北师大版八年级数学下册教案+随堂练习.doc

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北师大版八年级数学下册教案+随堂练习目录第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组1 不等关系2 不等式的基本性质3 不等式的解集4 一元一次不等式5 一元一次不等式与一次函数6 一元一次不等式组第二章 分解因式1 分解因式2 提公因式法3 运用公式法第三章 分式1 分式2 分式的乘除法3 分式的加减法4 分式方程第四章 相似图形1 线段的比2 黄金分割3 形状相同的图形4 相似多边形 5 相似三角形6 探索三角形相似的条件7 测量旗杆的高度8 相似多边形的性质9 图形的放大与缩小第五章 数据的收集与处理1 每周干家务活的时间2 数据的收集3 频数与频率4 数据的波动第六章 证明(一)1 你能肯定吗2 定义与命题3 为什么他们平行4 如果两条直线平行5 三角形内角和定理的证明6 关注三角形的外角第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系一、教学目标:理解实数范围内代数式的不等关系,并会进行表示。能够根据具体的事例列出不等关系式。二、教学过程:如图:用两根长度均为Lcm的绳子,各位成正方形和圆。(1)如果要使正方形的面积不大于25,那么绳长L应该满足怎样的关系式?(2)如果要使原的面积大于100,那么绳长L应满足怎样的关系式?(3)当L=8时,正方形和圆的面积哪个大?L=12呢?(4)由(3)你能发现什么?改变L的取值再试一试。在上面的问题中,所谓成的正方形的面积可以表示为(L/4),远的面积可以表示为(L/2) 。(1)要是正方形的面积不大于25,就是(L/4)25,即L/1625。(2)要使原的面积大于100,就是(L/2)100即 L/4100。(3)当L=8时,正方形的面积为8/16=6,圆的面积为8/45.1,45.1此时圆的面积大。当L=12时,正方形的面积为12/16=9,圆的面积为 12/411.5, 911.5,此时还是圆的面积大。教师得出结论(4)由(3)可以发现,无论绳长L取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即 L/4L/16。三、 随堂练习1、试举几个用不等式表示的例子。2、用适当的符号表示下列关系(1)a是非负数;(2)直角三角形斜边c比她的两直角边a,b都长;(3)x于17的和比它的5倍小。1.2 不等式的基本性质一、教学目标(1)探索并掌握不等式的基本性质;(2)理解不等式与等式性质的联系与区别.二、教学内容我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗?等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.基本性质2:在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.1.不等式基本性质的推导例353+25+232523+a5+a3a5a所以,在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.例:343343343(3)4(3)3()4()3(5)4(5)由此看来,在不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变.三、课堂练习1.将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式.(1)x12 (2)x解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加上1,得x3(2)根据不等式的基本性质3,两边都乘以1,得x 2.已知xy,下列不等式一定成立吗?(1)x6y6;(2)3x3y;(3)2x2y.解:(1)xy,x6y6.不等式不成立;(2)xy,3x3y不等式不成立;(3)xy,2x2y不等式一定成立.4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“xa”或“xa”的形式:(1)x23;(2)6x5x1;(3)x5;(4)4x3.5.设ab.用“”或“”号填空.(1)a3 b3;(2) ;(3)4a 4b;(4)5a 5b;(5)当a0,b 0时,ab0;(6)当a0,b 0时,ab0;(7)当a0,b 0时,ab0;(8)当a0,b 0时,ab0.参考答案:4.(1)x5;(2)x1;(3)x10;(4)x.5(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8).1.3 不等式的解集一、教学目标1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3.会在数轴上表示不等式的解集.二、教学过程1.现实生活中的不等式.燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s,人离开的速度为4 m/s,那么导火线的长度应为多少厘米?分析:人转移到安全区域需要的时间最少为秒,导火线燃烧的时间为秒,要使人转移到安全地带,必须有:.解:设导火线的长度应为x cm,根据题意,得 x5.2.想一想(1)x=5,6,8能使不等式x5成立吗?(2)你还能找出一些使不等式x5成立的x的值吗?答:(1)x=5不能使x5成立,x=6,8能使不等式x5成立.(2)x=9,10,11等比5大的数都能使不等式x5成立.3.例题讲解根据不等式的基本性质求不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来.(1)x24;(2)2x8(3)2x210解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加上2,得x2在数轴上表示为:(2)根据不等式的基本性质2,两边都除以2,得x4在数轴上表示为:(3)根据不等式的基本性质1,两边都加上2,得2x8根据不等式的基本性质3,两边都除以2,得x4在数轴上表示为:三、课堂练习1.判断正误:(1)不等式x10有无数个解;(2)不等式2x30的解集为x.2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上:(1)x4;(2)x1;(3)x2;(4)x6.1.解:(1)x10,x1x10有无数个解.正确.(2)2x30,2x3,x,结论错误.2.解:1.4 一元一次不等式一、教学目标1.知道什么是一元一次不等式?2.会解一元一次不等式.二、一元一次不等式的定义.下列不等式是一元一次不等式吗?(1)2x2.515;(2)5+3x240;(3)x4;(4)1.答(1)、(2)、(3)中的不等式是一元一次不等式,(4)不是.(4)为什么不是呢?因为x在分母中,不是整式.不等式的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,这样的不等式,叫做一元一次不等式(linear inequality with one unknown).2.一元一次不等式的解法.例1 解不等式3x2x+6,并把它的解集表示在数轴上.分析要化成“xa”或“xa”的形式,首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧,变成“axb”或“axb”的形式,再根据不等式的基本性质求得.解:两边都加上x,得3x+x2x+6+x合并同类项,得33x+6两边都加上6,得363x+66合并同类项,得33x两边都除以3,得1x即x1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.例2解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.生解:去分母,得3(x2)2(7x)去括号,得3x6142x移项,合并同类项,得5x20两边都除以5,得x4.这个不等式的解集在数轴上表示如下:三、课堂练习解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上:(1)5x10;(2)3x+120;(3);(4)1.解:(1)两边同时除以5,得x2.这个不等式的解集在数轴上表示如下:(2)移项,得3x12,两边都除以3,得x4,这个不等式的解集在数轴上表示为:(3)去分母,得3(x1)2(4x5),去括号,得3x38x10,移项、合并同类项,得5x7,两边都除以5,得x,不等式的解集在数轴上表示为:(4)去分母,得x+723x+2,移项、合并同类项,得2x3,两边都除以2,得x,不等式的解集在数轴上表示如下:1.5 一元一次不等式与一次函数一、教学目标1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.二、教学过程1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.作出函数y=2x5的图象,观察图象回答下列问题.(1)x取哪些值时,2x5=0?(2)x取哪些值时,2x50?(3)x取哪些值时,2x50?(4)x取哪些值时,2x53?(1)当y=0时,2x5=0,x=,当x=时,2x5=0.(2)要找2x50的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值,从图象上可知,y0时,图象在x轴上方,图象上任一点所对应的x值都满足条件,当y=0时,则有2x5=0,解得x=.当x时,由y=2x5可知 y0.因此当x时,2x50;(3)同理可知,当x时,有2x50;(4)要使2x53,也就是y=2x5中的y大于3,那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴,这条直线与y=2x5相交于一点B(4,3),则当x4时,有2x53.3.试一试如果y=2x5,那么当x取何值时,y0?首先要画出函数y=2x5的图象,如图从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,即为小于2.5的数,由2x5=0,得x=2.5,所以当x取小于2.5的值时,y0.三、课堂练习1.已知y1=x+3,y2=3x4,当x取何值时,y1y2?你是怎样做的?与同伴交流.解:如图124所示:当x取小于的值时,有y1y2.2.作出函数y1=2x4与y2=2x+8的图象,并观察图象回答下列问题:(1)x取何值时,2x40?(2)x取何值时,2x+80?(3)x取何值时,2x40与2x+80同时成立?(4)你能求出函数y1=2x4,y2=2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗?并写出过程.解:图象如下:分析:要使2x40成立,就是y1=2x4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合,同理使2x+80成立的x,即为函数y2=2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合,要使它们同时成立,即求这两个集合中公共的x,根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长,由两函数的交点坐标可求出底边上的高,从而求出三角形的面积.解(1)当x2时,2x40;(2)当x4时,2x+80;(3)当2x4时,2x40与2x+80同时成立.(4)由2x4=0,得x=2;由2x+8=0,得x=4所以AB=42=2由得交点C(3,2)所以三角形ABC中AB边上的高为2.所以S=22=2.3.分别解不等式5x13(x+1),x17x所得的两个解集的公共部分是什么?解:解不等式5x13(x+1),得x2解不等式x17 x,得x4,所以两个解集的公共部分是2x4.4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场调查发现:如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况,如何购销获利较多?解:设商场计划投入资金为x元,在月初出售,到月末共获利y1元;在月末一次性出售获利y2元,根据题意,得y1=15%x+(x+15%x)10%=0.265x,y2=30%x700=0.3x700.(1)当y1y2,即0.265x0.3x700时,x20000;(2)当y1=y2,即0.265x=0.3x700时,x=20000;(3)当y1y2,即0.265x0.3x700时,x20000.所以,当投入资金不超过20000元时,第一种销售方式获利较多;当投入资金超过20000元时,第二种销售方式获利较多.5.某医院研究发现了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=103毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3毫克,每毫升血液中含药量y(微克),随着时间x(小时)的变化如图所示(成人按规定服药后).(1)分别求出x2和x2时,y与x之间的函数关系式;(2)根据图象观察,如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多少?解:(1)当x2时,图象过(0,0),(2,6)点,设y1=k1x,把(2,6)代入得,k1=3y1=3x.当x2时,图象过(2,6),(10,3)点.设y2=k2x+b,则有得k2=,b=y2=x+ (2)过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线,于y1,y2的图象交于两点,过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和,即在=6小时间是有效的.1.6 一元一次不等式组一、教学目标总结解一元一次不等式组的步骤及情形.二、教学过程某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨?解: 设该校计划每月烧煤x吨,根据题意,得 4(x+5)100, (1) 且 4(x-5)100, 4(x-5)68. 一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元依次不等式组。解下列不等式组(1)(2)(3)(4)(1) 解:解不等式(1),得x1解不等式(2),得x4.在同一条数轴上表示不等式(1),(2)的解集如下图所以,原不等式组的解集是x1(2) 解:解不等式(1),得x解不等式(2),得x在同一条数轴上表示不等式(1),(2)的解集.如下图所以,原不等式组的解集是x (3) 解:解不等式(1),得x 解不等式(2),得x4.在同一条数轴上表示不等式(1),(2)的解集,如下图所以,原不等式组的解集为x4.(4) 解:解不等式(1),得x4.解不等式(2),得x3.在同一条数轴上表示不等式(1),(2)的解集如下图所以,原不等式组的解集为无解.我们从每个不等式的解集,到这个不等式组的解集,认真观察,互相交流,找出规律.(1)由得x1;(2)由;(3)由得x4;(4)由得,无解.两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.设ab,那么(1)不等式组的解集是xb;(2)不等式组的解集是xa;(3)不等式组的解集是axb;(4)不等式组的解集是无解.用语言简单表述为:同大取大;同小取小;大于小数小于大数取中间;大于大数小于小数无解.三、课堂练习解下列不等式组(1)(2)解(1) 解不等式(1),得x2解不等式(2),得x3在同一数轴上表示不等式(1)、(2)的解集, 所以,原不等式组无解.(2) 解:解不等式(1),得x2解不等式(2),得x3在同一数轴上表示不等式(1),(2)的解集,如下图所以,原不等式组的解集为x3.第二章 分解因式2.1 分解因式一、教学目标让学生了解多项式公因式的意义,初步会用提公因式法分解因式.二、教学过程一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为,宽都是,求这块场地的面积.解法一:S= + + =+=2解法二:S= + + = ( +)=4=21.公因式与提公因式法分解因式的概念.把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解例1将下列各式分解因式:(1)3x+6;(2)7x221x;(3)8a3b212ab3c+abc(4)24x312x2+28x.分析:首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.解:(1)3x+6=3x+32=3(x+2);(2)7x221x=7xx7x3=7x(x3);(3)8a3b212ab3c+abc=8a2bab12b2cab+abc=ab(8a2b12b2c+c)(4)24x312x2+28x=4x(6x2+3x7)三、课堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.(1)ma+mb (m)(2)4kx8ky (4k)(3)5y3+20y2 (5y2)(4)a2b2ab2+ab (ab)2.把下列各式分解因式(1)8x72=8(x9)(2)a2b5ab=ab(a5)(3)4m36m2=2m2(2m3)(4)a2b5ab+9b=b(a25a+9)(5)a2+abac=(a2ab+ac)=a(ab+c)(6)2x3+4x22x=(2x34x2+2x)=2x(x22x+1)四、课后作业1.解:(1)2x24x=2x(x2);(2)8m2n+2mn=2mn(4m+1);(3)a2x2yaxy2=axy(axy);(4)3x33x29x=3x(x2x3);(5)24x2y12xy2+28y3=(24x2y+12xy228y3)=4y(6x2+3xy7y2);(6)4a3b3+6a2b2ab=(4a3b36a2b+2ab)=2ab(2a2b23a+1);(7)2x212xy2+8xy3=(2x2+12xy28xy3)=2x(x+6y24y3);(8)3ma3+6ma212ma=(3ma36ma2+12ma)=3ma(a22a+4);2.利用因式分解进行计算(1)1210.13+12.10.9121.21=12.11.3+12.10.91.212.1=12.1(1.3+0.91.2)=12.11=12.1(2)2.3413.2+0.6613.226.4=13.2(2.34+0.662)=13.21=13.2(3)当R1=20,R2=16,R3=12,=3.14时R12+R22+R32=(R12+R22+R32)=3.14(202+162+122)=25122.2 提公因式法一、教学目标让学生了解多项式公因式的意义,初步会用提公因式法分解因式.例1 把a(x3)+2b(x3)分解因式.分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x3)与2b(x3),每项中都含有(x3),因此可以把(x3)作为公因式提出来.解:a(x3)+2b(x3)=(x3)(a+2b)例2把下列各式分解因式:(1)a(xy)+b(yx);(2)6(mn)312(nm)2.分析:虽然a(xy)与b(yx)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(xy)与(yx)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“”号,则可以出现公因式,如yx=(xy).(mn)3与(nm)2也是如此.解:(1)a(xy)+b(yx)=a(xy)b(xy)=(xy)(ab)(2)6(mn)312(nm)2=6(mn)312(mn)2=6(mn)312(mn)2=6(mn)2(mn2).二、做一做请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号,使等式成立:(1)2a=_(a2);(2)yx=_(xy);(3)b+a=_(a+b);(4)(ba)2=_(ab)2;(5)mn=_(m+n);(6)s2+t2=_(s2t2).解:(1)2a=(a2);(2)yx=(xy);(3)b+a=+(a+b);(4)(ba)2=+(ab)2;(5)mn=(m+n);(6)s2+t2=(s2t2).三、课堂练习把下列各式分解因式:解:(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);(2)3a(xy)(xy)=(xy)(3a1);(3)6(p+q)212(q+p)=6(p+q)212(p+q)=6(p+q)(p+q2);(4)a(m2)+b(2m)=a(m2)b(m2)=(m2)(ab);(5)2(yx)2+3(xy)=2(xy)2+3(xy)=2(xy)2+3(xy)=(xy)(2x2y+3);(6)mn(mn)m(nm)2=mn(mn)m(mn)2=m(mn)n(mn)=m(mn)(2nm).补充练习把下列各式分解因式解:1.5(xy)3+10(yx)2=5(xy)3+10(xy)2=5(xy)2(xy)+2=5(xy)2(xy+2);2. m(ab)n(ba)=m(ab)+n(ab)=(ab)(m+n);3. m(mn)+n(nm)=m(mn)n(mn)=(mn)(mn)=(mn)2;4. m(mn)(pq)n(nm)(pq)= m(mn)(pq)+n(mn)(pq)=(mn)(pq)(m +n);5.(ba)2+a(ab)+b(ba)=(ba)2a(ba)+b(ba)=(ba)(ba)a+b=(ba)(baa+b)=(ba)(2b2a)=2(ba)(ba)=2(ba)22.3运用公式法(一)一、教学目标1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.二、教学过程1.请看乘法公式(a+b)(ab)=a2b2(1)左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是a2b2=(a+b)(ab)(2)左边是一个多项式,右边是整式的乘积.利用平方差公式进行的因式分解.第(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解观察式子a2b2,找出它的特点.答:是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.如x216=(x)242=(x+4)(x4).9 m 24n2=(3 m )2(2n)2=(3 m +2n)(3 m 2n)3.例题讲解例1把下列各式分解因式:(1)2516x2;(2)9a2b2.解:(1)2516x2=52(4x)2=(5+4x)(54x);(2)9a2 b2=(3a)2(b)2=(3a+b)(3ab).例2把下列各式分解因式:(1)9(m+n)2(mn)2;(2)2x38x.解:(1)9(m +n)2(mn)2=3(m +n)2(mn)2=3(m +n)+(mn)3(m +n)(mn)=(3 m +3n+ mn)(3 m +3nm +n)=(4 m +2n)(2 m +4n)=4(2 m +n)(m +2n)(2)2x38x=2x(x24)=2x(x+2)(x2) 说明:例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.三、课堂练习1.判断正误解:(1)x2+y2=(x+y)(xy);()(2)x2y2=(x+y)(xy);()(3)x2+y2=(x+y)(xy);()(4)x2y2=(x+y)(xy). ()2.把下列各式分解因式解:(1)a2b2m2=(ab)2m 2=(ab+ m)(abm);(2)(ma)2(n+b)2=(ma)+(n+b)(ma)(n+b)=(ma+n+b)(manb);(3)x2(a+bc)2=x+(a+bc)x(a+bc)=(x+a+bc)(xab+c);(4)16x4+81y4=(9y2)2(4x2)2=(9y2+4x2)(9y24x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y2x)3.解:S剩余=a24b2.当a=3.6,b=0.8时,S剩余=3.6240.82=3.621.62=5.22=10.4(cm2)答:剩余部分的面积为10.4 cm2.四、课后作业 1.解:(1)a281=(a+9)(a9);(2)36x2=(6+x)(6x);(3)116b2=1(4b)2=(1+4b)(14b);(4)m 29n2=(m +3n)(m3n);(5)0.25q2121p2=(0.5q+11p)(0.5q11p);(6)169x24y2=(13x+2y)(13x2y);(7)9a2p2b2q2=(3ap+bq)(3apbq);(8)a2x2y2=(a+xy)( axy);2.解:(1)(m+n)2n2=(m +n+n)(m +nn)= m(m +2n);(2)49(ab)216(a+b)2=7(ab)24(a+b)2=7(ab)+4(a+b)7(ab)4(a+b)=(7a7b+4a+4b)(7a7b4a4b)=(11a3b)(3a11b);(3)(2x+y)2(x+2y)2=(2x+y)+(x+2y)(2x+y)(x+2y)=(3x+3y)(xy)=3(x+y)(xy);(4)(x2+y2)x2y2=(x2+y2+xy)(x2+y2xy);(5)3ax23ay4=3a(x2y4)=3a(x+y2)(xy2)(6)p41=(p2+1)(p21)=(p2+1)(p+1)(p1).3.解:S环形=R2r2=(R2r2)=(R+r)(Rr)当R=8.45,r=3.45,=3.14时,S环形=3.14(8.45+3.45)(8.453.45)=3.1411.95=186.83(cm2)答:两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.活动与探究把(a+b+c)(bc+ca+ab)abc分解因式解:(a+b+c)(bc+ca+ab)abc=a+(b+c)bc+a(b+c)abc=abc+a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2abc=a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2=(b+c)a2+bc+a(b+c)=(b+c)a2+bc+ab+ac=(b+c)a(a+b)+c(a+b)=(b+c)(a+b)(a+c)运用公式法(二)一、教学目标1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式.二、教学过程在前面我们不仅学习了平方差公式(a+b)(ab)=a2b2而且还学习了完全平方公式(ab)2=a22ab+b2三、新课判断一个多项式是否为完全平方式,要考虑三个条件,项数是三项;其中有两项同号且能写成两个数或式的平方;另一项是这两数或式乘积的2倍.1.例题讲解例1把下列完全平方式分解因式:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)26(m +n)+9.师分析:大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.解:(1)x2+14x+49=x2+27x+72=(x+7)2(2)(m +n)26(m +n)+9=(m +n)22(m +n)3+32=(m +n)32=(m +n3)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)x24y2+4xy.师分析:对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“”号,然后再用完全平方公式分解因式.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2(2)x24y2+4xy=(x24xy+4y2)=x22x2y+(2y)2=(x2y)2四、课堂练习1.(1)是完全平方式x2x+=x22x+()2=(x)2(2)不是完全平方式,因为3ab不符合要求.(3)是完全平方式m2+3 m n+9n2=( m)22 m3n+(3n)2=( m +3n)2(4)不是完全平方式2.(1)x212xy+36y2=x22x6y+(6y)2=(x6y)2;(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+24a23b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2(3)2xyx2y2=(x2+2xy+y2)=(x+y)2;(4)412(xy)+9(xy)2=22223(xy)+3(xy)2=23(xy)2=(23x+3y)2五、课后作业1.(1)x2y22xy+1=(xy1)2;(2)912t+4t2=(32t)2;(3)y2+y+=(y+)2;(4)25m280 m +64=(5 m8)2;(5)+xy+y2=(+y)2;(6)a2b24ab+4=(ab2)22.(1)(x+y)2+6(x+y)+9=(x+y)+32=(x+y+3)2;(2)a22a(b+c)+(b+c)2=a(b+c)2=(abc)2;(3)4xy24x2yy3=y(4xy4x2y2)=y(4x24xy+y2)=y(2xy)2;(4)a+2a2a3=(a2a2+a3)=a(12a+a2)=a(1a)2.3.设两个奇数分别为x、x2,得 x2(x2)2=x+(x2)x(x2)=(x+x2)(xx+2)=2(2x2)=4(x1)第三章 分式3.1 分式一、教学目标1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义,发展符号感.2.了解分式产生的背景和分式的概念,了解分式与整式概念的区别与联系.3.掌握分式有意义的条件,认识事物间的联系与制约关系.二、教学过程.创设问题情境,引入新课面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷?这一问题中有哪些等量关系?如果原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要_个月,实际完成一期工程用了_个月.根据题意,可得方程_.根据题意,我认为这个问题的等量关系是:实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.(1)这个问题的等量关系也可以是:原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.(2)在这个问题中,涉及到了三个基本量:工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率工作时间.如果用第(1)个等量关系列方程,应如何设出未知数呢?因为第(1)个等量关系是工作时间的关系,因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.原计划完成一期工程需个月,实际完成一期工程需c个月,根据等量关系(1)可列出方程:+4=.用等量关系(2)设未知数,列方程呢?因为等量关系(2)是工作效率之间的关系,根据题意,应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程,实际上完成一期工程用了(x4)个月,那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷,实际每月固沙造林公顷,根据题意可得方程.同学们观察我们列出的两个方程,有什么新的发现?我们设出未知数后,用字母表示数的方法,列出几个代数式,表示出我们需要的基本量.如,,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程,但分母中含有字母,要求出它的解,好像很不容易.像这样的代数式同整式有很大的不同,而且它是以分数的形式出现的,它们是不同于整式的一个很大的家族,我们把它们叫做分式.2.例题讲解(1)下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?5x7,3x21,5,.(2)当a=1,2时,分别求分式的值.当a为何值时,分式有意义?当a为何值时,分式的值为零?(1)中5x7,3x21, ,5, 是整式;,是分式.(2)解:当a=1时,=1;当a=2时,=.当分母的值等于零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.由分母2a=0,得a=0.所以,当a取零以外的任何实数时,分式有意义.分式的值为零,包含两层意思:首先分式有意义,其次,它的值为零.因此a的取值有两个要求:所以,当a=1时,分母不为零,分子为零,分式为零.三、随堂练习1.当x取什么值时,下列分式有意义?(1);(2);(3)分析:当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.解:(1)由分母x1=0,得x=1.所以,当x取除1以外的任何实数时,分式都有意义.(2)由分母x29=0,得x=3.所以,当x取除3和3以外的任何实数时,分式都有意义.(3)由分母x2+1可知,x取任何实数时,x2是一个非负数,所以x2+1不管x取何实数时,x2+1都不会为零.即x取任何实数,都有意义.2.把甲、乙两种饮料按质量比xy混合在一起,可以调制成一种混合饮料,调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料?解:根据题意,调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料.3.2 分式的乘除法一、教学目标1.分式乘除法的运算法则,2.会进行分式的乘除法的运算.二、教学过程探索、交流观察下列算式:=,=,=,=.猜一猜=?=?观察上面运算,可知:两个分数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分数相除,把除数的分子和分母颠倒位置后,再与被除数相乘.即=;=.这里字母a,b,c,d都是整数,但a,c,d不为零.1.分式的乘除法法则两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.2.例题讲解例1计算:(1);(2).分析:(1)将算式对照乘除法运算法则,进行运算;(2)强调运算结果如不是最简分式时,一定要进行约分,使运算结果化为最简分式.解:(1)=;(2)=.例2计算:(1)3xy2;(2)分析:(1)将算式对照分式的除法运算法则,进行运算;(2)当分子、分母是多项式时,一般应先分解因式,并在运算过程中约分,可以使运算简化,避免走弯路.解:(1)3xy2=3xy2=x2;(2)=3.做一做通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为V=R3(其中R为球的半径),那么(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少?(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算?我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意,可得:(1)整个西瓜的体积为V1=R3;西瓜瓤的体积为V2=(Rd)3.(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比为:=()3=(1)3.(3)我认为买大西瓜合算.由=(1)3可知,R越大,即西瓜越大,的值越小,(1)的值越大,(1)3也越大,则的值也越大,即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大,因此,买大西瓜更合算.三、随堂练习1.计算:(1);(2)(a2a);(3)2.化简:(1);(2)(abb2)解:1.(1)=;(2)(a2a)=(a2a)=(a1)2=a22a+1(3)=(x1)y=xyy.2.(1)=(x2)(x+2)=x24.(2)(abb2)=(abb2)=b.3.3 分式的加减法一、教学目标1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2.简单的异分母的分式相加减的运算.二、教学过程问题一:从甲地到乙地有两条路,每条路都是3 km,其中第一条是平路,第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么(1)当走第二条路时,她从甲地到乙地需多长时间?(2)她走哪条路花费的时间少?少用多长时间?问题二:某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍,设他手抄的速度为a字/时,那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间?答案:问题一,根据题意可得下列线段图:(1)当走第二条路时,她从甲地到乙地需要的时间为(+)h.(2)走第一条路,小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较(+)与的大小,少用多少时间,就需要用它们中的较大者减去较小者,便可求出.如果要比较(+)与的大小,就比较难了,因为它们的分母中都含有字母.比较两个数的大小,我们可以用作差法.例如有两个数a,b.如果ab0,则ab;如果ab=0,则a=b;如果ab0,则ab.显然(+)和中含有字母,但它们也是用来表示数的,所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.如果用作差的方法,例如(+),如何判断它大于零,等于零,小于零呢?做一做(1)+=_.(2)=_.(3)+=_.同分母的分数的加减是分母不变,把分子相加减,例如+=.我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样,应该是分母不变,把分子相加减.解:(1)+=;解:(2)=;解:(3)+=异分母的分数加减时,可利用分数的基本性质通分,把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法例1计算:(1)+;(2)+例1中的第(1)题,一个分母是a,另一个分母是5a,利用分式的基本性质,只需将第一个分式化成=即可.解:(1)+=+=;(2)+=+=三、计算:(1);(2)+;(3)解:(1)=;(2)+=+=;(3)=.3.4 分式方程一、教学目标1.了解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.二、教学过程解方程+=2(1)去分母,方程两边同乘以分母的最小公倍数6,得3(3x1)+2(5x+2)=62(4x2).(2)去括号,得9x3+10x+4=124x+2,(3)移项,得9x+10x+4x=12+2+34,(4)合并同类项,得23x=13,(5)使x的系数化为1,两边同除以23,x=.例1 解方程:=4解:方程两边同乘以2x,得600480=8x解这个方程,得x=15检验:将x=15代入原方程,得左边=4,右边=4,左边=右边,所以x=15是原方程的根.例2 .解方程:(1)=;(2)+=2.分析先总结解分式方程的几个步骤,然后解题.解:(1)=去分母,方程两边同乘以x(x1),得3x=4(x1)解这个方程,得x=4检验:把x=4代入x(x1)=43=120,所以原方程的根为x=4.(2)+=2去分母,方程两边同乘以(2x1),得105=2(2x1)解这个方程,得x=检验:把x=代入原方程分母2x1=21=0.所以原方程的根为x=.第四章 相似图形4.1 线段的比一、教学目标1.知道线段比的概念.2.会计算两条线段的比.3.熟记比例的基本性质,并能进行证明和运用.二、教学过程1.两条线段的比的概念两条线段的比就是两条线段长度的比.比如:线段a的长度为3厘米,线段b的长度为6米,所以两线段a,b的比为36=12,对吗?不对,因为a、b的长度单位不一致,所以不对.注意:在量线段时要选用同一个长度单位.2.例题在某市城区地图(比例尺19000)上,新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm、10 cm.(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米?(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少?它们的实际长度之比呢?解:(1)根据题意,得因此,新安大街的实际长度是169000=144000(cm),144000 cm=1440 m;光华大街的实际长度是109000=90000(cm)90000 cm=900 m.(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是1610=85新安大街的实际长度与光华大街的实际长度之比是14400090000=85由例2的结果可以发现:三、随堂练习1.在比例尺为18000的某学校地图上,矩形运动场的图上尺寸是1 cm2 cm,矩形运动场的实际尺寸是多少?解:根据题意,得矩形运动场的图上长度矩形运动场的实际长度=18000因此,矩形运动场的长是28000=16000(cm)=160(m)矩形运动场的宽是18000=8000(cm)=80(m)所以,矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m.四、活动与探究为了参加北京市申办2008年奥运会的活动,如果有两边长分别为1,a(其中a1)的一块矩形绸布,要将它剪裁出三面矩形彩旗(面料没有剩余),使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同,画出两种不同裁剪方法的示意图,并写出相应的a的值.解:方案(1):长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同,(*)解得:a=方案(2):由(*)得x=,a=方案(3):由(*)得 y=且 z=由=a 得a=方案(4):由(*)得 b=
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