高三数学高校自主招生考试 真题分类解析5 概率

1 年高三数学高校自主招生考试 真题分类解析 5 概率 一 选择题 1 2009 年华中科技大学 从 0 1 2 9这十个数码中不放回地随机取 n 2 n 10 个数 码 能排成 n位偶数的概率记为 Pn 则数列 Pn A 既是等差数列又是等比数列 B 是等比数列但不是等差数列 C 是等差数列但不是等比数列 D 既不是等差数列也不是等比数列 2 2009 年华中科技大学 5 张票中有 1张奖票 5 个人按照排定的顺序从中各抽 1张以决 定谁得到其中的奖票 且后抽的人不知道先抽的人抽出的结果 则第 3个人抽到奖票的概率 是 A B C D 3 2009 年复旦大学 某种细胞如果不能分裂则死亡 并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞 的概率都为 现有两个这样的细胞 则两次分裂后还有细胞存活的概率是 A B C D 4 2012 年复旦大学 随机任取一个正整数 则它的 3次方的个位和十位上的数字都是 1的 概率是 A B C D 二 填空题 5 2009 年南京大学 有一个 1 2 9的排列 现将其重新排列 则 1和 2不在原来位置的 概率是 2 三 解答题 6 2010 年中南财经政法大学 某市在 36位 政协委员 候选人中任选 2名 其中来自教 育界的候选人共有 6人 求 1 至少有 1名来自教育界的人当选的概率是多少 2 候选人中任何人都有当选的可能性 若选得同性别委员的概率等于 则男女候选人相差 几名 注 男候选人多于女候选人 7 2011 年同济大学等九校联考 一袋中有 a个白球和 b个黑球 从中任取一个球 如果取 出白球 则把它放回袋中 如果取出黑球 则该黑球不再放回 另补一个白球放到袋中 在进行 n次这样的操作后 记袋中白球的个数为 Xn 1 求 E 2 设 P a k 求 P a k k 0 1 b 3 证明 EX n 1 1 EXn 1 8 2009 年清华大学 12 名职工 其中 3名为男性 被平均分配到 3个部门 1 试求 3名男员工分配到不同部门的概率 2 试求 3名男员工分配到相同部门的概率 3 试求 1名男员工指定到某一部门 另两名不在同部门的概率 9 2009 年清华大学 M 为三位的自然数 求 1 M含因子 5的概率 2 M中恰有两位数码相同的概率 3 10 2010 年清华大学 12 个人玩一个游戏 游戏开始后每个人被随机地戴上红 黄 蓝 绿四种颜色之一的帽子 每个人都可以看到其余 11个人帽子的颜色 游戏开始后 12个人不 能再交流 并被要求猜出自己帽子的颜色 请为这 12个人在游戏前商定一个方案 使得他们 同时猜对自己帽子的颜色的概率尽可能大 11 2010 年清华大学等五校联考 假定亲本总体中三种基因型式 AA Aa aa 的比例为 u 2v w u 0 v 0 w 0 u 2v w 1 且数量充分多 参与交配的亲本是该总体中随机的两个 1 求子一代的三种基因型式的比例 2 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗 并说明理由 12 2011 年清华大学等七校联考 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n次 以 表示未出现连续 三次正面的概率 1 求 和 2 探究数列 的递推公式 并给出证明 3 讨论数列 的单调性及其极限 并阐述该极限的概率意义 13 2012 年清华大学等七校联考 系统内有 2k 1 k N 个元件 每个元件正常工作的概 率为 p 0 p18 人 则女候选人为 36 x 人 5 选出两人都是男性的概率为 p1 选出两人都是女性的概率为 p2 x 2 36x 35 9 0 x 21 x 18 男女相差 6人 7 1 2 P Xn 1 a k pk pk 1 k 1 3 第 n次白球个数的数学期望为 EXn 由于白球和黑球的总个数为 a b 则将第 n 1次白球 个数的数学期望分为两类 第 n 1次取出来的是白球 这种情况发生的概率是 此时白球 的个数为 EXn 第 n 1次取出来的是黑球 这种情况发生的概率是 此时白球的个数是 EXn 1 6 数的数学期望分为两类 第 n 1次取出来的是白球 这种情况发生的概率是 此时白球的 个数为 EXn 第 n 1次取出来的是黑球 这种情况发生的概率是 此时白球的个数是 EXn 1 故 EXn 1 EXn EXn 1 1 EXn 1 EXn 1 1 EXn 1 8 1 2 3 解析 1 P 1 2 P2 3 P3 9 1 2 解析 1 当个位数字为 0时 有 9 10 90个符合题意的三位数 当个位数字为 5时 有 9 10 90个符合题意的三位数 故 M含因子 5的概率为 2 当 M中含有数字 0 且 0是重复数码时 有 9个符合题意的三位数 当 M中含有数字 0 且 0不是重复数码时 有 9 18个符合题意的三位数 当 M中不含数字 0时 有 9 8 3 216个符合题意的三位数 故 M中恰有两位数码相同的概 率为 10 12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率 即 解析 首先将问题数学化 将红 黄 蓝 绿四种颜色分别用数字 0 1 2 3 代表 策略 是每个人将其余 11人的帽子的颜色所对应的数字求和 记为 S S除以 4的余数设为 d 4 d 对 应的颜色即为他所猜的颜色 例如 若 12个人都戴黄帽子 每个人看到其余 11个人的帽子颜色对应数字和均为 11 11除 以 4余 3 4 3 1 对应黄色 全都猜对 这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为 当 且仅当 12个人的帽子颜色所对应数字之和为 4的倍数时 12 个人能够同时猜对 不然 12 个 人会同时猜错 这 12个人或者同时猜对 或者同时猜错 同时猜对的概率与一个人随机猜测 7 正确的概率相等 为 而多个人猜测时 由于不能由他人的帽子颜色推断出有关自己帽子颜 色的信息 因此 12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率 即 因此上述方 案是最优的 11 1 AA Aa aa的比例为 p2 2pq q 2 2 相同 可知子二代的基因型式 AA Aa aa的比例为 2 2 2 其中 p 2 pq pq q 2 由 p q 1 可得 p q 故子二代的三种基因型式 AA Aa aa的比例 为 p2 2pq q 2 与子一代的三种基因型式的比例相同 解析 1 参与交配的两个亲本 一个称为父本 一个称为母本 的基因型式的情况 及相应 情 p1 u2 1 2uv 2uv 4v2 u v 2 8 由对称性知子一代的基因型式为 aa的概率为 p3 v w 2 子一代的基因型式为 Aa的概率为 p2 2uv uw 1 2uv 4v2 2vw uw 1 2vw 2 uv uw v2 vw 2 u v v w 若记 p u v q v w 则 p 0 q 0 p q 1 子一代的三种基因型式 AA Aa aa的比例为 p2 2pq q 2 2 由 1 可知子二代的基因型式 AA Aa aa的比例为 2 2 2 其中 有 pn pn 1 pn 4 n 5 3 n 4 时 p n 单调递减 又 p1 p2 p3 p4 n 2 时 数列 p n 单调递减 且有下界 0 p n的极限存在记为 a 对 pn pn 1 pn 4两边同时取极限可得 a a a a 0 故 pn 0 9 其概率意义 当投掷的次数足够多时 不出现连续三次正面的概率非常小 解析 1 显然 p1 p2 1 p3 1 又投掷四次出现连续三次正面的情况只有 正正正正或 正正正反或反正正正 故 p4 1 2 共分三种情况 1 如果第 n次出现反面 那么前 n次不出现连续三次正面和前 n 1 次不 出现连续三次正面是相同的 所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 pn 1 2 如果第 n次出现正面 第 n 1 次出现反面 那么前 n次不出现连续三次正面和前 n 2次不 出现连续三次正面是相同的 所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 pn 2 增加两个元件时 系统可靠性降低 当 p 时 P k 1 Pk 函数 Pk单调递增 增加两个元件时 系 统可靠性提高 解析 1 当系统有 2k 1 k N 个元件时 恰有 k个元件正常工作的概率 为 pk 1 p k 1 恰有 k 1个元件正常工作的概率为 pk 1 1 p k 2 恰有 2k 1 10 个元件正常工作的概率为 p2k 1 1 p 0 Pk pk 1 p k 1 pk 1 1 p k 2 p2k 1 1 p 0