实验数学时空第八讲图论概念和一笔画问题.doc

实验数学时空第八讲图论概念和一笔画问题（教材：第八章图论概念和一笔画问题）一图的基本概念二欧拉环游及弗莱里算法三中国邮递员问题四实际问题应用举例一图的基本概念图现实生活中，我们经常碰到一些现象，如：在一群人中有些人互相认识，有些人互相不认识。又如：某航空公司在100个城市之间建立若干航线，某些城市间有直达航班，而另一些城市间没有直达航班等等。以上现象都有共同内容：一是有研究的“对象”，如人，城市等；二是这些对象之间存在着某种关系：如互相认识，有直达航班等。为了表示这些对象以及对象之间的关系，我们将“点”代表“对象”，“边”表示“对象之间的关系”，引出了“图”这个概念。图：由若干个不同的点与连接其中某些顶点的边所组成的图形，称为图。由此可见，图有二要素：“点”和“边”：“点”表示对象，“边”反映对象之间的关系。图由顶点集和边集构成，我们记为G(V,E)。注解：这里点和边并不是通常的欧氏空间内的对象，例如，这里边没有“长度”的概念，边不是由点构成等等。因而我们用纸上的几何图形来表示图时，点的位置、边的长度、曲直都无关紧要，但是点和点是否有边连接是一定的。网络：对图中的顶点和边赋以具体的含义和权，这样的图称为网络。边e可以表示为e（），称和是边e的端点，边e与点和关联。次：与某一点关联的边的数目称为点的次。奇点：次为奇数的点。偶点：次为偶数的点。对于图G中一个点、边交错的序列链：如果，且互不相同，称这个序列是到的链。闭链：如与相同，称这条链为闭链。路：如果链中的各点也不同，称这样的链为路。圈：如互不相同的闭链称为圈。连通：若G中两点u和v之间存在路，则称u和v是连通的。连通关系是一种等价关系，可以把图中的点分成若干部分，使得同一部分的点总是连通的，不同的部分总是不连通的。每个部分连同连接它们的边（两个端点都在同一部分的边）称为组成G的一个分图。注解：要说明连通关系是等价关系，只要说明连通关系具有下面三个性质：1、每一个点自己总是和自己连通的；如果u和v连通，则v和u也是连通的；如果u和v连通，v和w连通，则u和w也连通。）若G只有一个分图，则G是连通的。在一个网络N=(V,E,W)中，环游：经过N中每一边至少一次的闭链称为N的环游。欧拉环游：经过N中每一边恰好一次的环游称为欧拉环游。可见，“能一笔画”的图即该图“有欧拉环游”。注意：若N有欧拉环游，则它的每个欧拉环游具有相同的权，也是最优环游。二欧拉环游及弗莱里算法这里看一个著名的“七桥问题”：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾有两个小岛，七座桥连接了两岸和小岛（如图1），当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次图1 图2 图3 图4在这个问题中，我们可以将“两个小岛和两岸”看成“点”。连接他们之间的“七座桥”看成“边”，得到图2。 “七桥问题”可以归结为“一笔画”问题：即能否用一支笔不离开纸面地画出经过所有桥一次的路线。用图论的术语，就是一个图是否存在欧拉环游？如果有，如何找出来？一个图存在欧拉环游的条件是：网络N有欧拉环游当且仅当N中每一点的次为偶数。一般地，一个图能“一笔画”（不要求回到起点），当且仅当该图或没有奇点，或只有2个奇点。利用上述结论，我们判定“七桥问题”不能实现“一笔画”，因为七桥问题中的图有4个奇点。 但是要注意，一个图存在欧拉环游，如果方法不对，仍然可能找不到具体的欧拉环游。如图3： 如果从A出发我们沿ABCA取一条路，则就不可能再继续从A出发，走遍余下的边。上面的例子说明找欧拉环游必须要遵循一定的准则。这就是求一个图的欧拉环游的弗莱里算法。弗莱里算法可求得N的最优环游。计算步骤：1)任意选取N的一个顶点，置。2)假设链已选定，从中按下述方法选取:(1)和相关联。(2)尽量不选（是中去掉边而得到的图）的割边（即去掉此边后，图变为不连通），除非没有非割边可选择。3)设另一关联点。若,重复步骤2);否则即为N的一条欧拉环游。例1：已知N（图G）有欧拉环游，求N的欧拉环游。图G解答（例题解答：(1)选取N的一个顶点;(2)B,C,D都与A相邻，取;(3)从中选取，A,C,E都与B相邻，图G去掉得到图图根据弗莱里算法，要求不能是图的割边，与B相关的三条边中都不是图的割边，可任选一条，不妨就选。(4)从选取，C,D都与A相邻，图G去掉,得到图图,都不是图的割边，可任选一条，不妨就选(5)从选取，B,D,E都与C相邻，图G去掉，得到图图都不是图的割边，可任选一条，不妨就选(6)从选取，A,D都与D相邻，图G去掉，得到图图两条边中，是图的割边，如果我们选,就找不出欧拉环游。所以我们应选。重复以上步骤，最后得到N的欧拉环游为。）三中国邮递员问题问题提出：（中国邮递员问题）邮递员从邮局中取出邮件，递送到不同地点，然后再返回邮局。假设要求他至少一次走过他投递范围内的每一条街道，我们希望选择一条尽可能短的路线。中国邮递员问题要求的是在具有非负权的网络中找出一条权最小的环游，即最优环游。如果网络存在欧拉环游，我们可以按照上面的弗莱里算法求得其欧拉环游。对于一个没有欧拉环游的网络N，可以通过添重复边的方法使得添加重复边后的网络具有欧拉环游。这里的关键问题是要求所添加重复边的权的和尽可能地小。对于一个具有非负权的网络N，添重复边的方法：点数较多时，可用Edmonds和Johnson算法（这一算法较为复杂，这里不作介绍）；点数较少时，可用奇偶点图上作业法求解。先给出两个结论：结论1.网络N有欧拉环游当且仅当N中每一点的次为偶数。结论2.最优环游具有这样的性质：(1)每条边至多重复一次(2)每一圈上重复边的长度不超过该圈总长的一半。从而得奇偶点图上作业法如下: 若N的每一点的次均为偶数，则用弗莱里算法求得其欧拉环游，此即N的最优环游。 若不然，则用添重复边的办法得到N的添加重复边后的的网络。求得的欧拉环游（用弗莱里算法)，然后逐一检查的每一个圈，并按结论2进行调整，直到满足结论2为止。奇偶点图上作业法口诀：先分奇偶点，奇点对对连；连线不重迭，重迭需改变；圈上连线长，不得过半圈。例2设某邮递员负责投递邮件的街道如图所示，求出该邮递员的最短投递路线。图3解答（例二解答原图：解：利用口诀：(1)先找奇偶点，奇点为：(2)奇点对对连，得到图4：图4(3)检查图中每一个圈，其重复边长度均不超过半圈长，在圈中所添重复边和总长为12，超过了这个圈的总长21的一半，所以将重复边和去掉，将该圈中未重复的边，重复。调整后，得到图5：图5再利用弗莱里算法求得的欧拉环游即最优环游。）四实际问题应用举例扫雪问题（教材第104页）教材第104页上，图8.6（a）中的实线表示美国马里兰州克尔米市需要清除积雪的双向行车道路，虚线是州高速公路。雪后两辆扫雪车分别从地图*号标出的两点以西约4英里处出发清扫道路上的积雪。扫雪车可以通过高速公路进入市内道路。假定扫雪过程中扫雪车不会损坏或停止，并且道路交叉处不需要另外附加的扫雪程序。试为两车找出有效的路径。1问题的分析完成清除积雪任务的有效解法应具有以下特点：(1)扫完全部路面所花的时间尽量少。(2)扫雪完毕后，两车应尽快回到出发点。(3)两车工作时间大致相同。对于(1)，我们认为，如果扫雪车没有重复走某一条路，或重复走的路径和最小，则扫雪所花时间少。在(1)和(2)的情况下，如果只有一辆扫雪车，即可归结为中国邮递员问题。对于(3)，两车工作时间大致相同，即要求两车走过的路程和大致相同，这也是要求（1）的自然结论。因此可将该图划为两个子图，使这两个子网络的权尽可能的相等。2模型的假设可作如下的假设：(1)扫雪过程中没有下雪，所有室内道路都有积雪需要清除。(2)两辆扫雪车性能相同，都能正常工作。(3)两辆扫雪车司机驾驶技术相同，扫雪时，车速相同。(4)在所有交叉路口，包括室内道路与高速公路的接口，扫雪车可不减速地转弯。(5)两辆车出发的时间相同。(6)每条路面的积雪范围、厚度相同。3模型的建立(1)双行道问题假设：每条道路有两条相反的行车道。A可将地图中每个交叉路口看成点，每条市内道路看成边，道路的长度看成该边对应的权，这样就将地图变成一个网络N（V,E,W）B由假设，每条道路均是双行道，即网络N上的点均为偶点，由上一节的结论1可知，该网络N是一个欧拉有向图，可用弗莱里算法求得N的欧拉环游。C若只有一辆扫雪车，该问题转化为中国邮递员问题。现在有两辆扫雪车，工作性能完全相等，要使工作时间尽量少，我们可将网络N分成两个子网络和。和均连通，且两网络的权尽可能相同。可用如下方法实现网络的分割：把网络N分成两个连通子网络，分别算出两个子网络中所有边的总长度。由于N的总边长已知，在总长较大的子网络中划出一些与另一子网络相连的边，添加到总长较小的子网络中。(2)单行道问题先加对应的网络N分成两个子网络和。要求和子网络边总长度相等，再利用中国邮递员问题的解法，可以分别求得和的欧拉环游，得到近似解。注解：单行道问题较双行道问题复杂，因为要添加重复边，添加了重复边之后的两个子网络的权和可能会有差异，为网络的划分增加了困难。4进一步讨论(1)不管双行道问题还是单行道问题，都须对原网络进行划分。可测量图中各路径的长度，并将数据输入计算机，由计算机划分网络。(2)若两扫雪车性能不同，或出发时间不同等造成两车的差异，可将网络按比例划分。(3)若首先应该清扫主干道积雪，这就要考虑如何规定主干道。(4)若遇到大风，就要考虑顺风与逆风时车速不同等因素。2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1函数在上的最小值是 （ C ）A0 B1 C2 D3解 当时，因此，当且仅当时上式取等号而此方程有解，因此在上的最小值为22设，若，则实数的取值范围为 （ D ）A B C D解 因有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 （ B ）A. B. C. D. 解法一 依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有，故解法二 依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得， ， ，故4若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3解 设这三个正方体的棱长分别为，则有，不妨设，从而，故只能取9，8，7，6若，则，易知，得一组解若，则，但，从而或5若，则无解，若，则无解此时无解若，则，有唯一解，若，则，此时，故，但，故，此时无解综上，共有两组解或体积为cm3或cm35方程组的有理数解的个数为 （ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 若，则解得或若，则由得 由得 将代入得 由得，代入化简得.易知无有理数根，故，由得，由得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或6设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 （ C ）A. B. C. D. 解 设的公比为，则，而 因此，只需求的取值范围因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7设，其中为实数，若，则 5 .解 由题意知，由得，因此，8设的最小值为，则解 ，(1) 时，当时取最小值；(2) 时，当时取最小值1；(3) 时，当时取最小值又或时，的最小值不能为，故，解得，(舍去)9将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种解法一 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额如 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“”占领的一种“占位法”“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“”，故有种又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种综上知，满足条件的分配方法共有25331222种解法二设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种综上知，满足条件的分配方法共有25331222种10设数列的前项和满足：，则通项=解 ，即 2 =，由此得 2令，()，有，故，所以11设是定义在上的函数，若，且对任意，满足 ，则=解法一 由题设条件知 ，因此有，故 解法二 令，则 ，即，故，得是周期为2的周期函数，所以12一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 解 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心因答12图1 ，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2记正四面体的棱长为，过作于答12图2 因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分） 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13已知函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证： 答13图证 的图象与直线的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，5分 由于，所以，即 10分因此 15分 20分14解不等式解法一 由，且在上为增函数，故原不等式等价于即 5分分组分解 ， 10分所以， 15分所以，即或故原不等式解集为 20分解法二 由，且在上为增函数，故原不等式等价于5分即， ， 10分令，则不等式为， 显然在上为增函数，由此上面不等式等价于 ， 15分即，解得(舍去)，故原不等式解集为 20分题15图15如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值解 设，不妨设直线的方程:，化简得 又圆心到的距离为1， 5分故，易知，上式化简得， 同理有 10分所以，则因是抛物线上的点，有，则 ， 15分所以 当时，上式取等号，此时因此的最小值为8 20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形，是平面上的动点，令（）求证：当达到最小值时，四点共圆；（）设是外接圆的上一点，满足：，又是的切线，求的最小值解法一 （）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有答一图1 因此 因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时， 10分又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值故当达最小值时，四点共圆 20分（）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分从而，为等腰直角三角形因，则又也是等腰直角三角形，故，故 50分答一图2解法二 （）如答一图2，连接交的外接圆于点（因为在外，故在上）过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，则，又因，得，同理有，所以 10分设，则对平面上任意点，有 ，从而 由点的任意性，知点是使达最小值的点由点在上，故四点共圆 20分（）由（），的最小值 ，记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去）， 故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分所以，为等腰直角三角形，因为，点在上，所以为矩形，故，所以 50分解法三 （）引进复平面，仍用等代表所对应的复数由三角形不等式，对于复数，有 ，当且仅当与（复向量）同向时取等号有 ，所以 （1） ，从而 （2） 10分（1）式取等号的条件是 复数 与同向，故存在实数，使得 ， ，所以 ，向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，从而四点共圆（2）式取等号的条件显然为共线且在上故当达最小值时点在之外接圆上，四点共圆 20分（）由（）知以下同解法一二、（本题满分50分）设是周期函数，和1是的周期且证明：（）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期证（）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得 于是是的周期10分又因，从而设是的素因子，则，从而 是的周期 20分（）若是无理数，令 ，则，且是无理数，令 ， ， 30分由数学归纳法易知均为无理数且又，故，即因此是递减数列 40分最后证：每个是的周期事实上，因1和是的周期，故亦是的周期假设是的周期，则也是的周期由数学归纳法，已证得均是的周期 50分三、（本题满分50分）设，证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（），；（）存在；（）， 证 必要性：假设存在满足（），（），（iii）注意到（）中式子可化为 ， 其中将上式从第1项加到第项，并注意到得 10分由（）可设，将上式取极限得 ，因此 20分充分性：假设定义多项式函数如下： ，则在0,1上是递增函数，且，因此方程在0,1内有唯一的根，且，即 30分下取数列为，则明显地满足题设条件（），且 因，故，因此，即的极限存在，满足（） 40分最后验证满足（），因，即，从而 综上，存在数列满足（），（），（） 50分本函数的基本性质08级15班 周馨艺名称常函数一次函数二次函数反比例函数图像解析式定义域RRR值域R单调性不具有单调性，在R上 递增，在R上递减,在上单减，在上单增则反之，在和上单减；则反之奇偶性偶函数时，既奇又偶当时，为奇函数当时，不具有奇偶性当即时为偶函数时为奇函数时不具有奇偶性奇函数备注方程x=c不是函数斜截式：斜率= 纵截距横截距a决定开口方向（）有实根；，无实根韦达定理，求根公式：顶点坐标（）若则对称轴根分布问题结合图像解决变换形式：数的学习小结高一4班 朱兆梁在17世纪之前，一直与公式紧密关联，到了1837年，德国数学家狄利克雷（1805-1859）抽象出了直至今日仍为人们易于接受，并且较为合理的函数概念。一、函数的概念。1. 定义：设某一变化过程中有两个变量和，是一个给定数集.若对，按照一定法则，总有确定的数值与它对应，则称是的函数.记为，为定义域.函数值的全体为函数值域.2函数与映射映射的概念观察下列对应（投影2）：（为简明起见，这里的A、B都是有限集合）（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）映射的定义一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f：AB由此定义：（2），（3），（4）三个对应都是A到B的映射，（1）的对应不是A到B的映射。（2）f: x; (3)f: xx2; (4)f: x2x象，原象的概念给定一个集合A到集合B的映射，且aA，bB。如果在对应法则f的作用下，元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：AB”表示A到B的映射，符号“f：BA”表示B到A的映射，两者是不同的；（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射），但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象（如图（3）；例：“A=0,1,2,B=0,1,1/2,f:取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象（4）集合B中的元素在A中可以没有原象（如图（4），即使有也可以不唯一（如图（3）；（5）A=原象，B象。一 一映射的概念问题3：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么不同特点？分析：（3）是多对一（即多个元素有同一个象）；（4）是一对一（但B中有的元素在A中没有原象）；（2）是一对一（且B中所有元素在A中都有原象）；再观察下图：(投影4)由此有：“一一映射”的定义：一般地，一个映射f：AB，若满足：a. 对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象;(单射)b. 集合B中每一个元素都有原象；（满射）那么这个映射叫做A到B上的一一映射。例：分析上面图中或上面例题中对应是否为集合A到集合B的一一映射？为什么？注意：（1）一一映射是一种特殊的映射（A到B是映射，B到A也是映射，或从一一映射定义解释）；（2）若在映射f：AB中，象的集合CB ，则映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要条件。 （想一想为什么不充分？）（因为映射f：AB未指出对于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：AB可能是多对一的情形。）注 定义域与对应法则是函数的两个要素，它是判断两个函数是否相同的标准. 如：与不同；与不同；与相同；与相同.2. 分段函数：用几个式子来表示一个函数为分段函数.如：的定义域为；的定义域为.例1 定义域，值域；3函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如等。优点：（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。二、函数的几种特性1. 单调性设有函数，.对，有，则称在上单调递增；若有，则称在上单调递减.注意 单调性也与区间有关.如：在内非单调，但在内单调递增，在内单调递减. 例2 证明在内单调递增.证 ， ，当，同号时，右边二因子均正数，故；当，异号时，故.故对，有. 所以在内单调递增.2. 奇偶性设有函数，.若对，有，则称为偶函数；若对，有，则称为奇函数.如：是偶函数，为奇函数；不满足上述两条的为非奇非偶函数，如.注：奇函数的图形对称于原点，偶函数的图形对称于y轴.战争中的数学撷趣-“山本五十六输在换弹的五分钟” 在战争中，有时候忽略了一个小小的数据，也会招致整个战局的失利。 二战中日本联合舰队司令山本五十六也是一位“要么全赢，要么输个精光”的“拼命将军”。在中途岛海战中，当日本舰队发现按计划空袭失利，海面出现美军航空母舰时，山本五十六不听同僚的合理建议，妄图一举歼灭敌方，根本不考虑美军4舰载飞机可能先行攻击可能。他命令停在甲板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰，只图靠鱼雷击沉航空母舰获得最大的打击效果，不考虑飞机在换装鱼雷的过程中可能遭到美机攻击的后果，因为飞机换弹的最快时间是五分钟。 结果，在把炸弹换装鱼雷的五分钟内，日舰和“躺在甲板上的飞机”变成了活靶，受到迅速起飞的美军舰载飞机的“全面屠杀”。日本舰队损失惨重。从此，日本在太平洋海域由战略进攻转入了战略防御。 战后，有些军事评论家把日本联合舰队在中途岛海战失败原因之一归咎于那“错误的五分钟”。可见，忽略了这个看似很小的时间因素的损失是多么重大。智力陷井买蟹骗局 一人提了一篓又肥又大的螃蟹到一条小街上出售，开价每斤(500克)50元不一会儿，先后过来两个青年，由此一场合谋的骗局开始了两青年中的一人自言自语：这些蟹倒不错，不过，我就喜欢吃蟹肚，蟹脚、蟹钳吃起来真讨厌，真不想吃另一青年马上插话，说：如果蟹脚、蟹钳便宜些价钱卖给我，下下酒倒蛮好的于是他们煞有介事地商量决定蟹肚35元一斤，蟹脚、蟹钳15元一斤转而对卖蟹人说，这些蟹我们包了，你帮我们分一分，再称给我们，反正35元加15元仍然是50元，我们又不占你便宜卖蟹人一时没有反应过来，没有觉察其中有诈，就按他们的意思做了结果分得蟹肚3斤，蟹脚、蟹钳1斤，两青年分别付了105元和15元，他们分别拿着蟹肚、蟹脚和留钳走了事后，卖蟹人一数钞票共120元，这与他来小街前预计的数字相差甚远，发现有问题，再想去追回买蟹人，但已来不及了，只能连呼上当想一想，这个问题错在哪里？应该怎样付钱才合理？ 解：这是一个不难解决的问题，按优质优价的原则，蟹肚质量明显优于整只蟹的质量，所以蟹肚价格应高于整只蟹的价格，就是说蟹肚价格应高于50元，现在定在35元是不合理的，为了较为容易地说明问题，不妨设想蟹肚、蟹脚和蟹钳各买1斤，货款的和是50元，但重量的和却是2斤，这不就说明两者都低于原价是不合理吗？ 合理的方法是先称出蟹的总重量(4斤)后， 计算得贷价是504200(元)，卖蟹人应要买蟹人付200元，至于蟹肚、蟹脚和蟹钳的具体价格可以由买蟹人自己去协商议定美妙的对称 闹钟、飞机、电扇、屋架等的功能、属性完全不同，但是它们的形状却有一个共同特性对称。在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两边的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180度后，能与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫作轴对称图形，这条线叫作对称轴。电扇的叶子不是轴对称图形，不管怎么画线，都无法找到这条直线。但电扇的一个扇叶，如果绕这电扇中心旋转180度后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合。这种图形数学上称为中心对称图形，这个中心点称为对称中心。显然闹钟也是一个中心对称图形。所有轴对称和中心对称图形，统称为对称图形。人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形状，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡。对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。如果说建筑也是一种艺术的话，那么建筑艺术中对称的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局也是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线(对称轴)两边对称的。对称还是自然界的一种生物理象。不少植物、动物都有自己的对称形式。比如人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚、都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置，双手、双脚的对称能保持人体的平衡。对称是数学研究的重要内容，但数学中的对称概念不仅限于图形的对称，也把数对(3，4)与(-3，4)称为平面上关于y轴对称；把数对(3，4)与(-3，-4)称为平面上关于坐标原点对称。另外还有对称方程、对称行列式、对称矩阵等概念。从一道初中几何题谈起山东省实验中学 高一5班 缪睿大家首先思考这样一个问题：如下图，方格纸中四个圆A，B，C，D，可以只用直尺就能找出圆心的是（ ）显然，根据圆心角定理，在圆A中我们可以找到两条直径，用直尺连起来，其焦点即为圆心。A可以，那么B，C，D呢？B，C，D不易看出能用直尺做出圆心。其实，B，C，D三圆都可以用直尺找到它的圆心。下面我们来研究一下为什么在网格点上任意一个不知圆心的圆用直尺都可以做出它的圆心。I 一条定向直线是一条已知其上A，B两点和这两点间线段的中点M的直线。为了通过一个已知点P画这条线的平行线，先作AP，并在AP的延长线上选一第点S，将这点与B和M相连接；画BP，然后通过BP和MS的交点O画一条直线AO，使AO截BS于Q，那么，PQ就是所求的平行线（如下图）。证明：IBP,AQ,SM交于点O,根据塞瓦定理可得,又AM=MB, ,PQAB.于是我们可以借助网格纸来用直尺构造平行线，继而用圆心角定理，找出两条直径，从而找到圆心。那么不用网格纸，我们能否完成这项任务呢？下面我们来研究一下直尺几何。证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。早在1759年苏黎世出版的兰伯特（Lambert）的著作中，他只用直尺就解了一整套集合作图题，他是“直尺几何”的鼻祖。继兰伯特之后，法国数学家，主要是彭赛列（Poncelet）和布列昂匈（Brianchon）着手于直尺几何的研究，特别是在出版马索若尼的著作对这些研究提供了新的促进之后，他们试图只用直尺作出尽可能多的图。现在，只使用直尺只能作那些代数形式是有理的代数式的图形。（因此，例如那种如的式子是不可能的。）这个情况启发彭赛列在平面内需要给出一个辅助定圆（以及圆心。），使有可能只用直尺画出所有可以用圆规和直尺作图的代数图形。J斯坦纳（1796 1863年）是阿波洛尼斯时代以来最伟大的几何学家，1883年在柏林出版的他的著名著作中，他确认了这个启示的必然性。这里所讲述的解基于斯坦纳著作中的解法，但删去了那些为达到现有目的严格来说是不必要的东西，且省去斯坦纳使用的相似定理和等幂轴定理使该题变得更为简单一些。由于在直尺几何中，能直接得知两条直线的交点，因此仅需证明只用直尺和一个圆规就能解前一节中两个基本题II和III。如在解马索若尼问题的过程中，必须首先解一些预备题，在这样情况下，就有五个预备题而不是两个。预备题1：通过一个已知点画一条已知线的平行线。斯坦纳区分两种情况：1a画一条定向直线的平行线；1b画一条任意直线的平行线。1a一条定向直线是一条已知其上A，B两点和这两点间线段的中点M的直线。为了通过一个已知点P画这条线的平行线，先作AP，并在AP的延长线上选一第点S，将这点与B和M相连接；画BP，然后通过BP和MS的交点O画一条直线AO，使AO截BS于Q，那么，PQ就是所求的平行线（见图1）。证明是简单的。ABPQSMO图1YVXAMBgUFPYX图21b连接已知直线g上一个点M和已知定圆W 的中心F，记连接线和圆W 的交点为U与V。U，F，V三点使FM构成定向线。根据1a，画一条FM的平行线，使它截圆W 于X和Y，截直线g于A。然后，若作直径XFX和YFY，并连接端点X和Y，则连接线交已知线于B点，使MA = MB，而A，M，B三点所确定的直线g就是一条定向直线（见图2）。这就可以根据1a来确定g的平行线。预备题1给出了下题之解：平行移动一已知线段AB，使其一端点在一个已知点P上。若P点在直线AB之外，找出通过B点的AP的平行线和通过P点的AB平行线的交点Q；那么PQ与AB平行。预备题2：画一条通过已知点P到已知直线g的垂线。gUVFPWUg图3画g平行线g，使其截圆W 于U与V。然后，画直径UFU 和弦VU， VU垂直于线段g，因此，也垂直于直线g。最后根据1，通过P点作VU的平行线，这条平行线就是所求的垂线（见图3）。预备题3：从一个已知点O向指定方向画出已知距离PQ（见图4）。先考虑O点起始的线段OH所给定的规定方向。首先根据1，将PQ平行移动至OK，然后从F点在OH及OK方向上画两条半径FU和FV，最后，若通过K点画UV的平行线，该平行线与OH的交点S即为所求线段的端点。SOKPQUVFWH图4预备题4：若已知三段m，n，s，作第四比例项。从任意O画两条射线I和II，在I上取OM = m，ON = n，在II上取OS = s；通过N点作MS的平行线，并令II的交点为X，那么，所求的第四比例项为：。预备题5：若已知两线段为a与b，作比例中项。令所求比例中为x，定圆的直径为d，根据预备题3可画a + b之和c，这可写成，这里，（因此h + k = d）。首先，根据预备题4，画线段h和k，根据预备题3，在定圆直径HK上取HO = h，那么KO就等于k。然后，根据预备题2，通过O点作HK的垂线，并记垂线与定圆的交点为S，那么。最后，根据预备题4，画出所求线段x（）。现在已解完这五道预备题，这样解基本题II和III就简单了。基本题II：画出一已知直线和一已知圆的交点。在直尺几何中，若一个圆的圆心和半径为已知，这个圆便认为以确定。设已知圆为R，其圆心为C，其半径为r，已知直线为g，g与圆R的交点为X和Y，交点弦为2s，弦的中点为M，到圆心的距离为l。从直角三角形CMX得等式s2 = r2 l2或者。于是，根据预备题2，引g的垂线CM = l；并根据预备题3，画线段a = r + l和b = r l；然后根据预备题5，画线段；最后根据预备题3，在线段g上从M向两个方向取距离s。所取的线段的端点便是所求交点X和Y。基本题III：求两个已知圆的交点。设两个圆U和V，其圆心为A和B，半径为a和b，连心线AB为c，所求交点为X和Y，弦XY与连心线AB的交点为O，未知线段AO和OX为q和x。求q：根据毕达哥拉斯推广定理，b2 = c2 + a2 2cq，从三角形ABX便可推导出q；这样，若令c2 + a2等于d2，那么。因此，根据预备题2和3，画一直角边为a和c的直角三角形，得到斜边为d。然后根据预备题3，画出线段n = d + b，m = 2c，s = d b。最后，根据预备题4，。求x：根据毕达哥拉斯定理，从三角形OAX得到x2 = a2 q2，这样。根据预备题3，画h = a + q，k = a q；根据预备题5，。X和Y的作图：根据预备题3，在AB上由A，画出q。根据预备题2，在所由线段的端点O上作条AB的垂线，并且（根据预备题3）在其上两个方向取x。所得线段的端点便是所寻求的交点。用Visual basic解一元二次方程高一8班 王佳音最近的高一微机课上，我们学习了使用Visual basic来编辑一些小程序（例如时钟等等）。那么，我们是不是可以编辑实用的小程序来解决一些我们在数学上常遇到、有规律的问题？本文就是介绍利用Visual basic编程来求一元二次方程的根。首先，我们设想一下设计的求根程序应该满足多少功能，然后在通过编辑使一一实现。我们对该求根方程的大概要求是：1, 架构一个界面2，根据用户给出的a，b，c的值判断判别式的情况，并且得出根的情况。3，分别在判别式大于、等于、小于零时给出两根的值（小于零时无解）。4，当用户给出的a值等于0时，报错。列出对程序的需求后，我们就要开始着手设计来一一实现需求了。1架构一个界面首先，程序应该需要用户来手动输入一元二次方程的一般式时a，b，c的值。那么，就应该建立3个文本框来提供给用户输入。打开Visual basic，新建EXE文件，使用左边工具栏第二列第二行的textbox工具在程序设计界面建立三个文本框（它们的默认名分别是text1、text2、text3）。然后通过右边的属性栏，将三个文本框的名称分别改为a、b、c。并将属性栏下方的text项目中的内容删去。这样，用来从用户获取a，b，c值的三个文本框就做好了。接下来，我们要制作一个按钮，使得在用户按下这个按钮时，程序开始求方程的根。使用工具栏第二列第三行的commandbutton 工具在程序设计界面建立一个按钮（它的默认名为command1）。然后在后面的属性栏中的caption项修改按钮上显示的字为“求解”（或者其他你喜欢的）。这样，一个按钮就完成了。然后我们需要建立一块文本区，用以存放解得的根的情况。使用工具栏第一列第二行的label工具，在程序设计界面建立一个文本区（它的默认名为label1），在属性栏中将caption（显示内容）项清空。这样，存放根的情况的文本区就完成了。界面也就架构好了。2根据用户给出的a，b，c的值判断判别式的情况，并且得出根的情况现在就要开始最关键的程序语句设计。（用户在使用我们设计的程序时将在以前我们建立的文本框内依次输入a，b，c的值，然后按下我们制作的“求解”按钮，这时程序就会自动求的根的情况并且在我们建立的文本区内显示。语句设计就是告诉程序如何进行计算）因为程序求根是由用户按下