高中数学教学设计大赛

高中数学教学设计大赛 高中数学教学设计大赛 获奖作品汇编 上 部 目 录 1 集合与函数概念实习作业 2 指数函数 的图象及其性质 3 对数的概念 4 对数函数及其性质 1 5 对数函数及其性质 2 6 函数图象及其应用 7 方程的根与函数的零点 8 用二分法求方程的近似解 9 用二分法求方程的近似解 10 直线与平面平行的判定 11 循环结构 12 任意角的三角函数 1 13 任意角的三角函数 2 14 函数 y Asin x 的图象 15 向量的加法及其几何意义 16 平面向量数量积的物理背景及其含义 1 17 平面向量数量积的物理背景及其含义 2 18 正弦定理 1 19 正弦定理 2 20 正弦定理 3 21 余弦定理 22 等差数列 23 等差数列的前 n 项和 24 等比数列的前 n 项和 25 简单的线性规划问题 26 拋物线及其标准方程 27 圆锥曲线定义的运用 前 言 为了更好地贯彻落实和科课程标准有关要求 促进广大教 师学习现代教学理论 进一步激发广大教师课堂教学的创 新意识 切实转变教学观念 积极探索新课程理念下的教 与学 有效解决教学实践中存在的问题 促进课堂教学质 量的全面提高 在 2007 年由福建省普通教育教学研究室组 织 举办了一次教学设计大赛活动 这次活动数学学科高 中组共收到有 49 篇教学设计文章 获奖文章推荐评审专家 组本着公平 公正的原则 经过认真的评审 全部作品均 评出了相应的奖项 专家组还为获得一 二等奖的作品撰 写了点评 本稿收录的作品全部是参加此次福建省教学设 计竞赛获奖作者的文章 按照征文的规则 我们对入选作 品的格式作了一些修饰 并经过适当的整合 以飨读者 在此还需要说明的是 为了方便阅读 获奖文章的排序原 则 并非按照获奖名次的前后顺序 而是按照高中数学新 课程必修 1 5 的内容顺序 进行编排的 部分体现大纲教 材内容的文章则排在后面 不管你获得的是哪个级别的奖项 你们都可以有成就感 因 为那是你们用心 用汗浇灌出的果实 它记录了你们奉献于 数学教育事业的心路历程 书中每一篇的教学设计都耐人寻 味 都能带给我们许多遐想和启迪 你们是优秀的 在你们未 来悠远的职业里程中 只要努力 将有更多的辉煌在等待着 大家 谢谢你们 编者 2008 3 23 于福州 1 集合与函数概念实习作业 一 教学内容分析 普通高中课程标准实验教科书 数学 1 人教 A 版 第 44 页 实习作业 本节课程体现数学文化的特 色 学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力 学生在自己动手收集 整理资料信息的过程中 对函数的 概念有更深刻的理解 感受新的学习方式带给他们的学习 数学的乐趣 二 学生学习情况分析 该内容在 普通高中课程标准实验教科书 数学 1 人 教 A 版 第 44 页 学生第一次完成 实习作业 积极性 高 有热情和新鲜感 但缺乏经验 所以需要教师精心设 计 做好准备工作 充分体现教师的 导演 角色 特别 在分组时注意学生的合理搭配 成绩的好坏 家庭有无电 脑 男女生比例 口头表达能力等 选题时 各组之间尽 量不要重复 尽量多地选不同的题目 可以让所有的学生 在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶 三 设计思想 标准 强调数学文化的重要作用 体现数学的文化的价 值 数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技 能 还应该有助于学生了解数学的价值 让学生逐步了解 数学的思想方法 理性精神 体会数学家的创新精神 以 及数学文明的深刻内涵 四 教学目标 1 了解函数概念的形成 发展的历史以及在这个过程中起 重大作用的历史事件和人物 2 体验合作学习的方式 通过合作学习品尝分享获得知识 的快乐 3 在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识 社 会实践技能和民主价值观 五 教学重点和难点 重点 了解函数在数学中的核心地位 以及在生活里的广 泛应用 难点 培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能 力 六 教学过程设计 课堂准备 1 分组 4 6 人为一个实习小组 确定一人为组长 教师 需要做好协调工作 确保每位学生都参加 2 选题 根据个人兴趣初步确定实习作业的题目 教师应 该到各组中去了解选题情况 尽量多地选择不同的题目 参考题目 1 函数产生的社会背景 2 函数概念发 展的历史过程 3 函数符号的故事 4 数学家 如 开普勒 伽利略 笛卡儿 牛顿 莱布尼兹 贝努利 欧 拉 柯西 狄里克雷 罗巴契夫斯基等 与函数 5 也 可自拟题目 3 分配任务 根据个人情况和优势 经小组共同商议 由 组长确定每人的具体任务 4 搜集资料 针对所选题目 通过各种方式 相关书籍 函数在你身边 世界函数通史 世界著名科学家 传记 等 相关网页 WWW sdb8njsxxc 200605 43459 html 等 搜集素材 包括文字 图片 数据 以及音像资料等 并记录相关资料 写出实习报告 实习报告 年 月 日 题目 组长及参加人员 教师审核意见及等级 正文 备注 指出参考文献或相关网页 5 投影仪 多媒体 6 把各组的实习报告 贴在班级的学习栏内 让学生学习 交流 教学过程 1 出示课题 交流 分享实习报告 2 交流 分享 由数学科代表主持 小组推荐中心发言 人 以下记录均为发言概述 1 学生 1 函数小史 数学史表明 重要的数学概念的产生和发展 对数学发展 起着不可估量的作用 有些重要的数学概念对数学分支的 产生起着奠定性的作用 我们刚学过的函数就是这样的重 要概念 在笛卡尔引入变量以后 变量和函数等概念日益 渗透到科学技术的各个领域 最早提出函数 function 概念的 是 17 世纪德国数学家莱布尼茨 最初莱 布尼茨用 函数 一词表示幂 1755 年 瑞士数学家欧拉 把给出了不同的函数定义 中文数学书上使用的 函数 一词是转译词 是我国清代数学家李善兰在翻译 代数学 1895 年 一书时 把 function 译成 函数 的 我们可以预计到 关于函数的争论 研究 发展 拓广将 不会完结 也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展 2 教师带头鼓掌并简单评价 3 学生 2 函数概念的纵向发展 该同学从早期函数概念 几何观念下的函数到十八世纪 函数概念 代数观念下的函数讲述了函数概念的发展 其中包括 18 世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的 贡献 接着又讲述了十九世纪函数概念 对应关系下的 函数 以及现代函数概念 集合论下的函数 函数概念 的定义经过三百多年的锤炼 变革 形成了函数的现代定 义形式 4 教师带头鼓掌并简单评价 5 学生 3 我国数学家 李国平与函数 学生 3 描述了数学家中国科学院数学物理学部委员 李国 平 1910 1996 的身世和他的成长历程 李国平 1933 年毕业于中山大学数学天文系 后历任中国科学院数学计 算技术研究所所长 中国科学院武汉数学物理研究所所长 中国数学会理事 中国科学院学部委员等职务 学生还通 俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论领域的卓越 贡献 6 教师带头鼓掌并简单评价 7 学生 4 函数概念对数学发展的影响 该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估 量的事实出发 讲述了函数概念对数学发展的深刻影响 可以说是贯穿古今 旷日持久 作用非凡 回顾函数概念 的历史发展 看一看函数概念不断被精炼 深化 丰富的 历史过程 是一件十分有益的事情 它不仅有助于我们提 高对函数概念来龙去脉认识的清晰度 而且更能帮助我们 领悟数学概念对数学发展 数学学习的巨大作用 函数概念来源于代数学中不定方程的研究 由于罗马时代 的丢番图对不定方程已有相当研究 所以函数概念至少在 那时已经萌芽 该学生说道 早在函数概念尚未明确提出 以前 数学家已经接触并研究了不少具体的函数 比如对 数函数 三角函数 双曲函数等等 1673 年前后笛卡儿在 他的解析几何中 已经注意到了一个变量对于另一个变量 的依赖关系 但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数 概念 因此直到 17 世纪后期牛顿 莱布尼兹建立微积分的 时候 数学家还没有明确函数的一般意义 从以上函数概念发展的全过程中 我们体会到 联系实际 联系大量数学素材 研究 发掘 拓广数学概念的内涵是 何等重要 8 教师带头鼓掌并简单评价 9 学生 5 函数概念的 历史演变过程 该学生说 数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容 而仅 仅保留了它们的量的属性 即数学抽象的目的只是数量关 系和空间形式 这就决定了数学与其它自然科学的区别 也决定了数学的特殊性 如果在两个集合元素之间存在有 确定的对应关系 就称为是一个映射 上述函数概念的历史演变过程 就是一系列弱抽象的过 程 学生展示了下表 3 课堂小结 4 实习作业的评定 实习作业评价参考意见 级别 很好 1 小组配合默契 有计划 任务分配合理 每人积极认真 2 报告材料丰富 可靠 线索清晰 3 拥有自己的独立 见解 1 小组配合良好 好 2 报告材料丰富 可靠 线索较清晰 3 有一定的独立见解 一般 1 小组配合一般 2 报告材料一般 线索基本清晰 3 有一定的分析 标准 较 1 小组配合欠佳 差 2 报告材料贫乏 线索不够清晰 七 教学反思 实习作业是新课程的一个亮点 是培养学生的团队精神 体验合作学习的方式的重要途径 但事实上 实习作业很 容易被教师所忽视 所以想通过该教学设计引起教师们的 重视 在高一刚开始的时候 如何做好第一次实习作业 是很关键的 就我们学校条件和学生情况 完全可以做好 实习作业的 事实证明学生做得很好 可以通过这次实习 作业 让学生体验合作学习的方式 通过合作学习品尝分 享获得知识的快乐 再者 通过对数学家的了解 感受数 学家的精神 增加学好数学的信心 为今后的学习打下好 的基础 福鼎市第一中学 曹齐平 点 评 该教学设计具有一定的创新性 在教师的引导下 以学生 合作学习的模式 探讨函数概念的形成 发展的历史以及 在这个过程中起重大作用的历史事件和人物 通过学生的 自主学习 探究活动 学生经历收集信息 整理资料 并 从中提取有用信息的过程 让学生体验数学知识发现和创 造的历程 对于提高学生的数学表达和交流的能力具有一 定意义 但该设计中教师的主导地位体现得不够 教师对学生的评 价不够具体 只有鼓掌 2 指数函数的图象及其性质 一 教学内容分析 本节课是 普通高中课程标准实验教科书 数学 1 人 教 A 版 第二章第一节第二课 2 1 2 指数函数及其性 质 根据我所任教的学生的实际情况 我将 指数函数及 其性质 划分为两节课 探究图象及其性质 指数函数及 其性质的应用 这是第一节课 探究图象及其性质 指 数函数是重要的基本初等函数之一 作为常见函数 它不 仅是今后学习对数函数和幂函数的基础 同时在生活及生 产实际中有着广泛的应用 所以指数函数应重点研究 二 学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念 基本掌握了函数 的性质的基础上进行研究的 是学生对函数概念及性质的 第一次应用 教材在之前的学习中给出了两个实际例子 GDP 的增长问题和炭 14 的衰减问题 已经让学生感受到 指数函数的实际背景 但这两个例子背景对于学生来说有 些陌生 本节课先设计一个看似简单的问题 通过超出想 象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望 三 设计思想 1 函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置 如何突 破这个即重要又抽象的内容 其实质就是将抽象的符号语 言与直观的图象语言有机的结合起来 通过具有一定思考 价值的问题 激发学生的求知欲望 持久的好奇心 我 们知道 函数的表示法有三种 列表法 图象法 解析法 以往的函数的学习大多只关注到图象的作用 这其实只是 借助了图象的直观性 只是从一个角度看函数 是片面的 本节课 力图让学生从不同的角度去研究函数 对函数进 行一个全方位的研究 并通过对比总结得 到研究的方法 让学生去体会这种的研究方法 以便能将其 迁移到其他函数的研究中去 2 结合参加我校组织的两个课题 对话 反思 选择 和 新课程实施中同伴合作和师生互动研究 的研究 在 本课的教学中我努力实践以下两点 在课堂活动中通过同伴合作 自主探究培养学生积极主 动 勇于探索的学习方式 在教学过程中努力做到生生对话 师生对话 并且在对 话之后重视体会 总结 反思 力图在培养和发展学生数 学素养的同时让学生掌握一些学习 研究数学的方法 3 通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法 四 教学目标 根据任教班级学生的实际情况 本节课我确定的教学目标 是 理解指数函数的概念 能画出具体指数函数的图象 在理解指数函数概念 性质的基础上 能应用所学知识解 决简单的数学问题 在教学过程中通过类比 回顾归纳从 图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法 加深对指数函数的认识 让学生在数学活动中感受数学思 想方法之美 体会数学思想方法之重要 同时通过本节课 的学习 使学生获得研究函数的规律和方法 培养学生主 动学习 合作交流的意识 五 教学重点与难点 教学重点 指数函数的概念 图象和性质 教学难点 对底数的分类 如何由图象 解析式归纳指数 函数的性质 六 教学过程 一 创设情景 提出问题 约 3 分钟 师 如果让 1 号同学准备 2 粒米 2 号同学准备 4 粒米 3 号同学准备 6 粒米 4 号同学准备 8 粒米 5 号同学准备 10 粒米 按这样的规律 51 号同学该准备多少米 学生回答后教师公布事先估算的数据 51 号同学该准备 102 粒米 大约 5 克重 师 如果改成让 1 号同学准备 2 粒米 2 号同学准备 4 粒米 3 号同学准备 8 粒米 4 号同 学准备 16 粒米 5 号同学准备 32 粒米 按这样的规律 51 号同学该准备多少米 学情预设 学生可能说很多或能算出具体数目 师 大家能否估计一下 51 号同学该准备的米有多重 教师公布事先估算的数据 51 号同学所需准备的大米约重 1 2 亿吨 师 1 2 亿吨是一个什么概念 根据 2007 年 9 月 13 日美国 农业部发布的最新数据显示 2007 2008 年度我国大米产 量预计为 1 27 亿吨 这就是说 51 号同学所需准备的大米 相当于 2007 2008 年度我国全年的大米产量 设计意图 用一个看似简单的实例 为引出指数函数的 概念做准备 同时通过与一次函数的对比让学生感受指数 函数的爆炸增长 激发学生学习新知的兴趣和欲望 在以上两个问题中 每位同学所需准备的米粒数用 y 表示 每位同学的座号数用 x 表示 y 与 x 之间的关系分别是什么 学生很容易得出 y 2x x N 和 y 2x x N 学情预设 学生可能会漏掉 x 的取值范围 教师要引导 学生思考具体问题中 x 的范围 二 师生互动 探究新知 1 指数函数的定义 师 其实 在本章开头的问题 2 中 也有一个与 y 2x 类似 的关系式 y 1 073x x N x 20 让学生思考讨论以下问题 问题逐个给出 约 3 分 钟 y 2x x N 和 y 1 073x x N x 20 这两个解析式有 什么共同特征 它们能否构成函数 是我们学过的哪个函数 如果不是 你能否根据该函数 的特征给它起个恰当的名字 设计意图 引导学生从具体问题 实际问题中抽象出数 学模型 学生对比已经学过一次函数 反比例函数 二次 函数 发现 y 2x y 1 073x 是一个新的函数模型 再让学 生给这个新的函数命名 由此激发学生的学习兴趣 引导学生观察 两个函数中 底数是常数 指数是自变量 师 如果可以用字母 a 代替其中的底数 那么上述两式就 可以表示成 y ax 的形式 自变量在指数位置 所以我们把 它称作指数函数 让学生讨论并给出指数函数的定义 约 6 分钟 对于底数的分类 可将问题分解为 若 a 0 会有什么问题 如 a 2 x 在 若 若 会有什么问题 对于 x 0 ax 都无意义 又会怎么样 无论 取何值 它总是 1 对它没有研究的必要 1 则在 实数范围内相应的函数值不存 2 师 为了避免上述各种情况的发生 所以规定 在这里要注意生生之间 师生之间的对话 且 学情预设 若学生从教科书中已经看到指数函数的定 义 教师可以问 为什么要求 a 0 且 a 1 a 1 为什么不 行 若学生只给出 y ax 教师可以引导学生通过类比一次函 数 y kx b k 0 k 反比例函数 y k 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 中的限制条件 思 x 考指数函数中底 数的限制条件 设计意图 对指数函数中底数限制条件的讨论可以引 导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值 讨论出 a 0 且 a 1 也为下面研究性质时对底数的分类 做准备 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义 能否 写出一两个指数函数 教师也在黑板上写出一些解析式让 学生判断 如 y 2 3x y 32x y 2x 学情预设 学生可能只是关注指数是否是变量 而不考 虑其它的 设计意图 加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解 2 指数函数性质 提出两个问题 约 3 分钟 目前研究函数一般可以包括哪些方面 设计意图 让学生在研究指数函数时有明确的目标 函 数三个要素 对应法则 定义域 值域 和函数的基本性 质 单调性 奇偶性 研究函数 比如今天的指数函数 可以怎么研究 用什 么方法 从什么角度研究 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究 可以从 具体的函数入手 即底数取一些数值 当然也可以用列表 法研究函数 只是今天我们所学的函数用列表法不易得出 此函数的性质 可见具体问题要选择适当的方法来研究才 能事半功倍 还可以借助一些数学思想方法来思考 设计意图 让学生知道图象法不是研究函数的唯一方 法 由此引导学生可以从图象和解析式 包括列表 不同的 角度对函数进行研究 对学生进行数学思想方法 从一般到特殊再到一般 数 形结合 分类讨论 的有机渗透 分组活动 合作学习 约 8 分钟 师 好 下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对 指数函数进行研究 让学生分为两大组 一组从解析式 的角度入手 不画图 研究指数函数 一组借助电脑通过 几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数 每一大组再分为若干合作小组 建议 4 人一小组 每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流 学情预设 考虑到各组的水平可能有所不同 教师应巡 视 对个别组可做适当的指导 设计意图 通过自主探索 合作学习不仅让学生充当学 习的主人更可加深对所得到结论的理解 交流 总结 约 10 12 分钟 师 下面我们开一个成果展示会 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况 此时可选一些 有代表性的小组上台展示研究成果 并对比从两个角度入 手研究的结果 教师可根据上课的实际情况对学生发现 得出的结论进行 适当的点评或要求学生分析 这里除了研究定义域 值域 单调性 奇偶性外 再引导学生注意是否还有其它性质 师 各组在研究过程中除了定义域 值域 单调性 奇偶 性外是否还得到一些有 1 价值的副产品呢 如过定点 0 1 y ax 与 y x 的 图象关于 y 轴对称 a 学情预设 首先选一从解析式的角度研究的小组上台 汇报 对于从图象的角度研究的 可先选没对底数进行分类的 小组上台汇报 问其它小组有没不同的看法 上台补充 让学生对底数 进行分类 引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性 以什么为分界 教师可以马上通过电脑操作看函数图象的 变化 设计意图 函数的表示法有三种 列表法 图象法 解析法 通过这个活动 让学生知道研究一个具体的函数 可以也应该从多个角度入手 从图象角度研究只是能直观 的看出函数的一些性质 而具体的性质还是要通过对解析 式的论证 特别是定义域 值域更是可以直接从解析式中 得到的 让学生上台汇报研究成果 让学生有种成就感 同时还 可训练其对数学问题的分析和表达能力 培养其数学素养 对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点 让学生 在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然 师 从图象入手我们很容易看出函数的单调性 奇偶性 以及过定点 0 1 但定义域 值域却不可确定 从解析 式 结合列表 可以很容易得出函数的定义域 值域 但 对底数的分类却很难想到 教师通过几何画板中改变参数 a 的值 追踪 y ax 的图象 在变化过程中 让全体学生进一步观察指数函数的变化规 律 师生共同总结指数函数的图象和性质 教师可以边总结边 板书 1 例 已知指数函数 f x ax a 0 且 a 1 的图象经过点 3 求 f 0 f 1 f 3 的值 解 因为 f x ax 的图象经过点 3 所以 f 3 即 a3 解得 a 于是 f 3 所以 f 0 1 f 1 f 3 113x3 设计意图 通过本题加深学生对指数函数的理解 师 根据本题 你能说出确定一个指数函数需要什么条件 吗 师 从方程思想来看 求指数函数就是确定底数 因此只 要一个条件 即布列一个方程就可以了 设计意图 让学生明确底数是确定指数函数的要素 同 时向学生渗透方程的思想 12 练习 在同一平面直角坐标系中画出 y 3x 和 y x 的大致图象 并 3 说出这两个函数的性质 求下列函数的定义域 y 2x 21 y x 21 3 师 通过本节课的学习 你对指数函数有什么认识 你 有什么收获 学情预设 学生可能只是把指数函数的性质总结一下 教师要引导学生谈 谈对函数研究的学习 即怎么研究一个函数 设计意图 让学生再一次复习对函数的研究方法 可 以从也应该从多个角度进行 让学生体会本课的研究方法 以 便能将其迁移到其他函数的研究中去 总结本节课中所用到的数学思想方法 强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系 相互作 用 才能融会贯通 4 作业 课本 59 页习题 2 1A 组第 5 题 七 教学反思 1 本节课改变了以往常见的函数研究方法 让学生从不同 的角度去研究函数 对函数进行一个全方位的研究 不仅 仅是通过对比总结得到指数函数的性质 更重要的是让学 生体会到对函数的研究方法 以便能将其迁移到其他函数的 研究中去 教师可以真正做到 授之以渔 而非 授之以 鱼 2 教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感 立体 感和动态感方面的不足 可以很容易的化解教学难点 突 破教学重点 提高课堂效率 本课使用几何画板可以动态 地演示出指数函数的底数的动态过程 让学生直观观察底 数对指数函数单调性的影响 3 在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法 让学生在 活动中感受数学思想方法之美 体会数学思想方法之重要 部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析 思考 问题 福州十一中 胡鹏程 点评 本节是指数函数及其性质概念课 胡老师在教学设计中 让人印象深刻的是以学生为主体 注重学法指导 重视新 旧知识的契合 关注知识的类比 学习方法的迁移 胡老 师能够抓住学生的好奇心 将娱乐 计算米粒 与数学有 机地结合在一起 提高了学生学习本节知 x 识的兴趣 在观察 准备米粒 得到 y 2n 和章开头 y 1 073 x N x 20 函数关系式后 巧妙而不失时机地 引导学生从具体问题中抽象出数学模型 y ax 发现指数在 变化 这与以前所学函数 一次函数 二次函数 反比例 函数 都不一样 把变化的量用 x 表示 不变的量用 a 表 示 通过让学生给函数命名 举几个指数函数例子这个小 环节 增强学生对指数函数本质的理解 激发学习兴趣 概念的 得到可谓 润物细无声 接着 胡老师在设计中还注重对 学生探索能力的培养 让学生类比一次函数 y kx b k 0 反比例函数 y k k 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 中 的限制条件 给出指 x 数函数的定义及底数 a 的取值范围 在研究指数函数的性质时 胡老师能够紧扣第一章的函数 知识 让学生在研究指数函数时有明确的目标 函数三个 要素 对应法则 定义域 值域 和函数的基本性质 单 调性 奇偶性 通过提问的方法 让学生明白研究函数可 以从图象和解析式这两个不同的角度进行出发 将学生的 注意力引向本节的第二个知识点 图象及其性质 设计 中将学生进行分组 通过学生的自主探究 合作学习 侧 重对解析式 作图象探索 学生的上台报告 老师借助几 何画板的直观图形 以形助数 以数定形 数形结合的数 学方法 收到了较好的研究效果 3 对数的概念 一 教学内容分析 本节课是新课标高中数学 A 版必修 中第二章对数函数内 容的第一课时 也就是对数函数的入门 对数函数对于学 生来说是一个全新的函数模型 学习起来比较困难 而对 数函数又是本章的重要内容 在高考中占有一定的分量 它是在指数函数的基础上 对函数类型的拓广 同时在解 决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用 通过本 节课的学习 可以让学生理解对数的概念 从而进一步深 化对对数模型的认识与理解 为学习对数函数作好准备 同时 通过对数概念的学习 对培养学生对立统一 相互 联系 相互转化的思想 培养学生的逻辑思维能力都具有 重要的意义 二 学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差 主动性不够 学习 有依赖性 且学习的信心不足 对数学存在或多或少的恐 惧感 通过对指数与指数幂的运算的学习 学生已多次体 会了对立统一 相互联系 相互转化的思想 并且探究能 力 逻辑思维能力得到了一定的锻炼 因此 学生已具备 了探索发现研究对数定义的认识基础 故应通过 指导 教会学生独立思考 大胆探索和灵活运用类比 转 化 归纳等数学思想的学习方法 三 设计思想 学生是教学的主体 本节课要给学生提供各种参与机会 为 了调动学生学习的积极性 使学生化被动为主动 本节课 我利用多媒体辅助教学 教学中我引导学生从实例出发 从 中认识对数的模型 体会引入对数的必要性 在教学重难 点上 我步步设问 启发学生的思维 通过课堂练习 探究 活动 学生讨论的方式来加深理解 很好地突破难点和提高 教学效率 让学生在教师的引导下 充分地动手 动口 动脑 掌握学习的主动权 四 教学目标 1 理解对数的概念 了解对数与指数的关系 掌握对数式 与指数式的互化 理解对数的性质 掌握以上知识并形成 技能 2 通过事例使学生认识对数的模型 体会引入对数的必要 性 通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式 的互化 3 通过学生分组探究进行活动 掌握对数的重要性质 通 过做练习 使学生感受到理论与实践的统一 4 培养学生的类比 分析 归纳能力 严谨的思维品质以 及在学习过程中培养学生探究的意识 五 教学重点与难点 重点 1 对数的概念 2 对 数式与指数式的相互转化 难点 1 对数概念的理解 2 对数性质的理解 七 教学反思 本教学设计先由引例出发 创设情境 激发学生对对数的 兴趣 在讲授新课部分 通过结合多媒体教学以及一系列 的课堂探究活动 加深学生对对数的认识 最后通过课堂 练习来巩固学生对对数的掌握 古田一中 林宁宁 点评 对数概念是高中数学课程的重要内容 本文目标的制订具 体 适宜 且明确地体现在每一教学环节中 教学思路设 计符合教学内容实际和学生实际 层次脉络较清晰 强调 对数的概念的理解 对数式与指数式的相互转化 对书写 规格等做了要求 有利于学生作业的规范化 培养学生严 谨的思维品质 高中新课程在教学方面所倡导的新的教学 理念 对于促进课堂教学中学生学习方式的变革起到了巨 大作用 然而 这些理念在指导我们重建课堂教学时也表 现出限定的有效性 只有对此有客观和充分的认识 我们 才不至于生搬硬套 适得其反 从一个极端走向另一个极 端 教无定法 重在得法 只要能激发学生的学习兴趣 提高学生的学习积极性 有助于学生思维能力的培养 有 利于所学知识的掌握和运用 达到课堂教学的效果 都应 该是好的教学方法 4 对数函数及其性质 1 一 教材分析 本小节选自 普通高中课程标准数学教科书 数学必修 一 人教版 第二章基本初等函数 1 2 2 2 对数函数及其 性质 第一课时 主要内容是学习对数函数的定义 图象 性质及初步应用 对数函数是继指数函数之后的又一个重 要初等函数 无论从知识或思想方法的角度对数函数与指 数函数都有许多类似之处 与指数函数相比 对数函数所 涉及的知识更丰富 方法更灵活 能力要求也更高 学习 对数函数是对指数函数知识和方法的巩固 深化和提高 也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基 础 虽然这个内容十分熟悉 但新教材做了一定的改动 如何设计能够符合新课标理念 是人们十分关注的 正因 如此 本人选择这课题立求某些方面有所突破 二 学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生 仍保留着初中生许多学习特点 能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段 但更注重 形象思维 由于函数概念十分抽象 又以对数运算为基础 同时 初中函数教学要求降低 初中生运算能力有所下降 这双重问题增加了对数函数教学的难度 教师必须认识到 这一点 教学中要控制要求 的拔高 关注学习过程 三 设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导 以新课标基本理念为 依据进行设计的 针对学生的学习背景 对数函数的教学 首先要挖掘其知识背景贴近学生实际 其次 激发学生的 学习热情 把学习的主动权交给学生 为他们提供自主探 究 合作交流的机会 确实改变学生的学习方式 四 教学目标 1 通过具体实例 直观了解对数函数模型所刻画的数量关 系 初步理解对数函数的概念 体会对数函数是一类重要 的函数模型 2 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象 探索 并了解对数函数的单调性与特殊点 3 通过比较 对照的方法 引导学生结合图象类比指数函 数 探索研究对数函数的性质 培养学生运用函数的观点 解决实际问题 五 教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质 难点是底数对对数函 数值变化的影响 六 教学过程设计 教学流程 背景材料 引出课题 函数图象 函数性 质 问题解决 归纳小结 一 熟悉背景 引入课题 1 让学生看材料 材料 1 幻灯 马王堆女尸千年不腐之谜 一九七二年 马王堆考古发现震惊世界 专家发掘西汉辛追遗尸时 形体完整 全身润泽 皮肤仍 有弹性 关节还可以活动 骨质比现在六十岁的正常人还 好 是世界上发现的首例历史悠久的湿尸 大家知道 世 界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成 譬如沙漠 环境 这类干尸虽然肌肤未腐 是因为干燥不利细菌繁殖 但关节和一般人死后一样 是僵硬的 而马王堆辛追夫人 却是在湿润的环境中保存二千多年 而且关节可以活动 人们最关注有两个问题 第一 怎么鉴定尸体的年份 第 二 是什么环境使尸体未腐 其中第一个问题与数学有关 图 4 1 如图 4 1 在长沙马王堆 沉睡 近 2200 年的古长沙国 丞相夫人辛追 日前奇迹般地 复活 了 那么 考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追 沉 睡 近 2200 年 上 面已经知道考古学家是通过提取尸体 的残留物碳 14 的残留量 p 利用 t log 57301 2P 估算尸体出土的年代 不难发现 对每一个碳 14 的含量的 取值 通过这个对应关 系 生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应 从而 t 是 P 的函 数 如图 4 2 材料 2 幻灯 某种细胞分裂时 由 1 个分裂 成 2 个 2 个分裂成 4 个 如果要求这种细胞经过多少 次分裂 大约可以得到细胞 1 万个 10 万个 不难发现 分裂次数 y 就是要得到的细胞个数 x 的函数 即 y log2x 图 4 2 1 引导学生观察这些函数的特征 含有对数符号 底数是 常数 真数是变量 从而得出对数函数的定义 函数 y logax a 0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函 数的定义域是 0 1 对数函数的定义与指数函数类似 都是形式定义 注意 辨别 如 注意 x2 对数函数对底数的限制 a 0 且 都不是对数函 数 5y 2log2x y log5 a 1 3 根据对数函数定义填空 例 1 1 函数 y logax 的定义域是 其中 a0 a 1 2 函数 y loga 4 x 的定义域是 其中 a0 a 1 说明 本例主要考察对 数函数定义中底数和定义域的限制 加深对概念的理解 所以把教材中的解答题改为填空题 节省时间 点到为止 以避免挖深 拓展 引入复合函数的概念 设计意图 新课标强调 考虑到多数高中生的认知特点 为了有助于他们对函数概念本质的理解 不妨从学生自己 的生活经历和实际问题入手 因此 新课引入不是按旧教 材从反函数出发 而是选择从两个材料引出对数函数的概 念 让学生熟悉它的知识背景 初步感受对数函数是刻画 现实世界的又一重要数学模型 这样处理 对数函数显得 不抽象 学生容易接受 降低了新课教学的起点 2 二 尝试画图 形成感知 1 确定探究问题 教师 当我们知道对数函数的定义之后 紧接着需要探讨 什么问题 学生 1 对数函数的图象和性质 教师 你能类比前面研究指数函数的思路 提出研究对数 函数图象和性质的方法吗 学生 2 先画图象 再根据图 象得出性质 教师 画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类 学生 3 按 a 1 和 0 a 1 分类讨论 教师 观察图象主要看哪几个特征 学生 4 从图象的形状 位置 升降 定点等角度去识图 教师 在明确了探究方向后 下面 按以下步骤共同探究 对数函数的图象 步骤一 1 用描点法在同一坐标系 中画出下列对数函数的图象 y log2x y log1x 2 2 用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y log3x y log1x 3 步骤二 观察对数函数 y log2x y log3x 与 y log1x y log1x 的图象特征 23 看看它们有那些异同点 步骤三 利用计算器或计算机 选取底数 a a 0 且 a 1 的若干个不同的值 在 同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象 观察图 象 它们有哪些共同特征 步骤四 规纳出能体现对数函数的代表性图象 步骤五 作指数函数与对数函数图象的比较 2 学生探究成果 1 如图 4 3 4 4 较为熟练地用描点法画出下列对数 函数 y log2x y log1x y log3x y log1x 的图象 23 图 4 3 图 4 4 2 如图 4 5 学生选取底数 a 1 4 1 5 1 6 1 10 4 5 6 10 并推荐几 位代表上台演示 几何画板 得到相应对数函数的图象 由于学生自己动手 加上 几何画板 的强大作图功能 学生非常清楚地看到了底数 a 是如何影响函数 y logax a 0 且 a 1 图象的变化 图 4 5 3 有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验 学生很明确 y loga x a1 y loga x 0a1 的图象代表对数函数的两种情形 图 4 6 y loga x a1 y loga x 0a1 图 4 6 4 学生相互补充 自主发现了图象的下列特征 图象 都在 y 轴右侧 向 y 轴正负方向无限延伸 都过 1 0 点 当 a1 时 图象沿 x 轴正向逐步上升 当 0a1 时 图象沿 x 轴正向逐步下降 图象关 于原点和 y 轴不对称 并且能从图象的形状 位置 升降 定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别 如图 4 7 图 4 7 3 拓展探究 1 对数函数 y log2x 与 y log1x y log3x 与 y log1x 的 23 图象有怎样的对称关系 2 对数函数 y loga x a1 当 a 值增大 图象 的上升 程度 怎样 说明 这是学生探究中容易忽略的地方 通过补充学生对 对数函数图象感性认 识就比较全面 设计意图 旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象 得到对数函数图象 这样处理学生虽然会接受了这个事实 但对图象的感觉是肤浅的 这样处理也存在着函数教学忽 视图象 性质的认知过程而注重应用的 功利 思想 因 此 本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究 对数函数图象的形成过程 加深感性认识 同时 帮助学 生确定探究问题 探究方向和探究步骤 确保探究的有效 性 这个环节 还要借助计算机辅助教学作用 增强学生 的直观感受 三 理性认识 发现性质 1 确定探究问题 教师 当我们对对数函数的图象有了直观认识后 就可以 进一步研究对数函数的 性质 提高我们对对数函数的理性认识 同学们 通常研 究函数的性质有哪些途径 学生 主要研究函数的定义域 值域 单调性 对称性 过定点等性质 教师 现在 请同学们依照研究函数性质的途径 再次联 手合作 根据图象特征 探究出对数函数的定义域 值域 单调性 对称性 过定 点等性质 2 学生探究成果 设计意图 发现性质 弄清性质的来龙去脉 是为了更好 揭示对数函数的本质属性 传统教学往往让学生在解题中 领悟 为了扭转这种方式 我先引导学生回顾指数函数的 性质 再利用类比的思想 小组合作的形式通过图象主动 探索出对数函数的性质 教学实践表明 当学生对对数函 数的图象已有感性认识后 得到这些性质必然水到渠成 四 探究问题 变式训练 问题一 幻灯 教材 p79 例 8 比较下列各组数中两 个值的大小 1 log 23 4 log 28 5 2 log 0 31 8 log 0 32 7 3 log a5 1 log a5 9 a 0 且 a 1 独立思考 1 构造怎样的对数函数模型 2 运用怎样的 函数性质 X log0 小组交流 1 y log2x 是增函数 2 y 是减函数 3 3 y loga x 分 a 1 和 0 a 1 分类讨论 变式训练 1 比较下列各题中两个值的大小 log106 log108 log0 56 log0 54 log0 10 5 log0 10 6 log1 50 6 log1 50 4 2 已知下列不等式 比较正数 m n 的大小 1 log 3 m log 3 n 2 log 0 3 m log 0 3 n 3 log a m loga n 0a1 4 log a m log a n a1 问题二 幻灯 教材 p79 例 9 溶液酸碱度的测量 H 其中 H 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的 pH 的计算公式为 pH lg 表示溶液中氢离子的浓度 单位是摩尔 升 1 根据对数 函数性质及上述 pH 的计算公式 说明溶液酸碱度与溶液中 氢离子的浓度之间的变化关系 2 已知纯静水中氢 10 摩尔 升 计算纯静水的 pH H 离子的浓度为 7 独立思考 解决这个问题是选择怎样的对数函数模型 运 用什么函数性质 H H H H 的增大 pH 减小 即小组交流 pH lg lg lg1 随着 溶液中氢离子浓度越大 溶液的酸碱度就越大 设计意图 1 这个环节不做为本节课的重头戏 设臵探 究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用 问题一是比较大小 始终要紧扣对数函数模型 渗透函数 的观点 数形结合 解决问题的思想方法 2 旧教材在图 象与性质之后 通常操练类似比较大小等技巧性过大的问 题 而新教材引出问题二 还是强调 数学建模 的思想 并且关注学科间的联系 这种精神应予领会 当然要预计 到 实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难 教师要注意引导 五 归纳小结 巩固新知 1 议一议 1 怎样的函数称为对数函数 2 对数函数的图象形状与底数有什么样的关系 3 对数函数有怎样的性质 2 看一看 对数函数的图象特征和相关性质 六 作业布置 课后自评 1 必做题 教材 P82 习题 2 2 A 组 第 7 8 9 12 题 2 选做题 教材 P83 习题 2 2 B 组 第 2 题 3 七 教学反思 从教二十多年 每每设计函数的教学 始终存有困惑的感 慨 同时也有 遇旧如新的喜悦 函数始终是高中数学教学的主线 对数 函数始终是高中数学的难点 高中新课改的春风 带来了 函数教学设计上的创新 促使我们在学生学习方法上 教 学内容的组织上 教学辅助手段上率先尝试 但这只是一 个起点 目前教学条件还受到制约 如图形计算器未能普 及 课时紧容量大 都影响函数的正常教学 通过这次活 动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨 参考文献 1 普通高中数学课程标准 人教社 2003 2 章建跃 数学课堂教学设计研究 数学通报 2006 7 宁德市霞浦县第六中学 郭星波 点评 本文教学目标的设计定位准确 教学重点 难点明确 从 两个实际问题引出对数函数的概念 让学生了解知识产生 的背景 初步感受对数函 数是刻画现实世界的一个重要数学模型 教学设计注重引 导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程 加深感性认识 同时 帮助学生确定探究问题 探究方向 和探究步骤 确保探究的有效性 同时借助计算机辅助教 学 增强学生的直观感受 教给学生方法比教给学生知识更重要 本设计能在前一节 刚学过指数函数的图象与性质的基础上 通过类比 以旧 引新 自然过渡到本节的学习 用研究指数函数的图象与 性质的方法来研究对数函数的图象与性质 在教学过程中 教师能引导学生确定探究问题 探究方向和探究步骤 确 保了探究的有效性 让学生动手画图 观察图象 启发学 生思考 实验 分析 归纳 注重探究的过程与方法 在 这里 教师成为课堂教学的组织者与学生学习的促进者 而学生成为学习的主人 学会了学习 学到了 对比联系 数形结合 及 分类讨论 的思想方法 另外 教学情景的设臵 教学例题的选用 以及信息技术 来动态演示 都令人耳目一新 体现了教师的良好的素养 及丰厚的学科功底 5 对数函数及其性质 2 一 教学内容分析 普通高中课程标准数学教科书 必修 1 人民教育出 版社 高中一年级第二单元 2 2 2 对数函数的图象和性质 第一课时 函数是高中数学的主体内容 变量数学的主要研究对象 之一 是中学数学的重点知识 研究函数的一般理论和基 本方法 用函数的思想方法解决实际问题 是函数 教学的主要目标 必修 2 2 2 对数函数及其性质 按课 标要求教学时间为 3 个学时 本节课为第 1 课时 本节课 教学是学生在学过正比例函数 一次函数 二次函数 反 比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数 对对数函数概念的理解 图象和性质的掌握和应用有利于 学生对初等函数认识的系统性 有利于进一步加深对函数 思想方法的理解 为后面进一步探究对数函数的应用及指 数函数 对数函数的综合应用起到承上启下的作用 二 学情与教材分析 对数函数是高中引进的第二个初等函数 是本章的重点内 容 学生在前面的函数性质 指数函数学习的基础上 用 研究指数函数的方法 进一步研究和学习对数函数的概念 图象和性质以及初步应用 有利于学生进一步完善初等函 数的认识的系统性 加深对函数的思想方法的理解 在教 学过程中 虽然学生的认知水平有限 但只要让学生体验 对数函数来源于实践 通过教师课件的演示 通过数形结 合 让学生感受 y logax a0 且 a 1 中 a 取不同的 值时反映出不同的函数图象 让学生观察 小组讨论 发 现 归纳出图象的共同特征 函数图象的规律 进而探究 学习对数函数的性质 最后将对数函数 指数函数的图象和性质进行比较 以便 加深对对数函数的概念 图象和性质的理解 同时也为后 面教学作准备 三 设计思想 在本节课的教学过程中 通过古遗址上死亡生物体内碳 14 含量与生物死亡年代关系的探索 引出对数函数的概念 通过对底数 a 的分类讨论 探究总结出对数函数的图象与 性质 使学生经历从特殊到一般的过程 体验知识的产生 形成过程 通过例题的分析与练习 进一步培养学生自主 探索 合作交流的学习方式 通过学生经历直观感知 观 察 发现 归纳类比 抽象概括等思维过程 落实培养学 生积极探索学习习惯 提高学生的数学思维能力的新课程 理念 四 教学目标 1 通过对对数函数概念的学习 培养学生实践能力 使学 生理解对数函数的概念 激发学生的学习兴趣 2 通过对对数函数有关性质的研究 渗透数形结合 分类 讨论的数学思想 培养观察 分析 归纳的思维能力和交 流能力 增强学习的积极性 掌握对数函数的图象与性质 并会初步应用 3 培养学生自主学习 数学交流能力和数学应用意识 通 过联系观点分析 解决两数比较大小的问题 五 教学重点和难点 重点 1 对数函数的定义 图象 性质 2 对数函数的性质的初步应用 难点 底数 a 对对数函数图象 性质的影响 六 教学过程设计 问题与情境 师生活动 活动一 1 你能说出指数函数的概念 图象 生 回答问题 1 性质吗 师 组织学生计算 注 2 课件演示 意引导学生从函数的实际看 2 2 1 的例 6 在 t log 5730 2 P 中 出发 解释两个变量之间的 请同学们用计算器计算 在古遗址关系 上生物体内碳 14 的含量 P 与之相教师提出问题 注意引对应生物死亡年代 t 的值 完成下 表 导学生把解析式概括到 y logax 形式 P 0 5 0 3 0 01 t 3 你能归纳出这类函数的一般式吗 学生思考 归纳概括函数特征 活动二 归纳给出对数函数的概念 师 板书 一般地 我 们把函数 y logax a 0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 你知道为什么 a 0 且 a 1 和是 自变量 定义域为 x 0 吗 x 0 教学引导学生用对数的定义分析 回答 第 36 页 共 74 页 设计意图 通过回顾旧 知识 使知识得到联系 创设问题情境 让学生从生活中发现问题 激发学生的学 习兴趣 初步建立对 数函数模形 抽象出对数 函数的一般形 式 让学生感受从特殊到一般的 数学思维方法 发展学生抽象思维能力 活动三 1 你能用描点法画出 y log2x 和 生 独立画图 同学间交流 会用描点法画出这两个函数的图象 师 课堂巡视 个别辅 y log1x 的图象吗 2 导 展示画得较好的个别同 学图象 图 5 1 为对数函数的图象和性质作铺垫 的区别在哪里 图象有什么不同和 联系 图 5 1 2 从画出的图象中 你能发现解析式 生 个别同学尝试回答 师 引导学生发现 观察 对比 底数不同对函数图象的影响 活动四 1 你知道下列函数 1 y log2x y log3x y log4x 2 y log1x y log1x y log1x 2 3 4 生 独立思考 小组讨论 各个函数的图象 通过学生讨论 培养学生交 获得对数函 师 用多媒体课件展示流合作能力 图象吗 观察并回答有什么共同点和 不同点 2 你能思考并归纳出 y logax a 0 且 a 1 中 当 a 1 和 0 a 1 时 两种图象的特点吗 生 观察图象讨论 交数的图象和性 明确底数 a 的要素 渗透分类讨论思想 流合作 归纳出对数函数的质 共同性质 数性质去分析 师 注意引导学生从函是确定对数函数 第 37 页 共 74 页 给出对数函数 y logax a0 且 a 1 的图象和性质 图 象 图 5 2 通过对数函数图象的观察 分析总结出对数函数的性质 有利于加深学生对性质的理解和掌握 使学生经历从特殊 到一般的过程 体验知识的产生形成过程 逐步培养学生 的抽象概括能力 a 1 0 a 1 定义域 值域 R 过定点 1 0 在 x 0 上为增函数 当在 x 0 上为减函数 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 x 0 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 生 独立完成 学生存在的问题 集中讲评 掌握对数函 活动五 练习 P81 1 画出函数并且说 y log3x 和 y log1x 图象 3 师 课堂巡视 注意收集数图象的画法 明这两个函数图象有什么不同点和 相同点 活动六 例 1 求下列函数的定义域 1 y logax2 2 y loga 4 x 师 分析 函数的定义域明确真数大 必须使函数的解析式有意义 于 0 的条件 掌根据 y logax 中 x 0 中 所以握解题步骤 中 x2 0 即 x 0 4 x 0 x 4 师 板书 解 1 x2 0 x 0 即函数 y logax2 的定 义域为 xx 0 2 4 x 0 x2 0 x 4 即函数 xx 4 y loga 4 x 的定义域为 生 认真听讲 积极思考 第 38 页 共 74 页 叙述解例 1 的步骤 练习 P81 2 求下列函数的定义域 师 请 4 个同