 事件 D 表示 两个月内被投诉 2 次 所以 0 4 5 0 1 iiiPABPCi 所以两个月中 一个月被投诉 2 次 另一个月被投诉 0 次的概率为 121 PAC 一 二月份均被投诉 1 次的概率为 12 B 所以 2 2112 PDACPACB 由事件的独立性的 0 41 04 50 3p 解答 2 设事件 A 表示 一个月内被投诉 2 次 设事件 B 表示 一个月内被投 诉的次数不超过 1 次 所以 0 10 9pPB 同解答 1 29 2009 湖南卷理 本小题满分 12 分 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分别为基础设施工程 民生工程和产业 建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 12 3 6 现在 3 名工人 独立地从中任选一个项目参与建设 I 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率 II 记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程的人数 求 的分布列及数学期望 解 记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事件 A B C i 1 2 3 由题意知 1A23相互独立 1B23相互独立 1C23相互独 立 1 i j k 1 2 3 且 i j k 互不相同 相互独立 且 P A P 3 P 1 6 1 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 3 P 1A2B3C 6P 1A P 2B P 3C 6 126 2 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 由己已知 B 3 且 3 所以 P 0 P 3 13C 27 P 1 P 2 2 9 P 2 P 1 13 2 4 P 3 P 0 0C 87 故 的分布是 0 1 2 3 P 1272949827 的数学期望 E 0 1 2 4 3 87 2 解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 1D i 1 2 3 由此已知 1D D 1相互独立 且 P 1D 1A C P 1 P 1C 2 6 3 所以 2 3 B 既 33 KK 0 1 k 故 的分布列是 0 1 2 3p1272949827 30 2009 四川卷理 本小题满分 12 分 为振兴旅游业 四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡 向省外人 士发行的是熊猫金卡 简称金卡 向省内人士发行的是熊猫银卡 简称银卡 某旅游 公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游 其中 34是省外游客 其余是省 内游客 在省外游客中有 13持金卡 在省内游客中有 2持银卡 I 在该团中随机采访 3 名游客 求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率 II 在该团的省内游客中随机采访 3 名游客 设其中持银卡人数为随机变量 求 的 分布列及数学期望 E 本小题主要考察相互独立事件 互斥事件 随机变量的分布列 数学期望等概率计算 考 察运用概率只是解决实际问题的能力 解 由题意得 省外游客有 27 人 其中 9 人持金卡 省内游客有 9 人 其中 6 人 持 银卡 设事件 B为 采访该团 3 人中 恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人 事件 1A为 采访该团 3 人中 1 人持金卡 0 人持银卡 事件 2为 采访该团 3 人中 1 人持金卡 1 人持银卡 12 PB 12996336C 740 3685 所以在该团中随机采访 3 人 恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 3685 6 分 的可能取值为 0 1 2 3 39 0 84CP 12639 4CP 216395 3695 21 所以 的分布列为 0 1 2 3P1843415821 所以 50228E 12 分 31 2009 重庆卷理 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽的成活率 分别为 23和 1 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 两种大树各成活 1 株的概率 成活的株数 的分布列与期望 解 设 kA表示甲种大树成活 k 株 k 0 1 2lB 表示乙种大树成活 l 株 l 0 1 2 则 k l独立 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 22 3kPAC 221 llllPBC 据此算得 01 9 14 9 2 A 4PB 1PB 所求概率为211412 9PABP 解法一 的所有可能值为 0 1 2 3 4 且 001 9436PABP 0112 2 014 92AB 36 1214393PABP 2 4 综上知 有分布列 0 1 2 3 4 P 1 36 1 6 13 36 1 3 1 9 从而 的期望为 11310243669E 73 株 解法二 分布列的求法同上 令 12 分别表示甲乙两种树成活的株数 则 2 1B 3 故有 1E 4 从而知 1273 32 2009 重庆卷文 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽的成活率分 别为 56和 4 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 至少有 1 株成活的概率 两种大树各成活 1 株的概率 解 设 kA表示第 株甲种大树成活 1 2k 设 lB表示第 l株乙种大树成活 1 2l 则 12 B独立 且 1 254 65PAP 至少有 1 株成活的概率为 221212189 60PAB 由独立重复试验中事件发生的概率公式知 两种大树各成活 1 株的概率为 12540846365C 2008 年高考题 1 2008 年全国 理 6 从 20 名男同学 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为 A 92 B 1029 C 192 D 209 解析 3011 CP 答案 D 2 2008 年全国 理理 18 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a元 若投保人在购买保险的一年度内出险 则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年度内至少 支付赔偿金 10 000 元的概率为 410 9 求一投保人在一年度内出险的概率 p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为保证盈利的期望不 小于 0 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是 p 记投保的 10 000 人中出险的人数 为 则 4 1 Bp 记 A表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则 A发生当且仅当0 2 分 1 PA 0 P 410 p 又 410 9 故 p 5 分 该险种总收入为 a元 支出是赔偿金总额与成本的和 支出 1050 盈利 150 盈利的期望为 EaE 9 分 由 43 10 B 知 30 451a 443 0E 40 15a 元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 3 2008 年全国 理 18 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a元 若 投保人在购买保险的一年度内出险 则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年度内至少 支付赔偿金 10 000 元的概率为 410 9 求一投保人在一年度内出险的概率 p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为保证盈利的期望不 小于 0 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是 p 记投保的 10 000 人中出险的人数 为 则 4 1 Bp 记 A表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则 A发生当且仅当0 P 0 P 410 p 又 410 9PA 故 01p 该险种总收入为 a元 支出是赔偿金总额与成本的和 支出 105 盈利 1050 盈利的期望为 EaE 由 43 10 B 知 3 4510a 443 0E 4 15a 元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 第二部分 两年模拟题 2011 届高三模拟题 题组一 一 选择题 1 北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题 已知随机变量 服从正态分布 则 A B C D 答案 D 2 北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题 一组抛物线 其 中 为 2 4 6 8 中任取的一个数 为 1 3 5 7 中任取的一个数 从这些抛物线中任意抽取两条 它们在与直线 交点处的切线相互平行的概率 是 A B C D 答案 B 3 湖南省长沙市第一中学 2011 届高三第五次月考理 形如 45132 这样的数称为 波浪 数 即十位数字 千位数字均比它们各自相邻的数字大 则由 1 2 3 4 5 可构成的数 字不重复的五位 波浪数 的概率为 A B C D 16 320 11120 215 答案 D 解 当十位与千位是 4 或 5 时 共有波浪数为 A A 12 个 当千位是 5 十位是 3 时 23 万位只能是 4 此时共有 2 个波浪数 当千位是 3 十位是 5 时 末位只能是 4 此时共有 2 个波浪数 故所求概率 P 12 2 2A5 215 4 浙江省嘉兴一中 2011 届高三 12 月月考题文 国庆阅兵中 某兵种 A B C 三个方阵 按一定次序通过主席台 若先后顺序是随机排定的 则 B 先于 A C 通过的概率为 61 A 3 B 2 c 3 D 答案 B 5 浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷 抛掷两个骰子 则两个 骰子点数之和大于 4 的概率为 A B C D 138971256 答案 D 6 浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷 某人射击一次击中的概 率为 经过 3 次射击 此人至少有两次击中目标的概率为5 A B C D 8125412361252715 答案 A 二 填空题 7 河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文 200 辆汽车经过某一雷达地区 时 速频率分布直方图如图所示 则时速超过 60 km h 的汽车数量为 答案 76 8 浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三上学期第三次月考文 中华人民共和国个人所得税法 规定 公民全月工资 薪金所 得不超过 2000 元的部分不必纳税 超过 2000 元的部分为全月应 纳税所得额 此项税款按下表分段累进计算 某人一月份应交纳此项税款 135 元 则他的当月工资 薪金 的税后所得是 元 答案 3600 三 简答题 9 北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题 本小题满分 13 分 甲和乙参加智力答题活动 活动规则 答题过程中 若答对则继续答题 若答错则 停止答题 每人最多答 3 个题 答对第一题得 10 分 第二题得 20 分 第三题得 30 分 答错得 0 分 已知甲答对每个题的概率为 乙答对每个题的概率为 1 求甲恰好得 30 分的概率 2 设乙的得分为 求 的分布列和数学期望 3 求甲恰好比乙多 30 分的概率 答案 1 I 甲恰好得 30 分 说明甲前两题都答对 而第三题答错 其概率为 II 的取值为 0 10 30 60 的概率分布如下表 0 10 30 60 全月应纳税所得额 税率 不超过 500 元的部分 5 超过 500 元至 2000 元的部分 10 超过 2000 元至 5000 元的部分 15 III 设甲恰好比乙多 30 分为事件 A 甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1 甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2 则 A 为互斥事件 所以 甲恰好比乙多 30 分的概率为 10 福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理 本题满分 13 分 某学校数学兴趣小组有 10 名学生 其中有 4 名女同学 英语兴趣小组有 5 名学生 其 中有 3 名女学生 现采用分层抽样方法 层内采用不放回简单随机抽样 从数学兴趣小组 英语兴趣小组中共抽取 3 名学生参加科技节活动 1 求从数学兴趣小组 英语兴趣小组各抽取的人数 2 求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率 3 记 表示抽取的 3 名学生中男学生数 求 的分布列及数学期望 答案 10 本题满分 13 分 解 1 抽取数学小组的人数为 2 人 英语小组的人数为 1 人 2 分 2 21046Cp 58 5 分 3 42103 A 164203 5Cp A2410875 6210 5pC 6421075 6210 的分布列为 0 1 2 3p2575287531152137810 E 13 分 11 广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文 13 分 今年国庆节期间 上 海世博会中国馆和美国馆异常火爆 10 月 1 日中国馆内有 2 个广东旅游团和 2 个湖南旅游 团 美国馆内有 2 个广东旅游团和 3 个湖南旅游团 现从中国馆中的 4 个旅游团选出其中 一个旅游团 与从美国馆中的 5 个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换 1 求互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率 2 求互换后中国馆内广东旅游团数的期望 答案 3 本题满分 13 分 解 令 互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团 A 互换的都是广东旅游团 则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团事件 的概率1A 2 分 51 421 CAP 互换的都是湖南旅游团 则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团事件 的概率2 4 分12345 0 又 互斥 则 5 分12A 12 A1231 502PA 答 互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率为 6 分 设互换后中国馆内广东旅游团数为 则 的取值为 7 分 3 12345 0CP 1 2 P 1245 CP 所以 的分布列为 所以 12 分 109352103 E 答 互换后中国馆内广东旅游团数的期望 13 分9 12 广西北海二中 2011 届高三 12 月月考试题理 本题满分 12 分 在本次考试中共有 12 道选择题 每道选择题有 4 个选项 其中只有一个是正确的 评分标准规定 每题只 选一项 答对得 5 分 不答或答错得 0 分 某考生每道题都给出一个答案 某考生已确定 有 9 道题的答案是正确的 而其余题中 有 1 道题可判断出